专题1.4 二次根式（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦二次根式专题，覆盖相关概念、性质与化简、运算三大中考核心考点，系统梳理10个知识点形成逻辑体系。通过“考点梳理-题型分类-真题演练”教学环节，结合例题与变式训练帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“数学思维”与“创新意识”的培养，如规律探究题型通过特例归纳猜想，培养学生推理能力。12个题型分层设计，包含开放题、新定义题等，配合中考真题即时反馈，确保高效复习。助力学生提升运算与应用能力，为教师提供精准复习节奏指导。

专题1.4 二次根式（举一反三复习讲义） 【10个知识点+3大考点+12个题型】 【考点一 二次根式的相关概念】 2 【题型1 二次根式有意义的条件】 2 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 2 【考点二 二次根式的性质与化简】 2 【题型3 利用二次根式的性质化简】 3 【题型4 二次根式与数轴】 3 【考点三 二次根式的运算】 4 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 6 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 6 【题型7 分母有理化】 7 【题型8 二次根式的混合运算】 7 【题型9 估算二次根式的值】 8 【题型10 二次根式的应用】 8 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 10 【题型12 与二次根式有关的规律探究问题】 10 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握二次根式有意义的条件（被开方数非负）。理解并运用其双重非负性、性质（ ）及乘除运算法则。熟练掌握化简（最简二次根式、分母有理化）与加减运算（先化为最简，再合并同类二次根式）。能进行混合运算。 纯二次根式运算题多为化简或混合运算，属基础题。命题主流是将其融入复杂情境考查，如与勾股定理、坐标系、函数、几何图形计算结合，作为解题过程中的关键一环。对运算准确性和结果最简化要求高，忽视被开方数条件是常见失分点。 1. 化简先行：运算前先将各项化为最简二次根式（被开方数不含能开方的因数，分母不含根号）。 2. 类比合并：加减运算实质是合并同类二次根式（被开方数相同），与合并同类项方法一致。 3. 活用性质：遇形式，利用 ，并根据a的符号去绝对值；复杂计算时可考虑先平方再开方。 【考点一 二次根式的相关概念】 知识点1 二次根式的概念 1. 定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2. 拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 【题型1 二次根式有意义的条件】 【例1】（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式1-3】（2025·江苏南京·一模）若式子在实数范围内有意义，则a，b的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 【例2】（2025·河南濮阳·一模）二次根式，给赋予一个实际意义为 ． 【变式2-1】（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ． 【变式2-2】用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是 【变式2-3】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【考点二 二次根式的性质与化简】 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【题型3 利用二次根式的性质化简】 【例3】（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【变式3-1】（2025·广西·一模）化简： ． 【变式3-2】（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【变式3-3】（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 【题型4 二次根式与数轴】 【例4】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【变式4-1】（2025·河北保定·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 【变式4-2】（2025·福建三明·一模）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（    ） A． B．5 C． D． 【变式4-3】（2025·广西南宁·二模）课本中学习过在数轴上表示无理数的方法．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【考点三 二次根式的运算】 知识点4 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点5 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 知识点6 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点7 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 知识点8 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 知识点9 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点10 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 【例5】若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【变式5-1】（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 【变式5-2】（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【变式5-3】（2024·河北衡水·一模）设，其中，，则M的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 【例6】（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型7 分母有理化】 【例7】（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 【变式7-1】分母有理化：＝ ． 【变式7-2】阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： （1）比较大小：　 　（用“＞”“＜”或“＝”填空）； （2）计算：+； （3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值． 【变式7-3】二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【题型8 二次根式的混合运算】 【例8】（2025·甘肃天水·模拟预测）计算：； 【变式8-1】（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【变式8-2】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式8-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是方程的两根 (1)求的值 (2)求的值． 【题型9 估算二次根式的值】 【例9】估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【变式9-1】（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【变式9-2】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【变式9-3】（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【题型10 二次根式的应用】 【例10】（2025·安徽阜阳·三模）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积 （填“”“”或“”）． 【变式10-1】（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级上·河北邯郸·月考）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【变式10-3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 【例11】（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【变式11-1】（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 【变式11-2】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【变式11-3】（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【题型12 与二次根式有关的规律探究问题】 【例12】（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【变式12-1】如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【变式12-2】（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（a，b为正整数），则 ． 【变式12-3】（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 二次根式（举一反三复习讲义） 【10个知识点+3大考点+12个题型】 【考点一 二次根式的相关概念】 2 【题型1 二次根式有意义的条件】 2 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 3 【考点二 二次根式的性质与化简】 4 【题型3 利用二次根式的性质化简】 5 【题型4 二次根式与数轴】 7 【考点三 二次根式的运算】 9 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 11 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 12 【题型7 分母有理化】 14 【题型8 二次根式的混合运算】 17 【题型9 估算二次根式的值】 19 【题型10 二次根式的应用】 21 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 25 【题型12 与二次根式有关的规律探究问题】 27 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握二次根式有意义的条件（被开方数非负）。理解并运用其双重非负性、性质（ ）及乘除运算法则。熟练掌握化简（最简二次根式、分母有理化）与加减运算（先化为最简，再合并同类二次根式）。能进行混合运算。 纯二次根式运算题多为化简或混合运算，属基础题。命题主流是将其融入复杂情境考查，如与勾股定理、坐标系、函数、几何图形计算结合，作为解题过程中的关键一环。对运算准确性和结果最简化要求高，忽视被开方数条件是常见失分点。 1. 化简先行：运算前先将各项化为最简二次根式（被开方数不含能开方的因数，分母不含根号）。 2. 类比合并：加减运算实质是合并同类二次根式（被开方数相同），与合并同类项方法一致。 3. 活用性质：遇形式，利用 ，并根据a的符号去绝对值；复杂计算时可考虑先平方再开方。 【考点一 二次根式的相关概念】 知识点1 二次根式的概念 1. 定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2. 拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 【题型1 二次根式有意义的条件】 【例1】（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 【变式1-1】（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【变式1-3】（2025·江苏南京·一模）若式子在实数范围内有意义，则a，b的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零、分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键． 直接根据二次根式、分式有意义的条件即可解答． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，． 故选B． 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 【例2】（2025·河南濮阳·一模）二次根式，给赋予一个实际意义为 ． 【答案】面积是的正方形的边长（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的实际意义，二次根式的意义，根据代数式表示的实际意义的方法即可求解． 【详解】解：一个实际意义为：面积是的正方形的边长． 故答案为：面积是的正方形的边长（答案不唯一）． 【变式2-1】（2025·河南·中考真题）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴使在实数范围内有意义的的值可以为； 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式2-2】用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可知要说明“”是错误的，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【答案】8 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 【考点二 二次根式的性质与化简】 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【题型3 利用二次根式的性质化简】 【例3】（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简． 根据公式，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-1】（2025·广西·一模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键． 应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根． 【详解】； 故答案是：． 【变式3-2】（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解： ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式3-3】（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【题型4 二次根式与数轴】 【例4】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 【变式4-1】（2025·河北保定·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的乘法运算，先求出，再根据与的积为有理数求解即可． 【详解】解：点M在数轴上的位置在2与3之间， ， ， 与的积为有理数，且， ， 故答案为：8 【变式4-2】（2025·福建三明·一模）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题关键．先根据二次根式的化简可得，，再根据无理数的估算可得，，由此即可得． 【详解】解：，， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∵点表示的是位于这两点之间的整数， ∴这个整数为， 故选：D． 【变式4-3】（2025·广西南宁·二模）课本中学习过在数轴上表示无理数的方法．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，二次根式的加减运算，理解题意得，再表达，结合，且记右侧最近的整数点为，故点表示的数为，得出，即可作答． 【详解】解：如图： ∵通过画边长为1的正方形，把表示在数轴上点处， ∴， ∵，且记右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为， 故， 则表示的数为， ∵， ， ， ∵记右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为， ， 故选：A． 【考点三 二次根式的运算】 知识点4 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点5 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 知识点6 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点7 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 知识点8 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 知识点9 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点10 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 【例5】若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解∶∵，且是整数， ∴是整数，即是完全平方数， ∴， 即正整数n的最小值为7． 故答案为：7 【点睛】主要考查了算术平方根，解题的关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 【变式5-1】（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选C． 【变式5-3】（2024·河北衡水·一模）设，其中，，则M的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握（，）是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， ； 故选：B． 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 【例6】（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 【变式6-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式6-2】（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 【变式6-3】如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据同类二次根式的定义得到，，然后解两个方程组成的方程组即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，． 故选：D． 【题型7 分母有理化】 【例7】（24-25八年级上·上海·期末）二次根式的有理化因式可以是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式的有理化因式可以是， 故答案为： 【变式7-1】分母有理化：＝ ． 【答案】 【分析】分母中含有根号，则需分子分母同时乘以分母的有理化因式：的有理化因式是它本身，的有理化因式是． 【详解】， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，注意有理化的过程不改变原式大小是解决本题的关键． 【变式7-2】阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： （1）比较大小：　 　（用“＞”“＜”或“＝”填空）； （2）计算：+； （3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值． 【答案】（1）＞；（2）；（3）2019 【分析】（1）根据分母有理化结果即可判断； （2）原式各项分母有理化后化为两个根式的差，计算即可得到结果． （3）将已知等式进行变形，化为①，②，由①+②得x+y＝0，即可解答． 【详解】（1）， ∵， ∴． 故答案为＞ （2）∵ = ∴原式＝ =. （3）∵， ∴， ∴①， 同理：②， ∴①+②得， ∴x+y＝0， ∴x+y+2019＝2019． 【点睛】本题考查了分母有理化，也是阅读材料问题，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识：分母有理化．解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． 【变式7-3】二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减乘除运算及二次根式分母有理化等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中分母有理化方法计算即可得到答案； （2）采用作差法，利用分母有理化，结合二次根式性质比较大小即可得到答案； （3）利用分母有理化先化简，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ，即， ； （3）解： ． 【题型8 二次根式的混合运算】 【例8】（2025·甘肃天水·模拟预测）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先计算二次根式的乘法并化简二次根式，再算加减，即可解答． 【详解】解： ． 【变式8-1】（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式8-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是方程的两根 (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值以及代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先解方程得出m、n的值，进而判断出m、n均小于0，然后化简分式，最后整体代入求值即可； （2）先化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而求解即可． 【详解】（1）解：是方程的两根， ， ， ∴原式， 是方程的两根， ， 原式； （2）解：， ， ， 原式． 【题型9 估算二次根式的值】 【例9】估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的结果在和之间． 故选：D． 【变式9-1】（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 【变式9-2】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 【题型10 二次根式的应用】 【例10】（2025·安徽阜阳·三模）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积的独特求法——三斜求积公式，正确运用该公式是解题关键． 根据三角形面积的独特求法——三斜求积，代入计算，即可解答． 【详解】解：当时， ． ． 故答案为． 【变式10-1】（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：一个周期， ∵， ∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为； 故选：C． 【变式10-2】（24-25八年级上·河北邯郸·月考）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 【变式10-3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 【答案】任务：；任务：所用时间是；任务：篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 【分析】任务：由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，再利用待定系数法求解析式即可； 任务：当时和时，求出的值即可； 任务：根据规律求出第次反弹到最高点的时间和第次反弹到最高点的时间即可； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次根式的运算，找规律，掌握函数的性质及应用是解题的关键． 【详解】解：任务：设下落高度为，反弹高度为， 由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系， 设， 当，；，时， ， 得， ∴函数解析式为； 任务：当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴所用时间是； 任务：由， 则反弹次， 最开始从最高点到落地的时间， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间， ∴篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 ． 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 【例11】（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可； ②根据倒数的定义列式求解即可． 【详解】（1）∵a、b互为倒数，， ∴． ∵a、b互为倒数，， ∴． 故答案为：； （2）①∵a、b互为倒数，， ； ②∵a、b互为倒数，， ∴，即． 【变式11-1】（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义下的实数运算，二次根式的意义，分式的意义，根据新定义，由，得到且即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【变式11-2】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 【变式11-3】（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 【题型12 与二次根式有关的规律探究问题】 【例12】（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 【变式12-1】如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 【详解】解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 【变式12-2】（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（a，b为正整数），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：； ； ； ； 第5个等式为 根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：，． 【变式12-3】（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $