第6章 空间向量与立体几何全章综合检测卷（基础篇）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第6章 空间向量与立体几何全章综合检测卷（基础篇） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·全国·课后作业）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 2．（5分）（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 3．（5分）（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（5分）（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（5分）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 11．（6分）（24-25高二下·湖南·期末）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A． B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 13．（5分）（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 14．（5分）（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·全国·课堂例题）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 16．（15分）（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. (1)用，，表示； (2)求的值. 17．（15分）（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 18．（17分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 19．（17分）（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. (1)求点B到平面CDE的距离； (2)求二面角的正切值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何全章综合检测卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·全国·课后作业）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 【答案】D 【解题思路】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【解答过程】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 2．（5分）（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【解答过程】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 3．（5分）（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【解答过程】因为， 所以, 得. 故选：D. 4．（5分）（2025高二·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，是的中点，点在上，且，设，则，，的值分别为（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解题思路】利用向量的加法、减法和数乘向量即可化简求出. 【解答过程】因为，则，即， 因是的中点，则， 所以. 故选：C． 5．（5分）（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【解答过程】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：C． 6．（5分）（2025高二上·江苏·专题练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【解答过程】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D. 7．（5分）（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，得出直线方向向量，利用线面角公式计算即可得. 【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 则，，, 设平面的法向量为， 则，设，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， . 故选：C. 8．（5分）（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A、，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B、平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C、，，，，所以，则，故C错误； D、，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【解答过程】对于A， ， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解题思路】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【解答过程】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为，所以D错误． 故选：BC. 11．（6分）（24-25高二下·湖南·期末）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A． B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【解题思路】根据线线的关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法可求与平面所成角的余弦值，判断B；求出三棱柱的外接球的半径，即可求出外接球表面积，判断C；利用向量法求点到平面的距离，判断D. 【解答过程】对于A，连接，因为， 所以为等边三角形，则，而， 所以，故A正确； 以为原点，在平面内过点D作的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 对于B，平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，由题意知为等边三角形， 的外接圆半径， 三棱柱的外接球半径 ， 所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则， 点到平面的距离，故D错误． 故选：AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【解题思路】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【解答过程】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【解题思路】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【解答过程】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为 . 【答案】 【解答过程】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可. 【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 点到平面的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·全国·课堂例题）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【解题思路】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【解答过程】（1）， 向量如图所示. （2）； 向量如图所示. （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示. 16．（15分）（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. (1)用，，表示； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【解答过程】（1）在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . （2）正四面体的棱长为1，则， 所以. 17．（15分）（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据空间向量夹角的坐标公式即可得解； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【解答过程】（1）因为，， 则，，， 所以. （2）由题意可得：， 因为，且， 设，即， 则，解得. 18．（17分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【解答过程】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 19．（17分）（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. (1)求点B到平面CDE的距离； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)4 (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案； （2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可. 【解答过程】（1）∵平面 平面 ∴， 又 两两互相垂直， 则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量 即 令，可得 ， ， 记点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为4. （2）由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由图可知 ， ， 由图知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为，正弦值为， 二面角的正切值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $