第二十六章 《反比例函数》 单元测试 2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十六章 《反比例函数》 时间:120分钟 满分:120分 题号 一 二 三 总分 16 17 18 19 20 21 22 23 得分 第Ⅰ卷 选择题(共30分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请选出并将答案写在题后的括号里) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 1.下列y关于x 的函数中，是反比例函数的为 ( ) B. y=2x C. y=3x-1 2.若点A(-4,a),B(1,b),C(2,c)都在反比例函数 的图象上，则a，b，c大小关系正确的是 () A. a<b<c B. a<c<b C. b<c<a D. c<b<a 3.若反比例函数 的图象经过点(—2，1)，则下列说法错误的是 ( ) A. k=-2 B.函数图象分布在第二、四象限 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.当x<0时，y随x的增大而减小 4.太原市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室.储存室的底面积S(m²)与其深度H(m)成反比例，S关于H 的函数图象如图所示.公司原计划把储存室的底面积S定为400 m²，当施工队按计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为20m，相应地，储存室的底面积应 ( ) A.减少100 m² B.增加 100 m² C.减少200 m² D.增加200 m² 5.如图，正比例函数. 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，其中点 B的横坐标为——2,当y₁<y₂时,x的取值范围是 ( ) A. x<-2或x>2 B. x<-2或0<x<2 C.-2<x<0或0<x<2 D.-2<x<0或x>2 6.如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现，在安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在山西省太原市某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图2)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是 ( ) A.0.1h B.0.35 h C.0.45 h D.0.5h 7.如图，反比例函数 的图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则 的面积为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 8.一次函数y=ax-a与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) 9.粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义.其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图1所示.经测试，发现电流I(A)随着电阻R(Ω)的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成如图2所示的函数图象.若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的 ( ) A.最大电流是36 A B.最大电流是27 A C.最小电流是36 A D.最小电流是27 A 10.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的一条边OA在y轴上,OA=4,AB=3,将△OAB向右平移,某一时刻，反比例函数 的图象恰好经过点A和OB 的中点C，则k的值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 学科网（北京）股份有限公司 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.已知直线 与双曲线 在同一平面直角坐标系的交点坐标是(1，4)和(2，2)，则当 y₂时，x的取值范围是 . 12.某型号蓄电池的电压U(单位：V)为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，即 它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 V. 13.如图，点A 在反比例函数 第一象限内的图象上，点B 在x 轴的正半轴上，OA=AB，△AOB的面积为3,则k的值为 . 14.2024年，山西省涌现出一批集设计、研发、制造、安装、服务于一体的台灯生产企业.图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点 P(880，0.25).根据图象可知，当880<R<1000时,I的取值范围是 . 15.如图,点. 点P₂(x₂,y₂),…,点 Pn(xn, yn)在函数 的图象上,△P₁OA₁,△P₂A₁A₂,△P₃A₂A₃,…,△PₙAₙ₋₁Aₙ都是等腰直角三角形,斜边OA₁,A₁A₂、A₂A₃,…,Aₙ₋₁Aₙ都在x 轴上(n是大于或等于2的正整数),则点 P₂₀₂₄的坐标是 . 三.解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题8分)已知反比例函数 的图象位于第一、三象限. (1)求m的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为A(2，n)，求m的值； (3)在(2)的条件下,当 时，直接写出x的取值范围. 17.(本题8分)已知反比例函数 的图象经过点A(1,4). (1)求该反比例函数的关系式； (2)画出反比例函数 的图象； (3)当1<x<4时，求y的取值范围. 18.(本题8分)如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数 的图象交于点A(-3,a),B(1,3),且一次函数与x轴,y轴分别交于点C,D. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集. 学科网（北京）股份有限公司 19.(本题8分)如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升 加热到 时，停止加热，水温开始下降，此时水温 是通电时间x(min)的反比例函数.若在水温为 时开始加热，水温y与通电时间x 之间的函数关系如图2所示. (1)将水从 加热到 需要 min. (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式. (3)加热一次，水温不低于 的时间有多长? 20.(本题9分)项目式学习 项目主题：探究托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d 变化的规律. 操作步骤 如图，在左边托盘A(固定)中放置一个重物，在右边托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡.托盘B中的砝码质量m随着托盘B 与点O 的距离d 变化而变化，已知m与d 是反比例函数关系，下表是它们的部分对应值： 托盘 B与点O的距离d/厘米 5 10 15 20 25 托盘 B 中的砝码质量m/克 30 15 10 7.5 6 解决问题 (1)根据表格数据求出m关于d的函数解析式； (2)当砝码质量为12克时，求托盘B与点O 的距离. 21.(本题9分)阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.今天是2024 年3月28日(星期四)，在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探究压力一定时，压强p与受力面积S函数关系”的数学活动. 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强p(Pa)与受力面积 第二步，数据整理，收集记录的数据如下表所示： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强p/Pa 600 400 300 25 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点. 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记. 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出p关于S 的函数表达式. (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象. (3)结合图象，如果要求压强不超过100 Pa，那么长方体 A的受力面积至少为 m². 学科网（北京）股份有限公司 22.(本题12分)综合与实践 【问题情境】 某同学根据学习函数的经验，探究了函数 的图象和性质，下面是他的探究过程，请补充完整. (1)写出函数 的自变量的取值范围： ； 【实践发现】 (2)下表是函数y与自变量x的几组对应值：则 x 0 1 3 4 5 6 7 y 0.6 m 1 1.5 3 n 1.5 1 0.75 0.6 【解决问题】 (3)在平面直角坐标系xOy中，补全此函数的图象； (4)根据函数图象，写出函数的性质(至少两条). 23.(本题13分)综合与探究 【问题情境】 阅读以下素材，探索完成任务. 极地探索冰面行走是否安全 素材1 如图所示是我国自主研发的四轮长航程极地机器人，机器人质量为500 kg. 备注：极地机器人在冰面上的压力与重力相等. 素材2 重力(G)=质量(m)×重力系数(g); 压强 重力系数 素材3 南极某处冰面能承受的最大压强为1 【知识运用】 (1)直接写出极地机器人对冰面的压强p(Pa)关于受力面积 )的函数表达式； 【拓展提升】 (2)为适应极地的不同应用环境，现将极地机器人改装成可更换A、B、C三种型号的履带(更换不同型号履带时，极地机器人整体质量保持不变)，A、B、C三种型号对应的每条履带的接触面积分别为 利用函数的性质判断，极地机器人应更换哪种型号的履带方可安全通过该冰面； 【知识延伸】 (3)综合学科知识，当科考人员在行走过程中遇到冰面破裂等危险时，请你写出一条建议帮助科考人员安全离开危险区. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第二十六章 《反比例函数》 1. A 【解析】A. 是y关于x的反比例函数，符合题意；B. y=2x是y关于x的正比例函数，不符合题意;C. y=3x-1是y关于x的一次函数，不符合题意；D. 是y关于x的正比例函数，不符合题意.故选 A. 2. B【解析】∵反比例函数的解析式为 ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小.∵点 B的坐标为(1,b),点 C的坐标为(2,c),∴点B和点C 都在第一象限的图象上,且1<2,∴0<c<b.∵点 A的坐标为(—4,a),∴点 A 在第三象限的图象上,∴a<0,∴a<c<b.故选 B. 3. D 【解析】∵反比例函数 的图象经过点(—2,1),∴k=—2×1=—2.故A选项正确;∵k=—2<0，∴反比例函数 的图象分布在第二、四象限，故B选项正确;∵当k=-2<0时,反比例函数 在每一个象限内y随x的增大而增大，即当x>0或x<0时，y随x的增大而增大.故C选项正确，D选项错误，综上，说法错误的是D选项，故选 D. 4. C【解析】设反比例函数的解析式为 当H=10时,S=400,∴k=4000,∴反比例函数的解析式为 当H=20时,S= ∴减少的底面积S为400—200=200(m²).故选C. 5. B【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称.∵点B的横坐标为—2，∴点A的横坐标为2.∵由函数图象,知当x<-2或0<x<2时，函数 的图象在 kx的下方，∴当 时，x的取值范围是x<-2或0<x<2.故选B. 6. B【解析】由题意可设 0),将(0.3,80)代入,得k=0.3×80 当v=120时, =0.2,当v=60时, :通过该限速区间AB段的时间不超过0.4h,不低于0.2h,只有B选项符合题意.故选B. 7. A 【解析】设 P(x,y),∵点 P 在反比例函数 的图象上,∴xy=—2.∵PA⊥x轴, 故选A. 8. A 【解析】当a>0时,一次函数y=ax——a的图象经过第一、三、四象限，反比例函数 的图象经过第一、三象限，故A选项符合题意；当a<0时，一次函数y=ax-a的图象经过第一、二、四象限，反比例函数 的图象经过第二、四象限，没有符合题意的选项.故选 A. 9. A【解析】根据电压=电流×电阻，设 将点(4,9)代入,得 解得 若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的最大电流是 故选A. 10. C 【解析】∵Rt△OAB 的一条边OA在y轴上,OA=4,AB=3, ∴A(0,4),B(3,4),∴OB的中点 C( ,2),i设△OAB向右平移a个单位，则平移后的点A(a,4), a,2),∵反比例函数 的图象恰好经过点A(a,4), a,2 解得a 故选C. 11. x<0或1<x<2 【解析】由题意,可知当x<0时， ;当x>0时,∵直线 与双曲线y 在同一平面直角坐标系的交点坐标是(1,4)和(2,2),要使y₁>y₂，则直线 要在双曲线 的上面.∴x的取值范围是1<x<2.综上所述，x的取值范围是x<0或1<x<2.故答案为x<0或1<x<2. 12.64 【解析】∵电流 I(单位:A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，且 由图象，知当R=4时,I=16,∴U=IR=4×16=64(V).故答案为64. 13. 3 【解析】如图，过点 A 作AC⊥OB 于点C,∵OA=OB,AC⊥OB,∴OC 又∵S△AOB =3,∴S△AOC 由图可知k>0，∴k=3.故答案为3. 14.0.22<I<0.25 【解析】设Ⅰ与R的函数关系式是 ∵图象经过点 P(880,0.25),∴ 当 R= 880 时, 0.25;当R=1000时, 0.22,∴当880<R<1 000时,I的取值范围是0.22<I<0.25.故答案为0.22<I<0.25. 【解析】如图，过点 P₁作P₁E⊥x轴于点E,过点 P₂作P₂F⊥x 轴于点 F,过点 P₃作P₃G⊥x轴于点G, ∵△P₁OA₁是等腰直角三角形，点 在 上， 设点 P₁的坐标为(a,a),将点 P₁(a,a)代入 可得a=1(负值舍去),∴点 P₁ 的坐标 为(1,1),设点 P₂ 的坐标为(b+2,b),将点 P₂(b+2,b)代入y= 可得 (负值舍去)，故点 P₂ 的坐标为 则 设点 P₃的坐标为(c+ ，将点 代入 可得( (负值舍去)，故点 P₃ 的坐标为 坐标为 ∴点 P₂₀₂₄的坐标是( 故答.案为( 16.解:(1)∵反比例函数 的图象位于第一、三象限，∴m-5>0，解得m>5，即m的取值范围是m>5. (2)将点A(2,n)代入y=x,得n=2,∴点A的坐标为(2,2). 将点A(2,2)代入 得m—5=4,解得m=9,即m的值为9. (3)当 时，x的取值范围是-2<x<0或x>2. 17.解:(1)将点A(1,4)代入 得k=1×4=4,∴反比例函数的关系式为 (2)反比例函数 的图象如图所示. (3) 当x=1时,y=4;当x=4时, y=1, ∴当1<x<4时,y的取值范围是1<y<4. 18.解:(1)∵一次函数y= mx+n(m≠0)的图象与反比例函数 的 图 象 交 于 点A(-3,a),B(1,3),∴k=1×3=—3×a,∴k=3,a=—1,∴反比例函数的表达式为 将点A(-3,-1),B(1,3)代入y= mx+n,得 解得 ∴一次函数的表达式为y=x+2. (2)由图象，知不等式 的解集为-3<x<0或x>1. 19.解:(1)4 (2)设水温下降过程中，y与x的函数表达式为 由题意,将点(4,100)代入 y= 得 解得k=400, ∴水温下降过程中，y与x 的函数表达式是 (3)由题意，得在加热过程中，y与x的函数表达式是y=20x+20(0≤x≤4). 在加热过程中,当y=40时,20x+20=40,解得x=1, 在降温过程中,当y=40时,40= ,解得x=10, ∵10—1=9,∴加热一次,水温不低于40℃的时间为9 min. 20.解:(1)由表,知 md=150(定值),∴m关于d的函数解析式为m= (2)把m=12代入 得 =12,解得d=12.5. 答：当砝码质量为12 克时，托盘B与点O的距离为12.5厘米. 21.解：(1)通过观察数据，发现S与p的积都是定值60，∴第四组的数据错误， p关于S的函数表达式为 (S>0). (2)画出函数图象如图所示. (3)0.6 22.解:(1)x≠2(2) (3)函数 的图象如图所示. (4)由图象，得①图象关于x=2对称；②图象全部在x轴上方(答案不唯一). 23.解:(1)G=500×10=5000(N).∵压强极地机器人在冰面上的压力与重力相等.∴压强p关于受力面积S的函数表达式为 (2)当 p=1×10⁴ Pa 时,S= ∵是四轮长航程极地机器人，∴每条履带的接触面积为 1 250(cm²). ∴极地机器人应更换C型号的履带方可安全通过该冰面. (3)丢弃不重要的装备(答案不唯一). 学科网（北京）股份有限公司 $