精品解析：安徽省淮南市凤台县部分校联考2025-2026学年七年级上学期1月月考数学试题

凤台县部分学校联考2025-2026学年上学期七年级1月月考数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 下列各式中，运用运算律不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的解，则m的值是（ ） A. 8 B. C. 4 D. 4. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 下列结论中，正确的是（ ） A. 的次数为5 B. 是三次二项式 C. 是整式 D. 的系数是3，次数是2 7. 有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（ ） ①；②；③；④ A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 8. 如图，这是一个用50个奇数排成的数阵，用三角形的框去框住四个数，并求出这四个数的和．在下列给出的选项中，可能是这四个数的和的是（ ） A. 146 B. 150 C. 198 D. 210 9. 大于1正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是219，则m的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 25 D. 32 10. 如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ） A B. C. D. 二、填空题（共20分） 11. 填空：______．（填“<”、“>”或“=”）． 12. 在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为______． 13. 有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 14. 对于实数，我们定义如下运算：当时，则；当时，则．例如：． ①若时，___________． ②若关于的方程组满足，则此方程组的解为___________． 三、解答题（共90分） 15. 先化简，再求值 ，其中，． 16. 某校八年级为了奖励在“诗词大赛”中获奖的班级，到商店买了一些学生们特别喜欢的盲盒．甲、乙两种盲盒原来的单价和为25元．因市场变化，甲种盲盒降价20%，乙种盲盒提价20%，调价后，两种盲盒的单价和比原来的单价和降低了4%．甲、乙两种盲盒原来的单价各是多少元？ 17. 在广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉排列图案，浅色圆点为黄色花卉，深色圆点为红色花卉．图1有黄色花卉1盆，红色花卉4盆；图2有黄色花卉4盆，红色花卉9盆；以此类推． 按照以上规律，解决下列问题∶ （1）图5中黄色花卉有_________盆； （2）图n中两种颜色花卉共有_________盆(用含n的代数式表示)； （3）已知按此规律排列的花卉图案所用的红色花卉比黄色花卉多21盆，求所用的两种颜色花卉各多少盆？ 18. 为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对、、、四个厂家生产的同种型号的零件共件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图． （1）抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为_____； （2）抽查厂家的合格零件为_____件，并将图1补充完整； （3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家． 19. 规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” （1）直接写出计算结果：_______，________． （2）关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （3）算一算：． 20. 对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． （1）方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； （3）未知数为，方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 21. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． （1）如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间距离为_____，，之间的距离为_____； （2）如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 22. 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若这三个角中，其中有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则称射线是的美妙线． 如图2，若，是的平分线： （1）射线______的美妙线．（填“是”或“不是”） （2）如图2，射线绕点P从位置开始按逆时针方向旋转度，当旋转的角度等于多少度时，射线是的美妙线？ （3）射线绕点P从位置开始，以每秒的速度按逆时针方向旋转，同时射线绕点P以每秒的速度按逆时针方向旋转．设旋转的时间为t秒，请求出当射线是的美妙线时t的值． 23. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 （1）直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； （2）点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； （3）在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤台县部分学校联考2025-2026学年上学期七年级1月月考数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 下列各式中，运用运算律不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算以及乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键．根据有理数乘法运算、乘法运算律逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法交换律和结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，原运算不符合乘法分配律，错误，符合题意． 故选：D． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项的知识对各选项进行逐一计算、辨别． 【详解】解：与不是同类项不能合并， 选项A不符合题意； ， 选项B符合题意 与不是同类项不能合并， 选项C不符合题意； ， 选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了合并同类项的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 3. 若是方程的解，则m的值是（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，把代入方程，得到关于m的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：把代入得-， 解得：， 故选：A． 4. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，将已知转化为，将转化为，再代入计算即可．利用整体代入法的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：C． 5. 已知，且，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法法则，代数式求值，由绝对值和乘方的意义求出和的可能值，再根据确定和具体值，最后代入代数式计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， 又∵ ， ∴与异号， ∴，或，， ∴或， 故选：． 6. 下列结论中，正确的是（ ） A. 的次数为5 B. 是三次二项式 C. 是整式 D. 的系数是3，次数是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式、单项式的次数和系数、多项式的次数的概念． 根据定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、的字母部分指数和为，次数为3，不是5，选项说法错误，不符合题意； B、的最高次项的次数为2，是二次二项式，不是三次二项式，选项说法错误，不符合题意； C、是多项式，是整式，选项说法正确，符合题意； D、的系数为，次数为2，系数不是3，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 7. 有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（ ） ①；②；③；④ A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，设每个房间地面面积，根据一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修，可得方程；设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修，根据每个房间的装修面积为：，，可得方程，从而可得答案． 【详解】解：设每个房间地面面积， ∵每一天名熟练的装修工人可装修间房，结果还剩未能装修， ∴一个熟练工人每天装修， ∵每一天名初级装修工人除了能装修间房以外，还可以多装修， ∴一个初级装修工人每天装修， ∵一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修， ∴； 设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修， ∴每个房间的装修面积为：或 ∴； ∴②③正确， 故选：D． 8. 如图，这是一个用50个奇数排成的数阵，用三角形的框去框住四个数，并求出这四个数的和．在下列给出的选项中，可能是这四个数的和的是（ ） A. 146 B. 150 C. 198 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设框起来的这四个数中最上面的数为，则其余三个数分别为进而逐项判断，观察表格数据可得中间三个数的尾数分别为，即可求解． 【详解】设框起来的这四个数中最上面的数为，则其余三个数分别为 ∴这四个数的和为 ，解得：， ，解得：， ，解得：， ，解得：， ∵中间三个数的尾数分别为 故选：D． 9. 大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如，，，…，若“分裂”后，其中有一个奇数是219，则m的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 25 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出219所在的奇数的范围，即可得解． 【详解】解：，，，…， ∴分裂后的第一个数是，共有个奇数， ， ∴奇数211是底数为15的数的立方分裂后的第一个奇数，奇数219是底数为15的数的立方分裂后的第五个奇数，共有个奇数， ∴， 故选：B． 10. 如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的和差关系，利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导、、三个角的数量关系即可． 【详解】解：如图： ， ， ， 又， ， ， 故选：C． 二、填空题（共20分） 11. 填空：______．（填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较． 比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：因为，， 所以， 因此． 故答案为：． 12. 在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数与数轴的关系，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；相反数分为两类：一、0的相反数为0，二、可以是一个正数与一个负数，但它们的绝对值相等，即这两点到原点的距离相等，掌握相反数与数轴的关系是解题的关键． 根据相反数的概念得和是一个正数和一个负数，且距离为8；由相反数到原点的距离相等，所以可以得出两点所表示的数，即可得到结果． 【详解】解：， 在原点的左侧， 表示的数为． 故答案为：． 13. 有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】c 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，利用数轴比较数的大小从而正确化简计算是解题关键． 【详解】解：由数轴可知：，，， ． 故答案为：c． 14. 对于实数，我们定义如下运算：当时，则；当时，则．例如：． ①若时，___________． ②若关于的方程组满足，则此方程组的解为___________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查新定义运算及解二元一次方程组，正确理解新定义的运算法则，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． ①先根据新定义的运算法则得出，再根据当时，列方程计算即可得答案； ②先得出，，再分和两种情况，列方程组解答即可得答案． 【详解】解：①∵当时，； ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∵当时，则， ∴， 解得：． 故答案为： ②∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴原方程组为， 解得：， 当时，， ∴原方程组为， 解得：， 综上所述：方程组的解为或． 故答案为：或 三、解答题（共90分） 15. 先化简，再求值 ，其中，． 【答案】；10 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先展开括号，再合并同类项，得到最简表达式后代入数值计算． 【详解】解： ． 当 ， 时，原式 ． 16. 某校八年级为了奖励在“诗词大赛”中获奖的班级，到商店买了一些学生们特别喜欢的盲盒．甲、乙两种盲盒原来的单价和为25元．因市场变化，甲种盲盒降价20%，乙种盲盒提价20%，调价后，两种盲盒的单价和比原来的单价和降低了4%．甲、乙两种盲盒原来的单价各是多少元？ 【答案】甲盲盒原来的单价为15元，乙盲盒原来的单价为10元． 【解析】 【分析】设甲盲盒原来的单价为x元，乙盲盒原来的单价为y元，以甲、乙两种盲盒原来的单价和为25元和甲种盲盒降价20%，乙种盲盒提价20%，调价后，两种盲盒的单价和比原来的单价和降低了4%为等量关系，列方程组求解即可． 【详解】解：设甲盲盒原来的单价为x元，乙盲盒原来的单价为y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：甲盲盒原来的单价为15元，乙盲盒原来的单价为10元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，设恰当未知数列出方程是解题的关键． 17. 在广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉排列图案，浅色圆点为黄色花卉，深色圆点为红色花卉．图1有黄色花卉1盆，红色花卉4盆；图2有黄色花卉4盆，红色花卉9盆；以此类推． 按照以上规律，解决下列问题∶ （1）图5中黄色花卉有_________盆； （2）图n中两种颜色花卉共有_________盆(用含n的代数式表示)； （3）已知按此规律排列的花卉图案所用的红色花卉比黄色花卉多21盆，求所用的两种颜色花卉各多少盆？ 【答案】（1）25 （2） （3）共有红色花卉121盆，黄红色花卉100盆 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元一次方程的应用；解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据第1个图案需要黄色花卉1盆，第2个图案需要黄色花卉（盆），第3个图案需要黄色花卉（盆），据此可求解； （2）根据第1个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉1盆；第2个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）；第3个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 得出第n个图案需要红色花卉盆，黄色花卉盆；据此进行总结即可； （3）可设第个花卉图案中红色花卉比黄色花卉多21盆，结合（2）进行求解即可． 【小问1详解】 解：第1个图案需要黄色花卉1盆； 第2个图案需要黄色花卉（盆）； 第3个图案需要黄色花卉（盆）； 第4个图案需要黄色花卉（盆）； 第5个图案需要黄色花卉（盆）； 故答案为：25； 【小问2详解】 第1个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉1盆； 第2个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第3个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第4个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； 第5个图案需要红色花卉（盆），黄色花卉（盆）； ， 第n个图案需要红色花卉盆，黄色花卉盆； 故第个图案需要花卉的盆数为：； 故答案为：； 【小问3详解】 设第个花卉图案中红色花卉比黄色花卉多21盆， 由题意得：， 解得：， ． 答：该花卉图案中红色花卉有121盆，黄色花卉100盆． 18. 为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对、、、四个厂家生产的同种型号的零件共件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图． （1）抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为_____； （2）抽查厂家的合格零件为_____件，并将图1补充完整； （3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家． 【答案】（1）； （2）；补图见解析 （3）合格率排在前两名的是、两个厂家 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，准确提取统计图中的信息是解题关键． (1)分别用和乘以厂家的零件数所占百分比即可得答案； (2)先求出厂家的零件数，再根据厂家的零件数的合格率即可得出厂家的合格零件数，据此补全统计图即可； (3)分别求出四个厂家零件的合格率，比较即可得答案． 【小问1详解】 解：抽查厂家的零件为：（件）， 扇形统计图中厂家对应的圆心角为：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：抽查厂家的零件数为：（件）， ∵厂家的合格率为， ∴抽查厂家的合格零件为：（件）， 补全图1如图所示： 小问3详解】 解：厂家合格率， 厂家合格率， 厂家合格率， 厂家合格率， ∵， ∴合格率排在前两名的是、两个厂家． 19. 规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” （1）直接写出计算结果：_______，________． （2）关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （3）算一算：． 【答案】（1）， （2）①②④ （3） 【解析】 【分析】本题考查的是乘方、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． （1）利用定义及有理数的除法法则计算即可； （2）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可； （3）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ 【小问3详解】 解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 20. 对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． （1）方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； （3）未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】（1）具有，理由见解析 （2）或 （3）具有“友好关系”，或 【解析】 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； 【小问2详解】 解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； 小问3详解】 解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 21. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． （1）如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； （2）如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】（1）2，3 （2）①1.5；②0.75或2或3.5． 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）根据两点之间的距离公式解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【小问1详解】 解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． 【小问2详解】 ①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 22. 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若这三个角中，其中有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则称射线是的美妙线． 如图2，若，是的平分线： （1）射线______的美妙线．（填“是”或“不是”） （2）如图2，射线绕点P从位置开始按逆时针方向旋转度，当旋转的角度等于多少度时，射线是的美妙线？ （3）射线绕点P从位置开始，以每秒的速度按逆时针方向旋转，同时射线绕点P以每秒的速度按逆时针方向旋转．设旋转的时间为t秒，请求出当射线是的美妙线时t的值． 【答案】（1）是 （2） （3）或或7.5 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．解题的关键是理解“奇妙线”的定义． （1）利用角平分线的定义可得出，根据奇妙线定义即可求解； （2）根据是的平分线，可列出关于的一元一次方程，解出即可； （3）若旋转的时间为t秒，则，，，分，，三种情况，可列出关于t的一元一次方程，解之即可． 【小问1详解】 解：，是的平分线， ， ∴射线是的美妙线； 故答案为：是； 【小问2详解】 ，是的平分线， ， 根据题意得： 解得：， 则当旋转的角度等于时，射线是的美妙线； 【小问3详解】 若旋转的时间为t秒，则，， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 则当射线是的美妙线时t的值为或或7.5． 23. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且，点从出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当两点相遇时停止运动． 【综合运用】 （1）直接写出点表示的数为 ，点表示的数为 ； （2）点为线段的中点，两点同时开始运动，设运动时间为秒，线段的长为个单位长度，求用含的整式表示； （3）在（2）条件下，点在线段上，且，当为何值时，满足． 【答案】（1），； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，动点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据可得，在由线段，可得． （2）用含的整式表示点，点，故根据题意可列式，求解即可． （3）根据点在线段上，，，可得点表示的数为：，再由，分成点在点右边和点不在点右边时，分别讨论即可． 【小问1详解】 解：点在原点的左侧，点在原点的右侧，点所对应的数满足，且， ∵， ∴， ∵点在点的右侧，且， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意可得：点表示的数为：， ∵点从出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为：， ∵当两点相遇时停止运动，即当，时停止运动， ∴线段的长度； 【小问3详解】 解：∵点在线段上，且，， ∴，，点表示的数为：， 由（2）可知，点表示的数为：，且在点左边， ∴， 当点在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 当点不在点右边时，即， ， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $