北京市十一学校2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

北京市十一学校2026届高三数学一月月考 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：张浩 张国春 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则A∩(B)是（ ） A. (－2，1) B. (1，2) C. (－2，1] D. [1，2) 2. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且为坐标原点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 直线，直线，若，则两直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 数列是首项为，公差为的等差数列，为前n项和．若成等比数列，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，若函数与都没有零点，则函数与（ ） A. 恰有一个零点 B. 至少有一个没有零点 C. 至少有一个有零点 D. 无法确定 10. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 的展开式中的常数项为________． 12. 设双曲线C经过点，且与具有相同的渐近线，则C的方程为________． 13. 函数的部分图象如图，，则_____. 14. 如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________． 15. 已知集合，给出下列结论，其中正确的有________． ①由集合中所有的点组成的图形关于轴对称； ②若，为坐标原点，则； ③若、，则； 记，则由集合中的点构成的图形的面积大于． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 在中，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，且，二面角的大小为为中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版和插电混动版在某市分别随机调查了名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下求（单位：人）． 车型 低收入群体（万/年） 中收入群体（万/年万/年） 高收入群体（万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （1）从该市全体消费者中随机抽取人，估计其愿意购买纯电动版的概率； （2）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取人，记为这人中愿意购买插电混动版的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设该市社区内的低收入、中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取人，将其愿意购买纯电动版的概率估计值记为，试比较与（1）中的大小． 19. 已知椭圆的左顶点为A，离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点的直线交C于两点，过M且平行于y轴的直线与线段交于点T，点Q满足，问：是否存在x轴上的定点K，使得直线始终经过点K． 20. 已知函数． （1）若函数在处的切线经过，求a的值； （2）若函数存在两个极值点； （i）求a的取值范围； （ii）若满足，且，证明：． 21. 对给定的，如果有序数组满足如下三个条件： ①对任意； ②； ③对任意，都存在的非空子集，使得；则称有序数组是“创造M”的．例如是“创造5”的． （1）判断下面两个数组是否是“创造30”的，直接写出判断结果； ① ② （2）若数组是“创造2026”的，且满足，求m的最小可能值； （3）若数组是“创造101”的，且关于x的方程有且仅有三个不同的整数解，求m的最小可能值． 北京市十一学校2026届高三数学一月月考 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：张浩 张国春 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】15 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 【16题答案】 【答案】（1）证明：在中，，，设， 根据余弦定理，得， 整理得， 因为，解得（负值已舍去）， 所以， 所以为等腰三角形. （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：，为中点， ∴，，则四边形为平行四边形. 又因为，，所以平行四边形为正方形. 连接， 又平面面， 所以， ∵平面， 平面． 又平面．     （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）随机变量的分布列为： （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）存在， 【20题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）当时，， 令，而， 当时，，时，， 故在上为增函数，在上为减函数， ，，时，， 故存在，，使得当时，， 时，， 所以在上为增函数，在上为减函数， ，. 设，故， 当时，，故在上为增函数， 当时，，故在上为减函数， 故，故， 故当时，，而，故. 而，故，故. 【21题答案】 【答案】（1）①是；②是；理由如下： 对于①，由于， ， ， ， 故是“创造30”的； 对于②，， ， ， ，故是“创造30”的； （2）11 （3）12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $