精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县2025-2026学年 上学期九年级数学期末数学质量检测（1月）

前郭县2025—2026学年度第一学期期末考试九年级数学试题 一､选择题（每小题3分，共18分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标变化规律． 根据平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点是，即可解题． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是．   故选：A ． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， ， 配方得，即， 只有选项A符合题意； 故选：A． 3. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 三角形的内角和是 B. 负数大于正数 C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D. 明天太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、三角形的内角和是，是必然事件，不符合题意； B、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故选：B． 6. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A ． 二､填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】2031 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：2031． 8. 盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】-此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 9. 如图，是的直径，弦于，若，则的长是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦于，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：12． 10. 如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到COD，若∠AOB＝10°，则∠AOD的度数是___． 【答案】55°##55度 【解析】 【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠BOD的度数，结合∠AOB＝10°即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意及旋转变换的性质得∠AOC＝∠BOD＝45°， 又∵∠AOB＝10°， ∴∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝45°＋10°＝55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 11. 如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：解：延长交轴于点， ∵轴，， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：4． 三､解答题（共11小题，共87分） 12. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 13. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）y与x之间的函数表达式为____________； （2）当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． （1）由题意可知y与x成反比例关系，设，将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，设， 结合表格数据，该函数图象过点 ， 与的函数表达式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． 14. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种， 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为． 15. 已知方程是关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：中，，，， ， ， ， 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为1，方程的另一个根是 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程： （1）通过计算判别式，从而得到根的判别式为非负数，可判断方程根的情况； （2）将代入方程求出k的值，然后根据解方程的方法得出另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入， 得：， 解得， ，即， ， 或， 解得，， 即k的值为1，方程的另一个根是． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，， （2） 解：如图，即为所求，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 17. 如图，内接于，为直径，平分B交于点D． （1）过点D作，求证：为的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接半径利用角平分线性质得出等弧，进而得到圆心角；结合推出，证明垂直于半径从而判定为切线． （2）由为直径可知，用勾股定理求出的长，得到圆的半径；根据（1）中，用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴， ∵， ． 18. 综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）①定价为每束30元②售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题①；二次函数求最值，解决问题②即可． 【小问1详解】 解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 设每天的总利润为，则：， ①当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ②由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 19. 如图，函数和的图象相交于A、B两点． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； （2）若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】（1），，或； （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； 【小问2详解】 解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 20. 如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． （1）当点落在边上时，求的值； （2）求与之间的函数关系式； （3）当时，直接写出的值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得三角形是等腰直角三角形，根据几何关系求得的长，则可求出矩形的运动时间； （2）分4种情况：当时，此时重叠部分图形为矩形本身；当时，此时重叠部分图形为矩形减去一个三角形，求出三角形面积即可；当时，此时重叠部分图形为梯形，求出梯形的上底和下底即可求得梯形面积；当时，此时重叠部分为三角形，由三角形面积公式易得，最后综合即可； （3）将代入所求函数解析式中即可求得的值． 本题考查了求动点问题的函数关系式，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等，注意分类讨论． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， ， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴如图1当点落在边上时，三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵矩形速度为每秒， ∴， ∴当点落在边上时，的值为2． 【小问2详解】 ①当时，如图1，； ②当时，如图2，设交于点，交于点， 由（1）得三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又在矩形中， ∴三角形是等腰直角三角形，， 又，， ∴； ③当时，如图3，设交于点， 在矩形中，， ∴四边形是直角梯形， ，， ∴； ④当时，如图4，设交于点， 在矩形中，， 又∵ ∴三角形是等腰直角三角形， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 当时，， 整理得， 解得，（舍去）， 随着矩形的移动，矩形与重叠部分的面积越来越小，故当时，． 21. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）①四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ②， 如图所示即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质先求得，从而得到，即，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，即可解答； （2）①由，，得到是等边三角形，从而得到，，结合，得到是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论； ②由，，，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时，此时，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰底边上的高，从而得到，最后利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （2）①略 ②∵，，， ∴当点D旋转到与点B重叠时，此时， 过点C作于点G， 此时， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键． 22. 如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． （1）如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． （2）如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 【答案】（1）①12；②； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①由勾股定理和三角形的面积可得、，，由当时，，即点P和点D重合，即，然后根据三角形面积公式求解即可；②由题意可知：，然后分当P在上和上两种情况，分别运用线段的和差以及勾股定理求得，然后利用正方形的面积公式求解即可； （2）设，将代入（1）所得的解析式可得，即；再利用对称性可得，然后把代入求得a的值即可确定关于的函数解析式；如图：当时，，此时点P和点E重合且可得，从而确定的长． 【小问1详解】 解：①∵在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴根据三角形面积公式，可得， ∴， 当时，，即点P和点D重合， ∴， ∴． ②由题意可知：， 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 综上，． 【小问2详解】 解：设， 当时，，即 由对称性可得∶ 把代入得：，解得：， ∴． ∵如图：当时，，此时点P和点E重合， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭县2025—2026学年度第一学期期末考试九年级数学试题 一､选择题（每小题3分，共18分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 三角形的内角和是 B. 负数大于正数 C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D. 明天太阳从西方升起 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为__________． 8. 盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是________． 9. 如图，是的直径，弦于，若，则的长是__________． 10. 如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到COD，若∠AOB＝10°，则∠AOD的度数是___． 11. 如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为___________． 三､解答题（共11小题，共87分） 12. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 13. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）y与x之间的函数表达式为____________； （2）当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 14. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 15. 已知方程是关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 17. 如图，内接于，为直径，平分B交于点D． （1）过点D作，求证：为的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 18. 综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 19. 如图，函数和的图象相交于A、B两点． （1）点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； （2）若轴上存在点，使，求点的坐标． 20. 如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． （1）当点落在边上时，求的值； （2）求与之间的函数关系式； （3）当时，直接写出的值． 21. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，， 观察感知： （1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长； 探索发现： （2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度 ①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度． 22. 如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． （1）如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． （2）如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $