第6章 空间向量与立体几何全章综合检测卷（提高篇）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第6章 空间向量与立体几何全章综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 2．（5分）（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【解答过程】因为，， 所以，，， 所以与的夹角的余弦值是， 故选：B. 3．（5分）（24-25高二上·河北邢台·期中）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间基底的概念逐个判断即可. 【解答过程】对于，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故A错误； 对于B，因为为空间的一个基底，所以这三个向量不共面，若不构成一个基底， 则有，即，所以向量，，是共面向量， 这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故D错误. 故选：B. 4．（5分）（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【解答过程】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 5．（5分）（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【解答过程】由题意可知， ， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，所以． 故选：B. 6．（5分）（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【解答过程】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A. 7．（5分）（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断. 【解答过程】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 8．（5分）（24-25高二上·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 【答案】D 【解题思路】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；先找出二面角的平面角为即可判断选项C，利用向量方法求直线与平面所成角的大小判断D. 【解答过程】对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，， ，，， 对于选项B：，， 因为， 所以，即， 故选项B正确； 因为，在棱上，所以二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，， 所以二面角的大小为， 故选项C正确， 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的的正弦值为， 随的值的变换其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·全国·课后作业）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 【答案】ACD 【解题思路】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断. 【解答过程】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确； 对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确； 对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．的中点坐标为 B． C． D．若，则四点共面 【答案】BD 【解题思路】对于A，由空间中点坐标公式可判断选项正误；对于B，由空间向量坐标运算，数量积运算公式可判断选项正误；对于C，验证是否等于0，可判断选项正误；对于D，由可得，据此可判断选项正误. 【解答过程】因为，，，所以，，. 对于A，的中点坐标为．故A错误； 对于B，，则．故B正确； 对于C，，所以，不垂直．故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 所以，即， 所以，，共面，所以四点共面，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABD，根据向量法求距离公式即可判断C. 【解答过程】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知，与的夹角为，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【解题思路】根据空间向量模的坐标表示求出，进而结合空间向量的数量积及运算律求解即可. 【解答过程】由，得， 所以， 则， ， ， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【解题思路】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【解答过程】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为 ． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以, 则， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 假设平面与平面的夹角为， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高三·全国·专题练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【答案】(1)，，共面 (2)点M在平面ABC内 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可； （2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可． 【解答过程】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 16．（15分）（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知空间中三点，设向量，． (1)若，求实数的值； (2)若向量与共线，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）求出、后，借助向量坐标形式的线性运算与数量积公式计算即可得； （2）借助向量共线定理可得，借助模长公式计算即可得. 【解答过程】（1），， 则， 由， 故， 解得； （2），， 向量与共线，且，则， 即或. 17．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 18．（17分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【解题思路】（1）利用线线平行证明线面平行即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面垂直计算即可. 【解答过程】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 19．（17分）（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【解题思路】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【解答过程】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何全章综合检测卷（提高篇） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（5分）（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·河北邢台·期中）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 8．（5分）（24-25高二上·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·全国·课后作业）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．的中点坐标为 B． C． D．若，则四点共面 11．（6分）（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知，与的夹角为，则与夹角的余弦值为 ． 13．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 14．（5分）（24-25高三上·辽宁大连·期中）如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高三·全国·专题练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 16．（15分）（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知空间中三点，设向量，． (1)若，求实数的值； (2)若向量与共线，且，求的坐标． 17．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 18．（17分）（24-25高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $