6.1.3 共面向量定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

6.1.3　共面向量定理 [课时跟踪检测] 1.对于空间中的任意三个向量a,b,2a+4b,它们一定是 (　　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 解析:选A　若a,b不共线,则由空间共面向量定理知,a,b,2a+4b共面;若a,b共线,则a,b,2a+4b共线,也共面. 2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为 (　　) A.1 B.0 C.3 D. 解析:选D　∵=x++,且M,A,B,C四点共面,∴x++=1,∴x=,故选D. 3.在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,向量,,是 (　　) A.有相同起点的向量 B.等模的向量 C.共面向量 D.不共面向量 解析:选C　如图所示,向量,,显然不是有相同起点的向量,故A错误;由该平行六面体不一定是正方体可知,这三个向量不一定是等模的向量,故B错误;因为=,,,共面,所以,,共面,故C正确,D错误. 4.[多选]若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量共面的是 (　　) A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a 解析:选ABD　向量a,b,c不共面, b-c=2b-(b+c),因此三个向量共面; a+b+c=a+(b+c),因此三个向量共面; 若a+b,a-c,c共面,则存在实数s,t,使得a+b=s(a-c)+tc,故b=(s-1)a+(t-s)c,这与a,b,c不共面矛盾,故三个向量不共面; a-b=2a-(a+b),因此三个向量一定共面. 5.(5分)已知点M在平面ABC内,对空间任一点O,若2=x-+4,则x=　　　　.  解析:因为2=x-+4,所以=-+2,又点M在平面ABC内,所以-+2=1,解得x=-1. 答案:-1 6.(5分)若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为　　　　　.  解析:由=λ+μ(λ,μ∈R)及共面向量定理可知,向量与向量,共面,即直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行. 答案:AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE 7.(5分)已知i,j,k不共面,=i-2j+2k,=2i+j-3k,=λi+3j-5k,且A,B,C,D四点共面,则λ的值为　　　　.  解析:由题意得=+=3i-j-k,=+=(3+λ)i+2j-6k.因为A,B,C,D四点共面,所以存在唯一的(x,y),使得=x+y,即(3+λ)i+2j-6k=x(i-2j+2k)+y(3i-j-k),则解得 答案:1 8.(5分)如图,已知四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则=　　　　.  解析:由题可设=λ(0<λ<1),因为=++=2+3+,所以=2λ+3λ+λ.因为M,E,F,G四点共面,所以2λ+3λ+λ=1,解得λ=. 答案: 9.(5分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足=+x+y,其中x,y∈R,则点P可以是正方体表面上的点　　　.(答案不唯一)  解析:因为点P满足=+x+y=+x(-)+y(-) =(1-x-y)+x+y,其中1-x-y+x+y=1,所以点A,M,N,P四点共面, 因为点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,如图,则MN∥AB1,所以△ACB1即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故点P可以是正方体表面上的点B1(或C或△ACB1边上的任意一点). 答案:B1(或C或△ACB1边上的任意一点) 10.(10分)已知两个非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2.求证:A,B,C,D四点共面. 证明:∵+=5e1+5e2=5, ∴=(+)=+, 又与不共线, ∴,,共面,又它们有一个公共起点A. ∴A,B,C,D四点共面. 11.(10分)H为四棱锥P⁃ABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC.点G在AH上,AG=mAH,四边形ABCD为平行四边形.若G,B,P,D四点共面,求实数m的值. 解:如图,∵H为棱PC的三等分点,且PH=HC,∴=,∴=.又∵点G在AH上,AG=mAH,∴=m=m(+)=m=m=m=++. 又∵B,G,P,D四点共面,且,,不共面,∴++=1,解得m=. 12.(10分)设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面. 证明:如图,过B1作l3∥l1,取点C2∈l3且BC=B1C2,取CC2的中点P1. 因为=,=, 所以=2,=2. 因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线, 所以=λ=2λ,=μ=2μ. 于是=+=+=+(-)=(+)=(2λ+2μ)=λ+μ. 因此,,共面.故M,N,P,Q四点共面. 学科网（北京）股份有限公司 $