专题5.1 比、比例及其性质（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

本讲义聚焦比、比例及其性质核心知识点，系统梳理比的意义、比值、基本性质，比例的意义、基本性质、解比例，以及比例尺、比与分数除法关系及应用，构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料采用“举一反三”设计，真题例题（如上海奉贤期中题）搭配变式练习，结合电视屏幕比例、中药方剂配比等生活实例，培养抽象能力、运算能力与模型意识。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

专题5.1 比、比例及其性质（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 求比值】 1 【题型2 比的性质】 4 【题型3 比例尺】 6 【题型4 比的化简】 8 【题型5 比与分数、除法的关系】 9 【题型6 比例的意义】 11 【题型7 比例的基本性质】 13 【题型8 比的应用】 15 【题型9 解比例】 17 【题型10 比例的应用】 21 知识点1 比与比值 1. 比：两个数或两个同类量a与b相除．记或． 2.比值：前项a除以后项b所得的商． 【题型1 求比值】 【例1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）求比值：米厘米= ． 【答案】 【分析】本题考查了求比值． 先将单位统一为厘米，再求比值并化简． 【详解】解：米厘米， 所以25厘米厘米． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）求比值． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求两个数的比值，掌握计算方法是解题的关键． （1）先写成除法计算，再把结果写成分数形式即可； （2）先把小数变成分数，然后写成分数除法，再转化成分数乘法计算，结果写成分数形式即可； （3）先写成分数除法，再转化成分数乘法计算，结果写成分数形式即可； （4）先统一单位，再化简比，最后结果写成分数形式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-2】（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）甲乙，丙乙，那么甲乙丙 ． 【答案】 【分析】本题考查了连比，根据比的基本性质把两个比中乙的份数化为相等即可求解． 【详解】解：甲：乙，丙乙， 答：甲乙丙． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，两个三角形纸片重叠部分的面积相当于大三角形纸片面积的，相当于小三角形纸片的，则大小三角形纸片的面积比的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质的应用，两个三角形纸片重叠部分的面积相当于大三角形纸片面积的，相当于小三角形纸片的，即大三角形纸片面积小三角形纸片面积，然后逆用比例的基本性质解答即可．比例基本的性质的灵活运用是解题的关键． 【详解】解：大三角形纸片面积小三角形纸片面积， 大三角形纸片面积：小三角形纸片面积． 答：大小三角形纸片的面积比的比值为． 故答案为：． 知识点2 比的基本性质 1. ． 2. 三项连比 （1）若，，则 （2）若，则 【题型2 比的性质】 【例2】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）若的前项加上6，要使比值不变，后项应加上 ；若后项加上15，要使比值不变，前项应乘 ． 【答案】 10 4 【分析】本题考查比的性质，根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此求解即可 【详解】的前项加上6后变为9，，即前项扩大为原来的3倍，因此后项也应扩大为原来的3倍，，故后项应加上； 的后项加上15后变为20，，即后项扩大为原来的4倍，因此前项也应扩大为原来的4倍， 故前项应乘4， 故答案为：10，4 【变式2-1】（25-26六年级上·全国·课后作业）一个比的比值是，如果它的前项乘，后项不变，则比值变为（ ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】知识点：比的基本性质（后项不变时，前项的变化会同步影响比值）．方法：设原比的前、后项，通过代数表达式推导新比值．关键：明确“后项不变，前项乘几，比值就乘几”的规律．易错点：混淆比的前项、后项变化对值的影响（如误将后项变化当成前项变化）． 比的前项和后项变化时，比值会相应变化．后项不变，前项乘一个数，比值也乘相同的数． 【详解】设原比的前项为，后项为，则 ． ∵ 前项乘，后项不变， ∴ 新比值为 ． ∴ 比值变为． 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）已知，下面推断错误的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比的性质，解题的关键是熟练掌握比的性质．先根据得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； A．∵，∴，推断正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∴， ∴，推断正确，不符合题意； C．，推断正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∴， ∴，推断错误，符合题意． 故选：D． 【变式2-3】（25-26六年级上·全国·课后作业）随着人们生活水平日益提高，大家对于产品的科学性、美观性等方面要求也越来越高．比如：高清电视屏幕的长与宽之比由原来的发展为，因为16∶9更符合人的视觉体验，也利于视频画面的呈现（电视是英国人发明的，最开始就用英寸了，1英寸）．下面四位同学说出了自己对的理解，其中理解错误的是（ ）． A．电视屏幕长不一定是16英寸，宽不一定是9英寸 B．电视屏幕长减少7英寸，就和宽一样长了 C．如果电视屏幕长8英寸，那么宽应该是4.5英寸 D．电视屏幕长大约是宽的2倍少一点 【答案】B 【分析】知识点：比的意义（比例是相对关系，非固定数值）．方法：通过设比例系数k（），将长、宽表示为、，逐一验证选项．关键：明确“”是长与宽的比例关系，长、宽是等比例缩放的，并非固定为16、9．易错点：将比例中的数值当作实际长度，忽略比例的“缩放性”． 根据比例的意义，长和宽对应成比例，但具体数值可以缩放．选项B中长减少7英寸后等于宽，这仅当比例系数为1时成立，不具普遍性． 【详解】∵ 电视屏幕长与宽之比为， ∴ 设长为英寸，宽为英寸（）． 对于选项B：长减少7英寸后为，若等于宽， 则，解得，． 但不一定为1，例如当时，长为32英寸，宽为18英寸，． ∴ 选项B错误． 其他选项正确：A中长和宽可等比例变化（如32英寸和18英寸）；C中；D中． 故选：B． 【题型3 比例尺】 【例3】（25-26七年级上·河北秦皇岛·开学考试）在一座城市地图中，两地的图上距离为，两地的实际距离，该幅地图的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例尺，熟记比例尺图上距离实际距离是解题的关键；先把图上距离与实际距离的单位统一，再求图上距离与实际距离的比，化简即可． 【详解】解：， ， 故选：． 【变式3-1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，设两地间的实际距离是，根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离成比例得，计算实际距离后转换单位即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设两地间的实际距离是， ∴， ∴， ∴， ∴两地间的实际距离为， 故选：． 【变式3-2】在比例尺是的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（   ） A．15点 B．17点 C．19点 D．21点 【答案】D 【分析】先根据比例尺求出、两港的实际距离，再根据路程、速度求出行驶时间，最后结合出发时间算出到达时间． 本题主要考查了比例尺的应用以及路程、速度、时间的关系，熟练掌握比例尺的含义和行程问题的基本公式是解题的关键． 【详解】解： 厘米千米，量得图上距离为厘米， 实际距离为千米． 所需时间为小时． 到达时间为时，即点． 故选： ． 【变式3-3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）一辆汽车以80千米／时的速度从地开往地，如果上午出发，那么当天上午到达．如果把这段路程画在比例尺是的地图上，要画（   ）厘米 A．4 B．14 C．16 D．8 【答案】C 【分析】先计算行驶时间，再求实际路程，将其转换为厘米后按比例尺计算图上距离解答即可． 本题考查了行程问题，比例尺的应用，熟练掌握比例尺是解题的关键． 【详解】解：根据题意，行驶时间为：到共4小时，行驶路程为：， 故图上距离为：， 故选：C． 【题型4 比的化简】 【例4】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）最简单的整数比是的比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比的化简，熟练掌握比的基本性质是解题的关键． 根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变．将每个选项的比化简为最简整数比，判断是否为1∶2即可． 【详解】选项A：，故不符合题意； 选项B：，故不符合题意； 选项C：，故不符合题意； 选项D：，故符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）将5克盐放入100克水中，盐和盐水质量的最简整数比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比的化简，需要计算盐和盐水的质量比，并化为最简整数比，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵盐的质量为5克， ∴盐水的质量为（克）， ∴盐和盐水的质量比为， 故选：C． 【变式4-2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把化成最简单的整数比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简比．通过同时乘以分母的最小公倍数来消除分母，化简比． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）一个工程队6天安装水管180米，安装的长度和天数的最简单的整数比是( )，比值是( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了比的应用、比的化简等知识点，掌握比的意义是解题的关键． 安装的长度和天数的比是，然后化简为最简整数比即可． 【详解】解：安装的长度和天数的比是； 化简比：180和6的最大公约数是6，比的前项和后项同时除以6，得，，即最简整数比为． 比值是前项除以后项，即． 故答案为，30． 【题型5 比与分数、除法的关系】 【例5】（2025七年级上·四川成都·专题练习） ． 【答案】 33 7.8 【分析】本题考查分数，比和除法的转换，根据比的基本性质，以及比与分数和除法的关系进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：33；7.8． 【变式5-1】（24-25六年级上·山东滨州·期中）对于式子，下列四个变形结果：①；②；③；④，正确的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查式子的变形，掌握除法和分数、比值和乘法的互化是解题的关键． 【详解】解：式子可以变形为：或或， 正确的个数为3个， 故选：B． 【变式5-2】甲数除以乙数的商是，甲数和乙数的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比与除法的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据甲数除以乙数的商是，得到甲数和乙数的比是，即可解答． 【详解】解：∵甲数除以乙数的商是， ∴甲数和乙数的比是． 故选C． 【变式5-3】（2025六年级下·上海·专题练习）已知甲：乙；乙：丙，而且甲、乙两数的和是84，则乙、丙两数的和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分数的除法运算及比的意义， 试题分析：根据甲：乙，乙就占甲、乙两数和的，甲、乙两数的和是84，可求出乙数是多少，再根据乙：丙，可知乙占了乙、丙两数和的．据此可求出乙、丙两数的和． 【详解】解：， ， ． 答：乙、两两数的和是 知识点3 比例 1. 定义：若，则a，b，c，d成比例．（表示两个比相等的式子）． 2. 性质：若或，则，反之亦成立（a，b，c，d都不为零），即两外项之积等于两内项之积． 【题型6 比例的意义】 【例6】（24-25七年级上·辽宁沈阳·开学考试）下面两个比可以组成比例的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，求比值，比例的定义，掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：A．，， ∵， ∴和不能组成比例，故A不符合题意； B．，， ∴和能组成比例，故B符合题意； C．，， ∵， ∴和不能组成比例，故C不符合题意； D．，， ∵ ∴和不能组成比例，故D不符合题意． 故选：B． 【变式6-1】（24-25六年级下·上海金山·期中）有2、3、6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是（    ） A．1 B．4 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了比例，根据比例的定义进行即可． 【详解】解：，，，而12则不能与这3个数组成比例； 故选：D． 【变式6-2】（2025六年级下·上海·专题练习）“六一”儿童节，实验小学六（3）班的购物情况如下表．淘气、笑笑和乐乐根据表格信息分别写出几个比例．他们所写的比例中，正确的有（　　）个． 垫板夹 阅读架 多功能笔袋 马克笔 单价/元 12 19.8 20 39 总价/元 600 990 1000 1950 淘气： 笑笑： 欢欢： 乐乐： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了比例的概念，两个比相等的式子叫做比例，据此判断下面4个比例是否正确即可，熟知比例的概念是解题的关键． 【详解】解：淘气：，所以该选项正确； 笑笑：，所以该选项正确； 欢欢：，所以该选项正确； 乐乐：，所以该选项错误； 他们所写的比例中有3个是正确的． 故选：C． 【变式6-3】（2025六年级下·上海·专题练习）下表中能组成比例的是（　　） A． 年龄/岁 11 13 身高/m 1.4 1.6 B． 衣服数量/件 5 10 总价/元 200 360 C． 时间/时 2 3 路程/km 30 40 D． 箱子数量/个 3 7 质量/kg 18 42 【答案】D 【分析】本题考查了比例的意义，根据比例的意义和求比值的方法，将4个选项中对应的数据求比值，再比较比值是否相等即可得解． A．求出身高与年龄的比，看两个比的比值是否相等即可；B．求出总价与件数的比，看两个比的比值是否相等即可；C．求出路程与时间的比，看两个比的比值是否相等即可；D．求出质量与箱子个数的比，看两个比的比值是否相等即可． 【详解】A．，，两个比的比值不相等，不能组成比例； B．，，两个比的比值不相等，不能组成比例； C．，，两个比的比值不相等，不能组成比例； D．，，两个比的比值相等，能组成比例． 故选：D． 【题型7 比例的基本性质】 【例7】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）如果（均不为0），那么（    ） A．30 B．11 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，直接计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选A． 【变式7-1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项0.3，另一个内项是 ． 【答案】 【分析】本题考查比的性质，根据比例的性质，外项之积等于内项之积，且两个外项互为倒数，故外项之积为1，从而内项之积也为1，进而即可求解． 【详解】解：设另一个内项为x． 在比例中，外项之积等于内项之积．由于两个外项互为倒数，其积为1，故内项之积也为1，即．解得 ．故另一个内项为． 故答案为． 【变式7-2】（25-26六年级上·全国·课后作业）在一个比例中，两个内项的积是最小的合数，已知一个外项是，另一个外项是( )． 【答案】20 【分析】本题主要考查了比例的基本性质、合数等知识点，掌握比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键． 由最小的合数是4，因此两个外项的积为4．据此列式计算即可． 【详解】解：∵最小的合数是4，两个内项的积是最小的合数， ∴两个内项的积是4． ∴两个外项的积也是4． ∵已知一个外项是 ， ∴另一个外项为 ． 故答案为20． 【变式7-3】（25-26六年级上·全国·课后作业）有两个比，它们的比值都是，第一个比的前项与第二个比的后项都是12，把这两个比组成比例，并写下来． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质和意义，解题的关键是掌握该性质． 根据题意可知组成比例的两个比，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，再根据比的前项比值比的后项，比的后项比的前项比值，进而写出比例即可． 【详解】解： 组成的比例是． 知识点4 比的应用 1. 已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？ 2. 已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？ 3. 已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？ 【题型8 比的应用】 【例8】（25-26六年级上·黑龙江大庆·期末）张仲景是我国东汉时期著名的医学家，他所著的《金匮要略》中记载了一味中药方剂叫苓桂术甘汤（如下图）．（“两”是我国古代及现代民间常用的一种质量单位）配制这种方剂，茯苓、桂枝、白术和甘草这四味中药的质量比是（    ）∶（    ）∶（    ）∶（    ）． 王爷爷按这个药方配中药共重360克，其中甘草有多少克？（提示：上面的括号不要忘记填） 【答案】4，3，3，2，甘草有60克 【分析】本题考查比的应用，根据图片中的信息，得到茯苓、桂枝、白术和甘草这四味中药的质量比，再根据王爷爷按这个药方配中药共重360克，求出甘草的质量即可． 【详解】解：由图可知：茯苓、桂枝、白术和甘草这四味中药的质量比是， （克）； 答：甘草有60克． 【变式8-1】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）快递公司配送一批加急件，已配送的件数与剩下的件数的比是．已知这批加急件还剩下56件没有配送”，这批加急件一共有多少件？ 【答案】98件 【分析】本题考查了比的应用，根据已配送件数与剩下件数的比是，可知剩下件数占总件数的，利用剩下56件求解即可． 【详解】解：因为已配送的件数与剩下的件数的比是， 所以剩下件数占总件数的比例为， 这批加急件一共有：． 答：这批加急件一共有98件． 【变式8-2】（25-26六年级上·全国·课后作业）甲、乙两人完成某项工程的天数之比是，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为，那么甲做15天的工程丙要做（ ）天． A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了比的性质． 通过求出甲、乙、丙完成工程的天数之比，再根据比例关系求解． 【详解】甲乙，乙丙， 甲乙，乙丙， 甲乙丙， 即甲丙， 甲做15天的工程，丙要做8天． 故选：C． 【变式8-3】（25-26七年级上·浙江金华·开学考试）两个相同的瓶子装满酒精溶液．一个瓶中酒精与水的体积之比是，另一个瓶中酒精与水的体积之比是．若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比的应用，将每个瓶子的容积视为单位1，分别计算两个瓶子中酒精和水的体积，进而求出酒精和水的总体积，再求出对应的比即可得到答案． 【详解】解：设每个瓶子容积为1． 因为一个瓶中酒精与水的体积之比是， 所以这个瓶子中的酒精体积为，水体积为 因为另一个瓶中酒精与水的体积之比是， 所以这个瓶子中的酒精体积为，水体积为． 所以混合后，酒精的总体积为， 水的总体积为， 所以混合液中酒精与水的体积之比是． 故选A． 【题型9 解比例】 【例9】（25-26六年级上·全国·课后作业）解比例． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解比例、应用等式的性质2解方程，解题的关键是掌握解比例的步骤． （1）先根据比例的基本性质把比例转化成，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以即可； （2）先根据比例的基本性质把比例转化成 ，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以并进一步计算； （3）先根据比例的基本性质把比例转化成，再根据等式的基本性质给方程两边同时除以并进一步计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式9-1】（24-25六年级下·上海·月考）如果9是和27的比例中项，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例中项“如果满足，则叫做和的比例中项”，熟练掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵9是和27的比例中项， ∴， 解得， 故答案为：3． 【变式9-2】（24-25六年级下·全国·单元测试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解比例、解一元一次方程等知识点，将解比例转化成一元一次方程是解题的关键． （1）（2）先根据比例的基本性质将比例转换成一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 【变式9-3】解比例 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解比例，解题的关键是掌握比例的性质． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例的性质求解即可； （3）根据比例的性质求解即可； （4）根据比例的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点5 比例的应用 1. 根据比例的意义和性质解题 根据，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值，如：． 简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用 比例的性质，求解未知量． 2. 比例尺 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比． 即：比例尺图上距离实际距离． 3. 已知两个量的数量比与数量和 两个量A、B，数量之比为，数量之和为x，则A的数量为，B的数量为． 4. 已知两个量的数量比与数量差 两个量A、B，数量之比为（），数量之差为x，则A的数量为，B 的数量为． 5. 设k法 若，可设，，其中，那么：，． 6. 路程、速度和时间三个量之间的基本关系 路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． 7. 两个物体运行时间相同 当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，它们走过的路程之比就等 于它们的速度之比． 【题型10 比例的应用】 【例10】仓库里有一批粮食，调走后，又调入吨，这时仓库里的粮食与原有粮食比是，仓库里原来有粮食多少吨？ 【答案】吨 【分析】本题考查了比例的应用；设仓库里原来有粮食吨，根据题意列出比例式，解比例方程，即可求解． 【详解】解：设仓库里原来有粮食吨，根据题意得， 解得： 答：仓库里原来有粮食吨． 【变式10-1】学校一次选拔考试，参加的男生与女生之比是，结果录取117人，其中男女生人数之比是，在未被录取的学生中，男女生人数之比是，那么参加这次考试的男女生各有多少名？ 【答案】参加这次考试的男生有90人，女生有75人 【分析】本题主要考查了比的应用，一元一次方程的实际应用，根据录取结果可求出录取的男生有72人，录取的女生有45人，设参加这次考试的男生有人，则参加这次考试的女生有人，根据在未被录取的学生中，男女生人数之比是建立比例方程求解即可． 【详解】解：人，人， 所以录取的男生有72人，录取的女生有45人， 设参加这次考试的男生有人，则参加这次考试的女生有人， 所以， 解得：， 所以， 答：参加这次考试的男生有90人，女生有75人． 【变式10-2】（25-26七年级上·浙江金华·开学考试）A、B两种商品的价格比是．如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是，这两种商品原来的价格各是多少元？ 【答案】A商品原来210元，B商品原来90元 【分析】本题考查了比例的应用，根据题意列出比例式是解题的关键．设A、B两种商品的价格原来分别是和，则价格上涨后的价格分别为和，根据题意列出比例式，解比例，即可求解． 【详解】解：设A、B两种商品的价格原来分别是和，则价格上涨后的价格分别为和， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， 则． 答：A商品原来210元，B商品原来90元． 【变式10-3】（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是，甲乙两堆原来各有多少袋水泥． 【答案】甲堆原来有150袋水泥，乙堆原来有100袋水泥 【分析】本题考查了比例的应用，先设甲堆原来有袋水泥，则乙堆原来有袋水泥，根据当甲堆运走，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是，进行列式，再解比例，即可作答． 【详解】解：设甲堆原来有袋水泥， ∵甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是， ∴ 整理得， ∴， ∴， 则， 解得， ∴（袋）， 即甲堆原来有150袋水泥，乙堆原来有100袋水泥． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 比、比例及其性质（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 【题型1 求比值】 1 【题型2 比的性质】 2 【题型3 比例尺】 3 【题型4 比的化简】 3 【题型5 比与分数、除法的关系】 3 【题型6 比例的意义】 4 【题型7 比例的基本性质】 5 【题型8 比的应用】 6 【题型9 解比例】 6 【题型10 比例的应用】 8 知识点1 比与比值 1. 比：两个数或两个同类量a与b相除．记或． 2.比值：前项a除以后项b所得的商． 【题型1 求比值】 【例1】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）求比值：米厘米= ． 【变式1-1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）求比值． (1) (2) (3) (4) 【变式1-2】（25-26六年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）甲乙，丙乙，那么甲乙丙 ． 【变式1-3】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，两个三角形纸片重叠部分的面积相当于大三角形纸片面积的，相当于小三角形纸片的，则大小三角形纸片的面积比的比值为 ． 知识点2 比的基本性质 1. ． 2. 三项连比 （1）若，，则 （2）若，则 【题型2 比的性质】 【例2】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）若的前项加上6，要使比值不变，后项应加上 ；若后项加上15，要使比值不变，前项应乘 ． 【变式2-1】（25-26六年级上·全国·课后作业）一个比的比值是，如果它的前项乘，后项不变，则比值变为（ ）． A． B． C．2 D． 【变式2-2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）已知，下面推断错误的选项是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26六年级上·全国·课后作业）随着人们生活水平日益提高，大家对于产品的科学性、美观性等方面要求也越来越高．比如：高清电视屏幕的长与宽之比由原来的发展为，因为16∶9更符合人的视觉体验，也利于视频画面的呈现（电视是英国人发明的，最开始就用英寸了，1英寸）．下面四位同学说出了自己对的理解，其中理解错误的是（ ）． A．电视屏幕长不一定是16英寸，宽不一定是9英寸 B．电视屏幕长减少7英寸，就和宽一样长了 C．如果电视屏幕长8英寸，那么宽应该是4.5英寸 D．电视屏幕长大约是宽的2倍少一点 【题型3 比例尺】 【例3】（25-26七年级上·河北秦皇岛·开学考试）在一座城市地图中，两地的图上距离为，两地的实际距离，该幅地图的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在比例尺是的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（   ） A．15点 B．17点 C．19点 D．21点 【变式3-3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）一辆汽车以80千米／时的速度从地开往地，如果上午出发，那么当天上午到达．如果把这段路程画在比例尺是的地图上，要画（   ）厘米 A．4 B．14 C．16 D．8 【题型4 比的化简】 【例4】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）最简单的整数比是的比是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）将5克盐放入100克水中，盐和盐水质量的最简整数比是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把化成最简单的整数比为 ． 【变式4-3】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）一个工程队6天安装水管180米，安装的长度和天数的最简单的整数比是( )，比值是( )． 【题型5 比与分数、除法的关系】 【例5】（2025七年级上·四川成都·专题练习） ． 【变式5-1】（24-25六年级上·山东滨州·期中）对于式子，下列四个变形结果：①；②；③；④，正确的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-2】甲数除以乙数的商是，甲数和乙数的比是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025六年级下·上海·专题练习）已知甲：乙；乙：丙，而且甲、乙两数的和是84，则乙、丙两数的和是多少？ 知识点3 比例 1. 定义：若，则a，b，c，d成比例．（表示两个比相等的式子）． 2. 性质：若或，则，反之亦成立（a，b，c，d都不为零），即两外项之积等于两内项之积． 【题型6 比例的意义】 【例6】（24-25七年级上·辽宁沈阳·开学考试）下面两个比可以组成比例的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-1】（24-25六年级下·上海金山·期中）有2、3、6三个数，再选取一个数，使得这四个数成比例，这个数不能是（    ） A．1 B．4 C．9 D．12 【变式6-2】（2025六年级下·上海·专题练习）“六一”儿童节，实验小学六（3）班的购物情况如下表．淘气、笑笑和乐乐根据表格信息分别写出几个比例．他们所写的比例中，正确的有（　　）个． 垫板夹 阅读架 多功能笔袋 马克笔 单价/元 12 19.8 20 39 总价/元 600 990 1000 1950 淘气： 笑笑： 欢欢： 乐乐： A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】（2025六年级下·上海·专题练习）下表中能组成比例的是（　　） A． 年龄/岁 11 13 身高/m 1.4 1.6 B． 衣服数量/件 5 10 总价/元 200 360 C． 时间/时 2 3 路程/km 30 40 D． 箱子数量/个 3 7 质量/kg 18 42 【题型7 比例的基本性质】 【例7】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）如果（均不为0），那么（    ） A．30 B．11 C． D． 【变式7-1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项0.3，另一个内项是 ． 【变式7-2】（25-26六年级上·全国·课后作业）在一个比例中，两个内项的积是最小的合数，已知一个外项是，另一个外项是( )． 【变式7-3】（25-26六年级上·全国·课后作业）有两个比，它们的比值都是，第一个比的前项与第二个比的后项都是12，把这两个比组成比例，并写下来． 知识点4 比的应用 1. 已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？ 2. 已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？ 3. 已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？ 【题型8 比的应用】 【例8】（25-26六年级上·黑龙江大庆·期末）张仲景是我国东汉时期著名的医学家，他所著的《金匮要略》中记载了一味中药方剂叫苓桂术甘汤（如下图）．（“两”是我国古代及现代民间常用的一种质量单位）配制这种方剂，茯苓、桂枝、白术和甘草这四味中药的质量比是（    ）∶（    ）∶（    ）∶（    ）． 王爷爷按这个药方配中药共重360克，其中甘草有多少克？（提示：上面的括号不要忘记填） 【变式8-1】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）快递公司配送一批加急件，已配送的件数与剩下的件数的比是．已知这批加急件还剩下56件没有配送”，这批加急件一共有多少件？ 【变式8-2】（25-26六年级上·全国·课后作业）甲、乙两人完成某项工程的天数之比是，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为，那么甲做15天的工程丙要做（ ）天． A．6 B．7 C．8 D．10 【变式8-3】（25-26七年级上·浙江金华·开学考试）两个相同的瓶子装满酒精溶液．一个瓶中酒精与水的体积之比是，另一个瓶中酒精与水的体积之比是．若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【题型9 解比例】 【例9】（25-26六年级上·全国·课后作业）解比例． (1) (2) (3) 【变式9-1】（24-25六年级下·上海·月考）如果9是和27的比例中项，那么 ． 【变式9-2】（24-25六年级下·全国·单元测试）解方程 (1) (2) 【变式9-3】解比例 (1) (2) (3) (4) 知识点5 比例的应用 1. 根据比例的意义和性质解题 根据，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值，如：． 简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用 比例的性质，求解未知量． 2. 比例尺 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比． 即：比例尺图上距离实际距离． 3. 已知两个量的数量比与数量和 两个量A、B，数量之比为，数量之和为x，则A的数量为，B的数量为． 4. 已知两个量的数量比与数量差 两个量A、B，数量之比为（），数量之差为x，则A的数量为，B 的数量为． 5. 设k法 若，可设，，其中，那么：，． 6. 路程、速度和时间三个量之间的基本关系 路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． 7. 两个物体运行时间相同 当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，它们走过的路程之比就等 于它们的速度之比． 【题型10 比例的应用】 【例10】仓库里有一批粮食，调走后，又调入吨，这时仓库里的粮食与原有粮食比是，仓库里原来有粮食多少吨？ 【变式10-1】学校一次选拔考试，参加的男生与女生之比是，结果录取117人，其中男女生人数之比是，在未被录取的学生中，男女生人数之比是，那么参加这次考试的男女生各有多少名？ 【变式10-2】（25-26七年级上·浙江金华·开学考试）A、B两种商品的价格比是．如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是，这两种商品原来的价格各是多少元？ 【变式10-3】（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是，甲乙两堆原来各有多少袋水泥． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $