精品解析：浙江省温州市苍南县龙港市青华学校2025--2026学年上学期九年级期末模拟预测数学试题

青华学校2025学年第一学期期末摸底练习九年级数学试卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不得分） 1. 点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（    ） A. B. C. D. 2. 若线段，，，成比例线段，且，，，则为（ ）cm A. 15 B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（   ） A. B. C. D. 5. 从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球 6. 如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A. 1 B. C. D. 10. 已知函数，当时，函数值随增大而减小，且对于任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 12. 在“制作几何体模型”数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是_______． 13. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 _______． 14. 如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________． 15. 若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 16. 如图，已知平面直角坐标系内，为x轴上两点，以为直径的交y轴于两点，C为的中点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为平分时，则________． 三、解答题（本题有7小题，共52分） 17 已知． （1）求的值； （2）若，求a、b的值． 18. 将写有“清”“华”“学”“校”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球． （1）两次摸到同一个球的概率为______． （2）请用画树状图法或列表法求出两次摸到的球上的汉字恰好是“清”和“华”（不计顺序）的概率． 19. 如图，是的直径，射线交交于点C． （1）尺规作图：求作弧的中点D．（保留作图痕迹） （2）过点D画垂足为E．若，，求的面积． 20. 已知二次函数的图象与x轴交于和． （1）求二次函数的表达式． （2）当时，求y的取值范围． 21. 如图，已知抛物线，点P是第一象限内抛物线上一个动点，作轴于点A，点B是第一象限内抛物线上的另一个点（点B在的右侧），且，作轴于点C． （1）若点P的横坐标为2，求点B的坐标； （2）若点B关于的对称点恰好落在y轴上时，求的长． 22. 在古今中外许多著名建筑中，有很多应用圆弧设计元素． 如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱． 图2是两心尖拱的示意图，其中，点称为起拱处，点称为拱尖，到的距离CD称为拱高，与关于直线成轴对称．和的圆心分别是点、，且、恰好落在直线上． （1）如图3，当点恰好与重合，点恰好与重合，若，求所在圆的半径长； （2）若图2中，，，求两心尖拱的两个圆心、之间的距离． 23. 如图1，已知为直径，弦于点，是上一点，连接，，． （1）求证：； （2）如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青华学校2025学年第一学期期末摸底练习九年级数学试卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不得分） 1. 点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 2. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【详解】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质．根据，得，得顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即顶点坐标是， 故选：C． 4. 绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，正确理解题意是关键．根据频率估计概率，发芽率约为，因此发芽质量等于总质量乘以发芽率计算即可． 【详解】解：发芽率在附近波动，总质量为， 发芽质量约为． 故选:C． 5. 从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，通过计算每种颜色球的概率，比较大小，概率最小的事件发生可能性最小． 【详解】∵从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同）， ∴摸出红球的概率为， 摸出蓝球的概率为， 摸出白球的概率为， 摸出黑球的概率为， 又∵， ∴ 摸出黑球的概率最小，即发生可能性最小． 故选：D． 6. 如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 先由得到，再由即可得到，即可解答． 详解】解： ． 故选：C． 7. 如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，准确求出函数值是关键．通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， ∵， ∴ ∴ 故选：B 9. 如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 故选：C． 10. 已知函数，当时，函数值随增大而减小，且对于任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，掌握相关知识点是解题的关键，由函数在时函数值随增大而减小，可知；给定范围内函数值的差不超过，可得最大值与最小值的差不超过，解不等式并结合可求出的取值范围． 【详解】解：函数开口向上，对称轴为直线，且时函数值随增大而减小， ， 任意的和，，相应的函数值，总满足， 时，最大值与最小值的差不超过， 时，取到最小值， ， ，对称轴为直线， 时，取到最大值，此时， ，即， 解得， 又， ． 故选：． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象开口的方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据题意，函数有最低点可知二次函数图象开口向上，由此解出答案． 【详解】解：抛物线有最低点， 二次函数图象开口向上，即，解得． 故答案为：． 12. 在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了扇形的半径，掌握扇形面积公式是关键，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的半径为， 故答案为：6 ． 13. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 _______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 14. 如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，连接，可求出的度数，再由垂径定理的推论可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∵点F是劣弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若函数的图像过点，将该函数图像向右平移，当它再次经过点P时，所得的图像对应的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先根据点P在原始函数上求出c的值，得到点P坐标；再设函数向右平移h个单位，新函数为，代入点P坐标求解h，排除的情况，得到，从而得出平移后的函数表达式． 【详解】解：由点在函数上，代入得：，故， 设函数图像向右平移h个单位后，函数表达式为， 因其经过点，代入得， 化简得： 解得或，即或 其中对应原始函数，不符合“再次经过”的条件，故取， 因此平移后的函数表达式为． 故答案为：． 16. 如图，已知平面直角坐标系内，为x轴上两点，以为直径的交y轴于两点，C为的中点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为平分时，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设圆的半径为r，在中，可得即可求得半径；连接和，由平分得和，进一步得到，再得出和均为等腰直角三角形，设，在中，，代入求解即可求出b，再利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：连接． ∵， ∴， 设， 在中，， ∴，解得， ∴的半径为5． ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 过P点作，连接、． ∵平分， ∴，为等腰直角三角形 ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∵，， ∴， 设，在中，， 即：， 解得：，(舍去)． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用垂径定理求值，等腰直角三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角相等以及勾股定理，掌握这些知识是解题的关键． 三、解答题（本题有7小题，共52分） 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求a、b的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设，再代入要求的式子进行计算即可得出答案； （2）根据已知条件设，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 本题考查比例，在用比例的基本性质进行相关计算时，常用值法，根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未知数的代数式表示相应的字母，再代入求值． 【小问1详解】 ， 设，， ； 【小问2详解】 ， 设，， ， ，解得， ，． 18. 将写有“清”“华”“学”“校”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球． （1）两次摸到同一个球的概率为______． （2）请用画树状图法或列表法求出两次摸到的球上的汉字恰好是“清”和“华”（不计顺序）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）列表得到所有可能的结果，找出两次摸到同一个球的情况数，再利用概率公式求解即可； （2）由（1）中列表得到所有可能的结果，找出符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：列表如下： 　　　第一次 第二次 清 华 学 校 清 （清，清） （清，华） （清，学） （清，校） 华 （华，清） （华，华） （华，学） （华，校） 学 （学，清） （学，华） （学，学） （学，校） 校 （校，清） （校，华） （校，学） （校，校） 由列表可知，共种等可能的结果，其中两次摸到同一个球的结果有种， （两次摸到同一个球）； 【小问2详解】 解：由（1）列表可知，共有种等可能的结果，其中两次摸到的球上的汉字恰好是“清”和“华”的结果有种， （两次摸到的球上的汉字恰好是“清”和“华”）． 19. 如图，是的直径，射线交交于点C． （1）尺规作图：求作弧的中点D．（保留作图痕迹） （2）过点D画垂足为E．若，，求的面积． 【答案】（1）图形见解析 （2）的面积 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 矩形的性质与判定，圆周角定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于D，点D即为所求； （2）设交于F，由是的直径，得到，由垂径定理可得，证明四边形为矩形，得到，则，由勾股定理得，则的面积． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求； 作的垂直平分线交于D，点D即为所求； 【小问2详解】 解：设交于F， 是的直径， ， 由（1）得， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得， 的面积． 20. 已知二次函数的图象与x轴交于和． （1）求二次函数的表达式． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入和到，得到关于的方程组，求出的值即可解答； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：代入和，得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴当时，有最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． 21. 如图，已知抛物线，点P是第一象限内抛物线上一个动点，作轴于点A，点B是第一象限内抛物线上的另一个点（点B在的右侧），且，作轴于点C． （1）若点P的横坐标为2，求点B的坐标； （2）若点B关于的对称点恰好落在y轴上时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作于点M，由解析式，可求，由等腰三角形三线合一，得，于是，解得 ，故B的坐标为； （2）由解析式，设，由轴对称知，于是，得，，B在的右侧，故，得． 【小问1详解】 解：作于点M 当时， ∵轴，P的横坐标为2 ∴ ∵ ∴． 把代入得： 解得： ∵点B在AP的右侧 ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：设，由题意得： ∵点P在抛物线上 ∴ 化简得：解得：， ∵点B在右侧 ∴ ∵轴 ∴． 【点睛】本题考查函数解析式与方程的联系，一元二次方程求解，等腰三角形的性质，轴对称；理解函数与方程的联系是解题的关键． 22. 在古今中外许多著名建筑中，有很多应用圆弧设计的元素． 如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱． 图2是两心尖拱的示意图，其中，点称为起拱处，点称为拱尖，到的距离CD称为拱高，与关于直线成轴对称．和的圆心分别是点、，且、恰好落在直线上． （1）如图3，当点恰好与重合，点恰好与重合，若，求所在圆的半径长； （2）若图2中，，，求两心尖拱的两个圆心、之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． （1）由，在中，根据勾股定理，即可求解， （2）先确定圆心的位置，再根据勾股定理，求出的长，由垂径定理，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 设， 根据题意得， 中，，即：， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，在图中做出圆心M、圆心N，过点M作于点， ∵，， ∴， 在中，， 根据垂径定理可得垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：，解得：， ∵，关于直线成轴对称， ∴， ∴，即：， ∴． 23. 如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． （1）求证：； （2）如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案； （2）①证明，得出，代入数据求出结果即可； ②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可． 【小问1详解】 证明：直径，， ， ． 【小问2详解】 解：①，， ∴， ， ， ． ②连接， 是直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，平分， ，， ， 四边形是圆的内接四边形， ，， 由（1）可知， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内角四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $