第十五章 轴对称图形与等腰三角形 课件2025-2026学年 沪科版八年级数学上册

轴对称图形与等腰三角形 章综合复习 数学沪科版八年级上册 北 东 60° 西 南 B A 本章知识结构 一、轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴． 二、两个图形成轴对称 把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫做对称轴． 折叠后重合的两点叫作对应点(也叫对称点) 知识要点提炼 三、轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 区别 联系 (1)轴对称图形是指( )具有特殊形状的图形，只对( )图形而言； (2)对称轴( )只有一条． (1)轴对称是指( )图形的位置关系，必须涉及( )图形； (2)只有( )对称轴． 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称． 如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 一个 一个 不一定 两个 两个 一条 知识要点提炼 四、轴对称的性质 (1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线． (2)如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 知识要点提炼 五、坐标系中的轴对称 (1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，−y)，其特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数； (2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(− x，y)，其特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等； (3)作一个图形关于x轴(或y轴)对称的图形的步骤： ①求出特殊点关于x轴(或y轴)的对称点的坐标； ②描点； ③连接所描的点． 知识要点提炼 六、线段的垂直平分线 (1)画法：尺规作图 A B E F 直线EF 就是线段AB的垂直平分线． (2)性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等． (3)判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 知识要点提炼 七、角平分线的性质与判定 (2)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等． (3)判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形三条角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等． (1)画法：尺规作图 B A O P N M 知识要点提炼 八、等腰三角形 (1)性质：等腰三角形的两个底角相等．（等边对等角） 推论：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°． (2)性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（三线合一） 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（等角对等边） 推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论②：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 推论③：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 知识要点提炼 考点一：轴对称 例1 如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为 ． 解：连接AD， ∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F， ∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD， ∵∠B=62°，∠C=51°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°− 62°−51°=67°， ∴∠EAF=2∠BAC=134°，故答案为：134° ． 重点知识巩固 考点一：轴对称 例2 如图，在三角形纸片ABC中，∠B=∠C，将△GFC沿EF翻折，C落在BC上，则AB与MG的位置关系为__________． 解：由题意可知：∠C=∠CMG， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠CMG， ∴AB//MG． AB//MG 分析：将△GFC沿EF翻折，由翻折的性质可知∠C =∠CMG，由∠B=∠C可得∠B=∠CMG，从而得出AB与MG平行． B C A M G F E 重点知识巩固 考点一：轴对称 例3 如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为_______ ． 分析：本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时 PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ'=PQ' ． 重点知识巩固 考点一：轴对称 例3 如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为_______ ． 解：如图，作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE +QE=PE+EQ'=PQ'， ∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC， ∵BD⊥AC，AQ=2，QD=1.5， ∴AD=DC=AQ+QD=3.5， 重点知识巩固 考点一：轴对称 例3 如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为_______． 解：∴QD=DQ'=1.5，∴CQ'=BP=2， ∴AP=AQ'=5， ∵∠A=60°， ∴△APQ'是等边三角形， ∴PQ'=PA=5，∴PE+QE的最小值为5． 5 重点知识巩固 考点一：轴对称 A 重点知识巩固 解：∵AE=AB，AD⊥BC，∴ BD=DE， ∵EF垂直平分AC，∴EC=AE=AB， ∵△ABC的周长为18cm， ∴AB+BD+DE+EC+AC=2(DE+EC)+AC=2DC+AC=18cm， ∵AC=7cm，∴2DC+7=18cm， 解得DC=5.5cm． 考点二：段垂直平分线 例5 如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE=AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC=7cm，则DC的长为_____________． 重点知识巩固 考点二：段垂直平分线 例6 如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，试说明：AD垂直平分EF． 重点知识巩固 证明：如图，过点E作EG⊥AF，垂足为点G，连接EF． 考点三：角平分线 例7 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF＝∠BAE． 求证：AF＝BC＋FC． G ∵∠BAE＝∠EAF，∴AE为∠BAF的平分线． 又∵EB⊥AB，EG⊥AF，∴EB＝EG． 在Rt△ABE和Rt△AGE中， 重点知识巩固 考点三：角平分线 例7 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF＝∠BAE． 求证：AF＝BC＋FC． G 证明：∴AB＝AG． ∵在正方形ABCD中，AB＝BC， ∴BC＝AG．又∵点E是BC的中点， ∴BE＝EC＝EG． 在Rt△EGF和Rt△ECF中， ∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)． ∴GF＝CF， ∴AF＝AG＋GF＝BC＋FC． 重点知识巩固 考点三：角平分线 例8 如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有_______处？(阴影部分不能修建超市) 分析：因为要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是△ABC内角平分线的交点或者是外角平分线的交点，作图可知答案． 重点知识巩固 考点三：角平分线 解：如图所示，△ABC的内角平分线的交点O1， 外角平分线的交点O2，O3，O4， ∵阴影部分不能修建超市， ∴ O4不能修建超市， 故满足条件的修建点共有3处，即点O1，O2，O3． 3 例8 如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有_______处？(阴影部分不能修建超市) 重点知识巩固 考点三：角平分线 例9 如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为18cm ，面积为27cm2，则点P到边BC的距离是( ) 分析：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到PE=PF=PD，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 重点知识巩固 考点三：角平分线 例9 如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为18cm ，面积为27cm2，则点P到边BC的距离是( ) A 重点知识巩固 考点四：等腰三角形 例10 如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC．若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的度数是(　　) 方法1：∵DA＝DB， ∴∠DBA＝∠DAB＝20°． ∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°． 在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°−2×20°− 2×30°＝80°． ∴∠BDC＝180°−(∠DBC＋∠DCB)＝180°− 80°＝100°． A．100° B．80° C．70° D．50° A 重点知识巩固 考点四：等腰三角形 例10 如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC．若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的度数是(　　) 方法2：在△ADB中，由方法一可得 ∠ADB＝180°− 2×20°＝180°− 40°＝140°． 同理∠ADC＝180°− 2×30°＝120°． ∴∠BDC＝360°− 140°− 120°＝100°． A．100° B．80° C．70° D．50° A 重点知识巩固 考点四：等腰三角形 例11 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE:EM:MB＝1:2:1，AD:DN:NC＝1:2:1，连接MD，NE交于点O， 求证：△OMN是等腰三角形． 在△ADM与△AEN中， 重点知识巩固 考点四：等腰三角形 例11 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE:EM:MB＝1:2:1，AD:DN:NC＝1:2:1，连接MD，NE交于点O， 求证：△OMN是等腰三角形． 重点知识巩固 考点四：等腰三角形 例12 如图，过边长为3的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，求DE的长． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°， ∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°， ∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF． ∵PE⊥AC，∴AE＝EF． F 解：过P作PF∥BC交AC于F， 重点知识巩固 考点四：等腰三角形 例12 如图，过边长为3的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，求DE的长． F 重点知识巩固 考点四：等腰三角形 例13 如图所示，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB． ∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°． 又∵∠BOE＝∠COD，∴∠EBO＝∠DCO． ∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． ∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形． 重点知识巩固 例14 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF． ∴∠CBE=∠ACD， ∴∠CFE=∠CBE+∠BCD =∠ACD+∠BCD=∠BCA=60° AD=CE AC=CB ∠CAB=∠BCA 综合能力提升 证明： (2) 过点C作CH⊥BE，垂足为H， ∴∠CHB=90°． ∵∠AFC=∠AFE+∠CFE =30°+60°=90°， ∴∠AFC=∠CHB， AC=CB ∠ACD=∠CBE ∠AFC=∠CHB 在△ACF和△CBH中， 例14 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF． 综合能力提升 例14 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF． 综合能力提升 例15 如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点C作CE⊥BD于点O，交AB于点E． (1)求证：BD是线段CE的垂直平分线； ∠CBD=∠EBD OB=OB ∠BOC=∠BOE 综合能力提升 (2)若∠CBD=20°，求∠ADE的度数． 例15 如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点C作CE⊥BD于点O，交AB于点E． 综合能力提升 证明：在△DOC和△DOE中， (2)若∠CBD=20°，求∠ADE的度数． CO=OE ∠DOC=∠DOE OD=OE ∴∠ADE=180°− ∠BDE − ∠CDB=180°− 70°− 70°=40°． 例15 如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点C作CE⊥BD于点O，交AB于点E． 综合能力提升 $