精品解析：吉林省友好学校2025-2026学年高二上学期第80届期末联考数学试题

友好学校第八十届期末联考 高二数学 本试卷共19题，共150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在贴条形码区内. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡对应的答题区域，超出答题区域书写的答案无效，写在本试题卷上无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以存在实数m，使得，即，所以，解得. 故选：B 2. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 4. 在正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意利用空间向量求出向量夹角的余弦值，即可得出结果. 【详解】根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 又因为异面直线的夹角范围是， 因此异面直线所成角的余弦值为. 故选：A 5. 已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据可整理得到结果. 【详解】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 6. 由点向圆引切线，则切线长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用切线长公式求出结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，点在圆外， 则切线长为. 故选：C. 7. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 8. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】为等比数列，得到，结合对数运算法则得到. 【详解】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 10. 过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由焦点的坐标即可判断AB，结合抛物线的定义，即可判断C，由平面向量的坐标运算，结合韦达定理即可判断D 【详解】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误； 设，联立直线与抛物线方程， 消去可得，则， 所以，故C正确； 又， 则 ，故D错误； 故选：AC. 11. 已知，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式，共线向量坐标公式，向量垂直的坐标公式及模长公式计算即可判断. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，有，则解得，B正确； 对于C，，由，可得，解得，C正确； 对于D，当时， 则 ，D错误. 故选：BC. 三．填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列，，且数列的前项和为，那么______． 【答案】99 【解析】 【分析】根据裂项式，进行求和，再根据题意列式求解即可. 【详解】因为， 所以， 由，得解得. 故答案为：. 13. 若直线：与直线：平行，则与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【详解】，，即， 当时，与重合，不合题意，， 所以两直线方程为与， 与间的距离． 故答案：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】设，联立方程组求出面积为，令，结合基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率不为0，， 故设，， 联立得，， 则， 则， 故的面积， 令，则，等号成立时，， 故的面积的最大值为2. 故答案为：2 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆，点，且直线经过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先排除切线斜率不存在的情况，再设，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得，即得切线方程； （2）先由已知弦长求出圆心到直线的距离，由此排除直线斜率不存在的情况，再设，由圆的弦长公式列方程求得或，即得直线方程. 【小问1详解】 由得圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离为， 故与圆相交，不合题意； 过的直线斜率存在时，设其方程为，即， 由题意得，解得， 此时直线的方程为，即， 综上，直线的方程为； 【小问2详解】 因为被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离， 当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为3，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，由，解得或， 故直线的方程为或. 16. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； 【小问1详解】 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点F， 因为在正中，D是的中点，故， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以平面ABC， 又因为D是的中点，F是的中点， 所以， 所以平面，所以，， 以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即． 设直线与平面所成角， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． 【小问1详解】 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得直线l的方程为：， 设， 联立，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 18. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【小问1详解】 等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 19. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据点在双曲线上结合离心率计算得出，即可得出双曲线方程； （2）①联立直线和双曲线方程得出韦达定理即可得出弦长；②应用斜率公式结合韦达定理计算求出定值. 【小问1详解】 因为点在双曲线上，所以． 离心率为，解得． 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 ①设． 联立得，则． 故． ②． 由题意得点都在双曲线的左支上，且点在第二象限，所以， 则． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友好学校第八十届期末联考 高二数学 本试卷共19题，共150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在贴条形码区内. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡对应的答题区域，超出答题区域书写的答案无效，写在本试题卷上无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 由点向圆引切线，则切线长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A 3 B. 5 C. D. 30 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 10. 过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 当时， 三．填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列，，且数列的前项和为，那么______． 13. 若直线：与直线：平行，则与间的距离为______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为_____． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆，点，且直线经过点. （1）若直线与圆相切，求直线方程； （2）若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 16. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17. 已知椭圆离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 18. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 19. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $