第03讲 空间向量基本定理（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第03讲 空间向量基本定理 【苏教版】 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·山西·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的基底向量的定义结合向量共面逐项分析判断. 【解答过程】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数x，y，使得成立， 则显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断． 【解答过程】若向量构成空间另一个基底，则向量不共面， 对于A，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故A不符题意； 对于B，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，无解， 所以向量不共面，故B符合题意； 对于C，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意； 对于D，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理进行求解即可. 【解答过程】若共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即． 因为，，不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是． 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解题思路】根据空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【解题思路】连接． 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二上·河北邢台·期末）如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的基本定理结合空间向量的线性运算即可求解； 【解答过程】由于底面为等边三角形，所以为其重心， 所以, 所以, 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 【答案】(1) (2) 【解题思路】结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）因为，所以， 因为，所以， 则. 【变式2.3】（24-25高二上·四川·期中）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)-1 【解题思路】（1）利用空间向量基本定理得到，； （2）设，得到，求出，当时，取得最小值. 【解答过程】（1）由题意可得 ， 所以 ； （2）设， 因为 ， 所以 ， 故当时，取得最小值，最小值为． 【题型3 空间向量基本定理及其应用】 【例3】（2025高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【解答过程】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选:A. 【变式3.1】（24-25高二下·江苏南通·期末）已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】推导出，利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合适的选项. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 又因为，且、、不共面，则，， 故，， 故选：A. 【变式3.2】（2025高三·浙江·专题练习）在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得. 【解答过程】（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. . （2）， 而，且不共面， 所以. 【变式3.3】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明： （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 模块二 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 正交分解】 【例4】（24-25高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【解答过程】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【解答过程】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先表示出，再根据投影向量的定义计算可得. 【解答过程】因为，， 所以， 又为一组单位正交基底， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【解答过程】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 模块三 用空间向量基本定理解决相关问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 证明平行、共线、共面问题】 【例5】（25-26高二上·全国·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 【变式5.1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面，理由见解析； (2)为空间的一组基底， ，理由见解析. 【解题思路】（1）利用反证法可判断不共面，故得四点不共面； （2）利用反证法可判断为空间的一组基底，利用待定系数法可求的表示形式. 【解答过程】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 【变式5.2】（24-25高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【变式5.3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明. （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1） 因为 . 又，，有公共点，所以，，，四点共面. （2）因为 . 所以，，.所以. 【题型6 几何中的求夹角、证明垂直问题】 【例6】（24-25高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1） （2）根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式6.1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时， 【解题思路】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 【变式6.2】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【解答过程】（1）， 所以 ； （2）， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 【变式6.3】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【解答过程】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为. 【题型7 几何中的求距离(长度)问题】 【例7】（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以向量为基底向量，表示出，由模长公式求出向量模长即可. 【解答过程】， ∴， ∴. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二上·安徽·期末）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解题思路】以，，为空间向量的一组基底，则，利用空间向量即可计算的长度. 【解答过程】根据题意，以，，为空间向量的一组基底， 所以， ， 所以， 可得，所以的长度为． 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二上·湖北孝感·期中）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【解答过程】（1） . （2）由题意：，，， ， 所以. 【变式7.3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 【题型8 空间向量基本定理与其他知识综合】 【例8】（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【解题思路】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【解答过程】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【解题思路】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【解答过程】因为底面是边长为1的正方形，底面 底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点.设.    (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【解答过程】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . 【变式8.3】（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设. (1)用分别表示. (2)若，求： （i）； （ii）. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）7 【解题思路】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，结合向量的线性运算，可得答案； （2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案. 【解答过程】（1）由题意，底面，连接对角线且交点记为，如下图： 因为底面为正六边形，则，且， 易知， ； . （2） ， 由，则， 由，则， ， （i） ， （ii） ， . 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【解答过程】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 2．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解. 【解答过程】, 故选：C. 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解题思路】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【解答过程】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【解答过程】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D. 5．（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量基底的概念进行判断. 【解答过程】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D. 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 7．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【解答过程】由题意可知， ， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，所以． 故选：B. 8．（24-25高二上·重庆·期中）已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【解题思路】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果. 【解答过程】 因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上， 且， 所以， 即的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·河北邢台·期中）给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【解题思路】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【解答过程】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 10．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【解答过程】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选：CD. 11．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在平行六面体中，，，与交于点．设，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ACD 【解题思路】利用空间向量的基本定理可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【解答过程】由题知，． 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D， ， 所以与的夹角为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（24-25高二上·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 【答案】 【解题思路】根据给定的基底，利用空间向量线性运算求解即得. 【解答过程】在空间四边形OABC中，，且， 所以 . 故答案为：. 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数等于 ． 【答案】4 【解题思路】因为三个向量不能作为空间向量的一组基，所以共面，由向量共面的条件求解即可. 【解答过程】因为三个向量不能作为空间向量的一组基， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基）， 则存在，使得，即， 所以,解得. 故答案为：4. 14．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ． 【答案】 【解题思路】利用空间向量的线性运算用基底向量表示后可求系数和. 【解答过程】，． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 16．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） ， ，，， . 17．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：    (1)； (2)． 【答案】(1)23 (2)7 【解题思路】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，利用向量的线性运算，用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律求解. （2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案. 【解答过程】（1）依题意，底面为正六边形，连接对角线且交点记为，如图：     ， ， 由，则， 由，则， ，， . （2）由（1）知， 因此 ， 所以. 18．（24-25高二上·山东·期中）在四棱柱中，四边形ABCD为菱形， 为AC的中点. (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理及数量积与模长关系计算即可； （2）利用空间向量数量积的运算律结合（1）计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知：， 且， 则 ； （2）易知， 所以 . 19．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间向量基本定理 【苏教版】 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·山西·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 【变式1.1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·河北邢台·期末）如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 【变式2.3】（24-25高二上·四川·期中）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 【题型3 空间向量基本定理及其应用】 【例3】（2025高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·江苏南通·期末）已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025高三·浙江·专题练习）在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【变式3.3】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 模块二 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 正交分解】 【例4】（24-25高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 模块三 用空间向量基本定理解决相关问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 证明平行、共线、共面问题】 【例5】（25-26高二上·全国·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式5.1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【变式5.2】（24-25高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式5.3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 【题型6 几何中的求夹角、证明垂直问题】 【例6】（24-25高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式6.1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【变式6.2】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【变式6.3】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【题型7 几何中的求距离(长度)问题】 【例7】（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·安徽·期末）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式7.2】（24-25高二上·湖北孝感·期中）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【变式7.3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【题型8 空间向量基本定理与其他知识综合】 【例8】（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式8.1】（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【变式8.2】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点.设.    (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 【变式8.3】（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设. (1)用分别表示. (2)若，求： （i）； （ii）. 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·期中）已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河北邢台·期中）给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 10．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在平行六面体中，，，与交于点．设，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 三、填空题 12．（24-25高二上·河北承德·期末）在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底） 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数等于 ． 14．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 16．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 17．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：    (1)； (2)． 18．（24-25高二上·山东·期中）在四棱柱中，四边形ABCD为菱形， 为AC的中点. (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 19．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $