6.3.2 第1课时 空间向量与平行关系（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

第1课时　空间向量与平行关系 1.在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C（3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　） A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 2.已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝（　　） A.2 B.－4 C.4 D.－2 3.已知a为直线l的一个方向向量，，为平面α内两个向量，则下列说法正确的是（　　） A.若a＝，则l∥α B.若a＝k（k∈R），则l∥α C.若a＝p＋λ（p，λ∈R），则l∥α D.以上均不一定推出l∥α 4.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的（　　） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，＝λ，且EF∥平面ACD1，则实数λ的值为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中正确的是（　　） A.若直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），直线m的一个方向向量为b＝（2，－2，4），则l∥m B.若直线l的方向向量为a＝（0，1，－1），平面α的法向量为n＝（1，－1，－1），则l∥α C.若平面α，β的法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则α∥β D.若平面α经过三个点A（1，0，－1），B（0，－1，0），C（－1，2，0），向量n＝（1，u，t）是平面α的一个法向量，则u＋t＝ 7.直线l的方向向量s＝（－1，1，1），平面α的法向量为n＝（2，x2＋x，－x），若直线l∥平面α，则实数x的值为　　　　. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是　　　　. 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点.求证：MN∥B1C. 10.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点， 求证：AB1∥平面DBC1. 11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A.（1，1，1） B. C. D. 12.〔多选〕已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法中正确的是（　　） A.平面ADE的一个法向量是（0，－1，1） B.直线AE∥平面PCD C.直线EF∥平面PAD D.直线DF∥平面PAB 13.已知直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），平面α的一个法向量为b＝（x，0，z）.若l∥α，｜b｜＝2｜a｜，则b＝　　　　. 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： （1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. 15.四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.若SD⊥平面PAC，问侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2　空间线面关系的判定 第1课时　空间向量与平行关系 1.B　由题意得，＝（－3，－3，3），＝（1，1，－1），∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD. 2.C　因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4. 3.D　选项A、B、C都能推出l∥α或l⊂α，但不能确定一定是l∥α. 4.D　若m·n＝0，则l∥α或l⊂α；另一方面，若l∥α，则m·n＝0.因此，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件.故选D. 5.B　建立如图所示的空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A（a，0，0），C（0，b，0），D1（0，0，c），E（ a，b，），B1（a，b，c），所以＝（－a，b，0），＝（－a，0，c），＝（－a，－b，0）.因为＝λ，所以＝（－λa，－λb，0），所以F（（1－λ）a，（1－λ）b，c），所以＝（ －λa，－λb，）.设平面ACD1的法向量为n＝（x，y，z），则当x＝bc时，y＝ac，z＝ab，则n＝（bc，ac，ab）.因为EF∥平面ACD1，所以⊥n，所以·n＝－λabc－λabc＋＝0，解得λ＝. 6.AD　对于A，b＝2a，则a∥b，∴l∥m，故A中说法正确；对于B，a·n＝0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）＝0，则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B中说法错误；对于C，若n1＝λn2（λ≠0），则（0，1，3）＝λ（1，0，2），得此方程组无解，∴α∥β不成立，故C中说法错误；对于D，＝（－1，－1，1），＝（－1，3，0），∵n＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴解得∴u＋t＝，故D中说法正确.故选A、D. 7.±　解析：∵直线l的方向向量s＝（－1，1，1），平面α的法向量为n＝（2，x2＋x，－x），直线l∥平面α，∴x2－2＝0，解得x＝±. 8.平行　解析：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为1，则O（，，0），P（0，0，），B（1，1，0），D1（0，0，1）.则＝（－，－，），＝（－1，－1，1），所以＝，∥，所以OP∥BD1. 9.证明：如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1，0），所以＝（－1，0，－1），＝（－2，0，－2）.所以＝2.所以∥，所以MN∥B1C. 10.证明：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系. 设正三棱柱的底面边长为a（a＞0），侧棱长为b（b＞0），则A（0，0，0），B（a，，0），B1（a，，b），C1（0，a，b），D（0，，0）， ∴＝（a，，b），＝（－a，0，0），＝（0，，b）. 设平面DBC1的法向量为n＝（x，y，z）， 则 ∴ 不妨令y＝2b，则n＝（0，2b，－a）. 由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 11.C　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的一个法向量为n＝（a，b，c），则即所以取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M.故选C. 12.AC　由题图得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（，，），F（0，，），所以＝（1，0，0），＝（，，），设平面ADE的法向量为n＝（x，y，z），则令z＝1，得y＝－1，x＝0，所以n＝（0，－1，1），故A正确；因为PD⊥AD，AD⊥CD，PD∩CD＝D，又PD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，所以平面PCD的一个法向量为＝（1，0，0）.又因为＝（－，，），·＝－≠0，所以与不垂直，即AE与平面PCD不平行，故B不正确；易知平面PAD的一个法向量为＝（0，1，0），又＝（－，0，0），·＝0，所以EF⊥DC，又EF⊄平面PAD，所以直线EF∥平面PAD，故C正确；设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），又＝（0，1，0），＝（1，0，－1），由令x1＝1，得m＝（1，0，1），又＝（0，，），所以·m＝≠0，所以直线DF与平面PAB不平行，故D不正确.故选A、C. 13.（，0，－）或（－，0，）　解析：因为l∥α，所以x＋2z＝0，又因为｜b｜＝2｜a｜，所以x2＋z2＝4（1＋1＋4）＝24，解得或 14.证明：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2）. 所以＝（0，2，1），＝（2，0，0），＝（0，2，1），＝（2，0，0）. （1）设n1＝（x1，y1，z1）是平面ADE的一个法向量，则n1⊥，n1⊥， 即 得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝（0，－1，2）. 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. （2）设n2＝（x2，y2，z2）是平面B1C1F的一个法向量. 由n2⊥，n2⊥，得 得 令z2＝2，得y2＝－1. 所以n2＝（0，－1，2），因为n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 15.解：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示. 设底面边长为a，则OD＝OC＝OB＝a，SO＝a，于是S， B，D， C（0，a，0）， 则＝， ＝（a，0，a）， ＝. 假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC. 由题意知是平面PAC的一个法向量， 设＝t，则＝＋＝＋t＝（－a，a－at，at）. 由·＝0，得－＋a2t＝0，解得t＝. 即当SE∶EC＝2∶1时，⊥， 又BE⊄平面PAC，所以BE∥平面PAC. 故侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，且SE∶EC＝2∶1. 学科网（北京）股份有限公司 $