第二十七章 相似 章末复习课件2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了“相似”的核心知识，涵盖图形的相似、相似三角形的判定与性质、相似的应用及位似，通过“必备知识”分模块梳理定义、判定、性质，课堂小结构建知识框架，串联各知识点逻辑联系。 其亮点在于结合生活情境设计问题（如弘济桥化石测量）培养数学眼光，一题多解（如矩形中CF长的两种解法）发展数学思维，分层练习覆盖基础到综合题，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习素材。

第二十七章 相似 人教版 九年级下册 章 末 复 习 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 (3) 相似比：相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 必备知识 ◑通过定义 ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等，三条边成比例) 2. 相似三角形的判定 必备知识 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 必备知识 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 4. 相似三角形的应用 必备知识 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似 比也称为位似比) 5. 位似 (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上. 必备知识 (3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小. A B G C E D F ●P B′ A′ C′ D′ E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C E D F ●P 必备知识 (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k. 必备知识 考点1　比例线段 1. 【新情境·生活情境】（2025·河北）“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下了如图所示的照片.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为（　C　） A. 2 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm C 考点2　平行线分线段成比例 2. （2025·合肥四十二中期中）如图，已知直线a∥b∥c，直 线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线 a，b，c于点D，E，F. 若 ＝ ，DF＝21，则EF＝ ⁠. 12　 考点3　相似三角形的判定和性质 3. （2025·河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长 BA，BC，分别交直线DE于点M，N. 若添加下列一个条件 后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　D　） D A. ∠B＋∠4＝180° B. CD∥AB C. ∠1＝∠4 D. ∠2＝∠3 4. 如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD. 若 ＝ ，则 的值为　（　C　） A. B. C. D. C 5. （2025·安庆期末）如图，D是△ABC内一点，点E在线段 BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别连接AD，AE， CE. 若 ＝ ＝ ，则下列结论一定正确的是（　D　） D A. CE∥AD B. BD＝AD C. ∠ABE＝∠CBE D. ∠BAD＝∠CAE 6. 如图，△ABC是面积为18 cm2的等边三角形，且被一矩形所 截，AB被截成三等份，且EH∥BC，则图中阴影部分的面积 为（　C　） A. 4 cm2 B. 5 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 C 7. 【一题多解】如图，在矩形ABCD中，F是DC上的一点， BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF的长是（　D　） A. B. C. D. 1 D 【解析】解法1：∵在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4， ∴BC＝AD＝2. 根据勾股定理，得AC＝ ＝2 . ∵S△ABC＝ ×AB·BC＝ ×AC·BE， ∴BE＝ ＝ . 根据勾股定理，得CE＝ ＝ ， ∴AE＝AC－CE＝ . ∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CF， ∴△CEF∽△AEB，∴ ＝ ， 即 ＝ ，解得CF＝1. 解法2：由题意可证△ABC∽△BCF， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得CF＝1. 8. （2025·合肥四十五中一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，D为边AB的中点，DE⊥AB交AC于点F，交BC的延长 线于点E. 若DF＝4，FE＝5，则CD的长为（　D　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 D 9. 【一题多解】（2025·连云港）如图，在△ABC中， ∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥ AD，交AD的延长线于点E，则 的值为　（　A　） A. 2 B. C. D. A 【解析】∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴AB＝2BC，AC＝ BC. 设BC＝x，则AB＝2x，AC＝ x. 解法1：∵AD平分∠CAB， ∴点D到AC，AB的距离相等，均为CD的长，∠CAD＝∠BAD， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴CD＝ BC＝（2 －3）x， ∴AD＝ ＝（3 － ）x. ∵BE⊥AD交AB的延长线于点E，∠CAD＝∠BAD， ∴△ACD∽△AEB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得BE＝ x， ∴ ＝ ＝2 . 解法2：如图，延长AC，BE交于点F，可证 △ACD∽△BCF，∴ ＝ ＝ . 又∵AD平分∠CAB，AE⊥BF， ∴EF＝BE，∴ ＝2 . 10. （2025·合肥庐阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，E是边 CD的中点，F是线段BE的中点，AF的延长线交边BC于点 H，连接DF，CF. （1） ＝ 　 　； （2）若CF⊥DF，则 ＝ 　 　. 　 　 【解析】（1）如图，过点F作FM∥BC，交CD于点M. ∵FM∥BC，∴ ＝ . ∵F是BE的中点，∴EF＝ EB， ∴ ＝ ＝ ，即M是EC中点， ∴EM＝CM＝ CE. ∵E是CD的中点，∴CE＝ CD， ∴CM＝ CD，即 ＝ . ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC， ∴BC∥FM∥AD，∴ ＝ ＝ . 由条件可知，EF＝DE＝EC. ∵F是BE的中点， ∴DE＝EC＝EF＝BF. 令DE＝EC＝EF＝BF＝x，则CD＝BE＝2x. 由条件可知，AM∥BC， （2）如图，延长AD交BE的延长线于点M，延长DF 交BC于点G. ∴∠MDE＝∠BCE. 又∵DE＝EC，∠DEM＝∠CEB， ∴△CBE≌△DME（ASA）， ∴BC＝MD＝2x，BE＝ME＝2x. ∵MD∥BG，∴△BFG∽△MFD， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴BG＝ MD＝ x. 同理可得△HFG∽△AFD， ∴ ＝ ＝ ， ∴GH＝ AD＝ x， ∴BH＝BG＋GH＝ x， ∴CH＝BC－BH＝ x， ∴CH＝GH，即FH是Rt△CFG的中线， ∴FH＝GH＝CH＝ x， ∴ ＝ ＝ . 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为 △ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.求证： （1）△PAB∽△PBC； 证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°，即∠PBA＋∠PBC＝45°. ∵∠APB＝135°， ∴∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝45°， ∴∠PAB＝∠PBC. 又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC. （2）PA＝2PC. 证明：（2）由题意，知△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝ BC. 由（1），知△PAB∽△PBC，∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴PA＝ PB，PB＝ PC，∴PA＝ × PC＝2PC. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为 △ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.求证： 12. （2025·安庆模拟）如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的 切线，连接AC交☉O于点D，点E在☉O上， ＝ ，连接 BE交AC于点F，连接AE. （1）求证：BC＝BF； （2）若EF＝2，BC＝6，求☉O的半径. （1）求证：BC＝BF； 解：（1）证明：如图，连接BD. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠DBF＋∠BFD＝90°. ∵BC是☉O的切线，∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC＋∠C＝90°. ∵ ＝ ，∴∠BAC＝∠DBF， ∴∠C＝∠BFC，∴BC＝BF. （2）若EF＝2，BC＝6，求☉O的半径. 解：（2）由（1），知∠ABC＝90°. ∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°. ∵ ＝ ，∴∠BAC＝∠EAF， ∴△BAC∽△EAF，∴ ＝ ＝ ＝3. 设AE＝x，则AB＝3x. ∵EF＝2，BF＝BC＝6，∴BE＝BF＋EF＝8. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2， ∴（3x）2＝x2＋82， 解得x＝2 或x＝－2 （不符合题意，舍去）， ∴AB＝3x＝3×2 ＝6 ，∴☉O的半径为 ＝3 . 13. （一题多问）如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的 点，EF⊥AE交CD于点F，AB＝4. （1）求证：△ABE∽△ECF. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE＋∠BEA＝90°. ∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA＋∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF. （2）如图2，连接AF，若E是BC的中点，求证： △AEF∽△ABE. 解：（2）证明：由（1），知△ABE∽△ECF， ∴ ＝ . ∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝4. ∵E是BC的中点，∴BE＝EC＝2，∴ ＝ ，解得CF＝1. 在Rt△ABE中，AE＝ ＝2 ， 在Rt△ECF中，EF＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ . 又∵∠AEF＝∠B＝90°，∴△AEF∽△ABE. （3）如图3，连接AC交EF于点O，CG⊥AC交EF的延长线 于点G，连接AG交CD于点H. ①求证：△AEC∽△GFC； 解：（3）①证明：∵EF⊥AE，CG⊥AC， ∴∠AEF＝∠ACG＝90°. ∵∠AOE＝∠GOC，∴∠EAC＝∠FGC. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACE＝∠ACF＝45°，∴∠GCF＝45°， ∴∠ACE＝∠GCF，∴△AEC∽△GFC. ∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4 . 由（2），知当E是BC的中点时，EC＝2，CF＝1. ②当E是BC的中点时，求FH的长度. 解：（3）②如图3，过点G作GM⊥CD于点M， 则∠CMG＝90°. （3）如图3，连接AC交EF于点O，CG⊥AC交EF的延长线 于点G，连接AG交CD于点H. 由①，知△AEC∽△GFC， ∴ ＝ ＝2，即 ＝2，解得CG＝2 . ∵∠CMG＝90°，∠MCG＝45°， ∴MC＝MG＝2，∴MF＝1，MD＝2. ∵∠ADH＝∠GMH＝90°， ∴AD∥MG，∴△ADH∽△GMH， ∴ ＝ ＝ ＝2，∴MH＝ MD＝ ， ∴FH＝MF＋MH＝ . 考点4　相似三角形的应用 14. （2025·内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬 动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位 置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中 随处可见.用杠杆撬石头的示意图如图1所示，当用力压杠杆 时，另一端就会撬动石头.如图2，动力臂OA＝150 cm，阻力 臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是（　B　） A. 80 cm B. 60 cm C. 50 cm D. 40 cm B 15. 如图，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每 两棵树之间的距离为4 m，沿北岸有一排电线杆，每两根电线 杆之间的距离为80 m.一同学站在距南岸9 m 的点P处向北岸望 去，北岸相邻的两根电线杆正好被南岸的5棵树遮挡住，那么 这条河流的宽度是 m. 36　 考点5　图形的位似 16. 如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3， －1），（2，1）.以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC 放大为原来的2倍，点B，C的对应点分别为点B'，C'. （1）画出放大后的△OB'C'； 解：（1）△OB'C'如图所示. （2）分别写出点B，C的对应点B'，C'的坐标； （3）如果△OBC的内部有一点M，其坐标为 （x，y），直接写出点M在△OB'C'的内部的 对应点M'的坐标. 解：（2）B'（－6，2），C'（－4，－2）. （3）M'（－2x，－2y）. 16. 如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3， －1），（2，1）.以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC 放大为原来的2倍，点B，C的对应点分别为点B'，C'. 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 课堂小结 $