2026年中考数学一轮复习 第05讲一次方程（组）（讲义）（三大考点、14种题型、分类训练、综合提升）

该初中数学讲义聚焦一次方程（组）中考核心考点，涵盖一元一次方程概念与解法、一次方程组消元技巧及九类实际应用题型，通过知识梳理构建“概念-解法-应用”逻辑体系，结合2025年模拟题与中考真题设计例题讲解和变式训练，助力学生突破方程变形、实际问题建模等难点。 亮点在于以核心素养为导向，如通过“配套问题”例题培养数学眼光观察数量关系，用代入消元法训练数学思维推理能力，实际应用题强化数学语言表达。分层设计“例题-变式-过关检测”三级练习，配合即时反馈机制，确保高效复习，帮助教师精准把控节奏，提升学生应试能力。

2026中考数学一轮复习（知识梳理、题型归纳、分类训练、过关检测） 第04讲 一次方程（组） 知识导航 知识点 相关题型 一元一次方程 方程的相关概念 等式的性质 一元一次方程的解法 一次方程组 代入法解一次方程组 加减法解一次方程组 一次方程（组）的实际应用 知识点1 一元一次方程 1、 知识梳理 （1） 等式和等式的性质 1. 等式的定义：用“=”连接的，表示相等数量关系的式子叫作“等式”。 2. 等式与代数式、不等式的区别 代数式：用“运算符号”把数字或字母连接的式子叫作“代数式”； 不等式：用“不等号”连接的，表示不等关系的式子叫作“不等式”。 3. 等式的性质 （1） 对称性：如果a=b,那么b=a——基本事实 （2） 传递性:如果a=b,b=c,那么a=c——几何证明“等量代换”的依据 （3） 基本性质——方程变形的依据 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等； 如果 a=b,那么a±c=b±c 性质2：等式两边乘（或除）同一个数（除数不为0），结果仍相等。 如果a=b,那么ac=bc， （2） 方程与方程的解 1. 方程：含有未知数的等式叫作方程。 说明：方程属于等式 2. 方程的解：使方程左右相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 说明：检验一个数是不是方程的解（根）的依据（验根的依据）。 方程的解以“x=m”的形式呈现. （3） 一元一次方程的概念 1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程； 一元一次方程的三要素：一个未知数、未知数的次数是1、整式方程； 2.一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0） （四）一元一次方程的解法 1. 解一元一次方程的数学思想：化归——将方程化为最简形式“ax=b”从而进一步化为方程解的形式“x=m”.即求1个x=( ___ ) 2. 解一元一次方程的主要步骤：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1 ①把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 移项的目的：使含有未知数的项与常数项分列于方程的两边； 移项的依据：等式的性质； 移项的注意点：移项要变号. ②合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并. 合并同类项的目的:使方程转化为ax=b(a≠0)的形式; 合并同类项的依据:合并同类项法则（乘法分配律） ③系数化为1——方程两边同时除以未知数的系数，或乘以系数的倒数. 系数化为1的目的：使方程ax=b(a≠0)变形为方程的解x=(a≠0)的形式， 变形的依据：等式性质2； ④去括号（依据是去括号法则） ⑤去分母（依据是等式性质2） 去括号和去分母体现的数学思想还是化归思想，把一个复杂的方程化为最简形式“ax=b”. 2、 例题讲解 【题型1】等式性质的应用 例1（2025·山东潍坊·模拟预测）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式练习： 1.（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【题型2】方程的解 例2（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式练习： 1.（2025·江苏无锡·模拟预测）若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 2.（2025·海南·模拟预测）如果关于的方程的解为，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【题型3】解一元一次方程 例3（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：. 变式练习： 1．（2025·浙江杭州·二模）解方程： (1)； (2)． 2．（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 知识点2 一次方程组 1、 知识梳理 1.二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0). 2.二元一次方程组的解法 ①代入消元法；②加减消元法. 解题思想：化归——将二元一次方程组通过消元化为一元一次方程. 3.三元一次方程（组） 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 2、 例题讲解 【题型1】用代入法解二元一次方程组 例1（2025·山西·一模）解方程组． 变式练习： 1.（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【题型2】用加减法解二元一次方程组 例2（2025·四川乐山·二模）解方程组： 变式练习： 1.（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 2．（2025·广西·一模）解下列方程或方程组： (1)； (2)． 知识点3 一次方程组的实际应用 1、 知识梳理 1.列方程解应用题的一般步骤： 2. 常见类型 题型01——配套问题 题型02——工程问题 题型03——行程问题 题型04——销售问题 题型05——积分问题 题型06——分段计费问题 题型07——古代问题（盈余问题） 题型08——最优方案选择问题 题型09——列方程组解决问题 2、 例题讲解 题型01——配套问题 例1（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 变式练习： （2025·陕西西安·模拟预测）初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 题型02——工程问题 例2（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 变式练习： （2025·湖北孝感·三模）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时 题型03——行程问题 例3（2025·陕西·模拟预测）一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 变式练习：（2025·湖北·模拟预测）甲、乙两车分别从、两地出发，相向而行，都以一定的速度匀速行驶．甲车出发分钟后乙车再出发，两车在、之间的地相遇，途中乙车在服务区休息了分钟，随后乙车的速度比原来减少千米/小时(仍保持匀速行驶)，甲车到达地分钟后，乙车才到达地，甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示，则当乙车正要离开服务区时，甲车离地还有 千米． 题型04——销售问题 例4（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 变式练习： （2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 题型05——积分问题 例5（2025·山西朔州·模拟预测）某学校组织了“学宪法，用宪法”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛者该环节的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 甲 4 6 10 乙 10 0 100 丙 5 5 25 已知参赛者丁得了70分，则他答对的题数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式练习： （2025·陕西西安·模拟预测）某学校六年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．六年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，六（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问六（1）班第一轮胜了多少场？ 题型06——分段计费问题 例6（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 变式练习： （2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 题型07——古代问题（盈余问题） 例7（2025·山西忻州·一模）九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式练习： （2025·内蒙古赤峰·一模）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房间，则可列方程为 ． 题型08——最优方案选择问题 （2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 变式练习： （2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 题型09——列方程组解决问题 例9（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 变式练习： （2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 过关检测 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.（2025·辽宁沈阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用全面调查 C．如果，那么 D．圆内接四边形的对角互余 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 6.（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 7．（2025·四川凉山·一模）（1）解方程． （2）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·江西上饶·一模）（1）计算： （2）解方程： 9．（2024·广西·三模）解方程（组）：． 10．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 11.（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数． 12.（2025·安徽滁州·模拟预测）某厂生产一种零件，每个成本为元，销售单价为元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元． (1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为元？ (2)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？ (3)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？利润售价成本 13.（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 14.（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 15.（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考数学一轮复习（知识梳理、题型归纳、分类训练、过关检测） 第04讲 一次方程（组） 知识导航 知识点 相关题型 一元一次方程 方程的相关概念 等式的性质 一元一次方程的解法 一次方程组 代入法解一次方程组 加减法解一次方程组 一次方程（组）的实际应用 知识点1 一元一次方程 1、 知识梳理 （1） 等式和等式的性质 1. 等式的定义：用“=”连接的，表示相等数量关系的式子叫作“等式”。 2. 等式与代数式、不等式的区别 代数式：用“运算符号”把数字或字母连接的式子叫作“代数式”； 不等式：用“不等号”连接的，表示不等关系的式子叫作“不等式”。 3. 等式的性质 （1） 对称性：如果a=b,那么b=a——基本事实 （2） 传递性:如果a=b,b=c,那么a=c——几何证明“等量代换”的依据 （3） 基本性质——方程变形的依据 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等； 如果 a=b,那么a±c=b±c 性质2：等式两边乘（或除）同一个数（除数不为0），结果仍相等。 如果a=b,那么ac=bc， （2） 方程与方程的解 1. 方程：含有未知数的等式叫作方程。 说明：方程属于等式 2. 方程的解：使方程左右相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 说明：检验一个数是不是方程的解（根）的依据（验根的依据）。 方程的解以“x=m”的形式呈现. （3） 一元一次方程的概念 1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程； 一元一次方程的三要素：一个未知数、未知数的次数是1、整式方程； 2.一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0） （四）一元一次方程的解法 1. 解一元一次方程的数学思想：化归——将方程化为最简形式“ax=b”从而进一步化为方程解的形式“x=m”.即求1个x=( ___ ) 2. 解一元一次方程的主要步骤：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1 ①把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 移项的目的：使含有未知数的项与常数项分列于方程的两边； 移项的依据：等式的性质； 移项的注意点：移项要变号. ②合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并. 合并同类项的目的:使方程转化为ax=b(a≠0)的形式; 合并同类项的依据:合并同类项法则（乘法分配律） ③系数化为1——方程两边同时除以未知数的系数，或乘以系数的倒数. 系数化为1的目的：使方程ax=b(a≠0)变形为方程的解x=(a≠0)的形式， 变形的依据：等式性质2； ④去括号（依据是去括号法则） ⑤去分母（依据是等式性质2） 去括号和去分母体现的数学思想还是化归思想，把一个复杂的方程化为最简形式“ax=b”. 2、 例题讲解 【题型1】等式性质的应用 例1（2025·山东潍坊·模拟预测）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A不符合题意； B、由于，若，则成立，故B符合题意； C、若，当时，不成立，故C不符合题意； D、若，则，故D符合题意； 故选：BD． 变式练习： 1.（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意； 故选：． 2.（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【题型2】方程的解 例2（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 变式练习： 1.（2025·江苏无锡·模拟预测）若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把解代入得出一元一次方程是解题关键． 根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，再解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：将代入得，， 解得， 故选：A． 2.（2025·海南·模拟预测）如果关于的方程的解为，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据已知方程的解为，将代入方程求出值即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：， ∴． 故选：D． 【题型3】解一元一次方程 例3（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式组的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：（1）去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：. 变式练习： 1．（2025·浙江杭州·二模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，然后验根，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 则， ∴， ∴， 经检验：当时，则，，故是方程的解． 2．（2025·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次方程，先计算分式括号里面的，然后再计算分式乘法，然后解一元一次方程求出x，最后将x的值代入化简后的分式计算即可． 【详解】解：原式= = = =； 由方程，得：． ∴原式． 知识点2 一次方程组 1、 知识梳理 1.二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0). 2.二元一次方程组的解法 ①代入消元法；②加减消元法. 解题思想：化归——将二元一次方程组通过消元化为一元一次方程. 3.三元一次方程（组） 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 2、 例题讲解 【题型1】用代入法解二元一次方程组 例1（2025·山西·一模）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 运用代入消元法解答即可． 【详解】解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴原方程组的解为． 变式练习： 1.（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 【题型2】用加减法解二元一次方程组 例2（2025·四川乐山·二模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②，得， ． 变式练习： 1.（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 2．（2025·广西·一模）解下列方程或方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，二元一次方程组，掌握相应的运算法则是关键． （1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）①+②得：，解得． 把代入①得：，解得． 方程组的解为． 知识点3 一次方程组的实际应用 1、 知识梳理 1.列方程解应用题的一般步骤： 2. 常见类型 题型01——配套问题 题型02——工程问题 题型03——行程问题 题型04——销售问题 题型05——积分问题 题型06——分段计费问题 题型07——古代问题（盈余问题） 题型08——最优方案选择问题 题型09——列方程组解决问题 2、 例题讲解 题型01——配套问题 例1（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 变式练习：（2025·陕西西安·模拟预测）初一年级某班为学科节游园会准备制作一批益智玩具作为奖品，并为每一个玩具配备两个手绘学科节图标．如果该班有28名学生参与制作奖品，每人每天平均能组装玩具24个，或绘制图标16个．那么应分配多少名学生组装玩具，多少名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套？ 【答案】应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和图标刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据绘制图标的总数量是组装玩具总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应分配x名学生组装玩具，则分配名学生绘制图标，根据题意得： ， 解得：， 人 答：应分配7名学生组装玩具，21名学生绘制图标，才能使当天组装的玩具和绘制的图标刚好配套． 题型02——工程问题 例2（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 变式练习：（2025·湖北孝感·三模）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．设还需要m小时，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设还需要m小时，根据题意，得， 解得． 故选：B． 题型03——行程问题 例3（2025·陕西·模拟预测）一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 【答案】学校到部队的路程是13千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系列出方程． 设学校到部队的路程是x千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设学校到部队的路程是x千米， 根据题意得：， 解得， 答：学校到部队的路程是13千米． 变式练习：（2025·湖北·模拟预测）甲、乙两车分别从、两地出发，相向而行，都以一定的速度匀速行驶．甲车出发分钟后乙车再出发，两车在、之间的地相遇，途中乙车在服务区休息了分钟，随后乙车的速度比原来减少千米/小时(仍保持匀速行驶)，甲车到达地分钟后，乙车才到达地，甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示，则当乙车正要离开服务区时，甲车离地还有 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，根据图象可知，之间的距离为千米，由图象可以求出甲、乙两车的速度，进而可求出相遇时间及相遇地点距地、地的距离，然后可求出甲车在相遇后到地的时间，进而可以求出乙车在相遇后到休息前以千米小时速度行驶的时间，再得出相遇后到乙车刚要离开服务区时的时间，求出此时的距离． 【详解】解：甲的速度为千米小时， 甲乙的速度和为：千米小时， 乙车的速度为：千米小时， 乙车出发后，两车相遇需要时间为小时，此时相遇地点距地千米，距地千米， 当甲车到达地时，乙车距地千米， 甲从相遇后到达的时间为小时， 设相遇后乙车以千米小时速度行驶的时间为小时，则乙车以千米小时速度行驶时间为小时， 由题意得：， 解得：， 此时甲车从相遇后到乙车休息结束又行驶小时，则从乙休息结束开始，甲到B地的时间为小时， 故当乙车正要离开服务区时，甲车距地距离为：千米． 故答案为：67.5． 题型04——销售问题 例4（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 【答案】(1)4500元 (2)5种 (3)购进甲型号手机8台，乙型号手机12台 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键． （1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意建立方程就可以求出其值； （2）设购甲型手机y台，则购乙型手机台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论； （3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故原方程的根是． 故一月份甲型号手机每台售价为4500元； （2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台， 由题意得：， 解得， ∵y为整数， ∴y=8，9，10，11，12， ∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8， ∴有五种购货方案： 一、甲型手机8台，乙型手机12台； 二、甲型手机9台，乙型手机11台； 三、甲型手机10台，乙型手机10台； 四、甲型手机11台，乙型手机9台； 五、甲型手机12台，乙型手机8台； （3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元， 故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元， 则方案一盈利：（元）； 方案二盈利：（元）； 方案三盈利：（元）； 方案四盈利：（元）； 方案五盈利：（元）； 因为， 所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大． 变式练习：（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元． 已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？ 【答案】若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元， 根据题意得， 解得：， ∴（元）， 答：若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元． 题型05——积分问题 例5（2025·山西朔州·模拟预测）某学校组织了“学宪法，用宪法”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛者该环节的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 甲 4 6 10 乙 10 0 100 丙 5 5 25 已知参赛者丁得了70分，则他答对的题数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据乙、丙的答题及得分情况，可求出答对一题得10分，答错一题倒扣5分，设参赛者丁答对x道题，则答错道题，利用得分情况可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵ ， ∴答对一题得10分，答错一题倒扣5分． 设参赛者丁答对x道题，则答错道题， 根据题意得， 解得， ∴参赛者丁答对8道题． 故选：C． 变式练习：（2025·陕西西安·模拟预测）某学校六年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．六年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，六（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问六（1）班第一轮胜了多少场？ 【答案】7场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．设六（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设六（1）班胜了x场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 答：六（1）班第一轮胜了7场． 题型06——分段计费问题 例6（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】(1)①；②； (2)他们此次的充电量是． 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 变式练习：（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 【答案】(1)该城市规定的基础用水量是吨 (2)他家这个月最多能用吨水 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据题意找准等量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该城市规定的基础用水量是吨，列方程得，解方程即可得到答案； （2）设他家这个月最多能用吨水，列不等式得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 小亮家上个月用水量超过了基础用水量， 设该城市规定的基础用水量是吨， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：该城市规定的基础用水量是吨； （2）解：设他家这个月最多能用吨水， 根据题意得：， 解得：， 他家这个月最多能用吨水． 题型07——古代问题（盈余问题） 例7（2025·山西忻州·一模）九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据小船数量表示大船数量，再根据总人数列方程． 【详解】解：设有x只小船，则大船有只． ∵小船每只坐4人，∴小船共坐4x人． ∵大船每只坐6人，∴大船共坐人． ∵总人数为38人， ∴． 故选D． 变式练习：（2025·内蒙古赤峰·一模）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房间，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了古代问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程．设客房有间，则第一种住宿方案的总人数为，第二种住宿方案的总人数为，根据总人数保持不变列出方程即可． 【详解】解：设客房有间， ． 故答案为：． 题型08——最优方案选择问题 （2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务：个；任务：先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设学校购进了个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务：利用“总价单价数量”，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：任务1：设学校购进了个羽毛球（）， 则方案一的费用：， 方案二的费用：， 由题意，， 解得：， 答：学校购进了个羽毛球； 任务：需要购进个羽毛球， 单独使用方案一费用：（元）； 单独使用方案二费用：（元）； 混合使用：先用方案一购买副羽毛球拍，获赠个羽毛球，费用为元，再用方案二购买剩余个羽毛球，费用为（元），总费用为（元）； ∵， ∴最省钱的购买方式是先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 变式练习：（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 题型09——列方程组解决问题 例9（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 变式练习：（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 过关检测 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．由关于的方程的解是，即可得，继而求得答案． 【详解】解：关于的方程的解是， ， 解得：． 故选：A． 3.（2025·辽宁沈阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用全面调查 C．如果，那么 D．圆内接四边形的对角互余 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据等式的性质、全面调查与抽样调查、绝对值、圆内接四边形的性质判断． 【详解】解：A、如果，那么，是真命题，符合题意； B、调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、如果，那么，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、圆内接四边形的对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若， A、两边同时乘得，则A不符合题意， B、两边同时加上2得，则B不符合题意， C、两边同时除以2得，则C不符合题意， D、当时，，则D符合题意， 故选：D． 5.（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了加减消元法、同底数幂的除法等知识点，准确求解方程组是解题的关键． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后整体代入即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴． 故选C． 6.（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 7．（2025·四川凉山·一模）（1）解方程． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，分式的化简求值： （1）利用去分母，去括号，移项合并，化系数为1即可求解； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1）∵， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得； （2） ， 当时，原式． 8．（2025·江西上饶·一模）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程等知识点． （1）根据特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值分别计算即可求解； （2）利用解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 9．（2024·广西·三模）解方程（组）：． 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的计算是关键． 根据题意，消去未知数，解一元一次方程得到，再把代入①即可求解． 【详解】解：， 得，， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 10．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 11.（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数． 【答案】原计划每月改造的楼层数为3层 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设原计划每月改造的楼层数为x层，根据平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每月改造的楼层数为x层， 根据题意可得：， 解得：， 答：原计划每月改造的楼层数为3层． 12.（2025·安徽滁州·模拟预测）某厂生产一种零件，每个成本为元，销售单价为元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元． (1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为元？ (2)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？ (3)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？利润售价成本 【答案】(1)个 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设当一次购买个零件时，销售单价恰为元，进行列出方程，再进行解方程，即可作答． （2）结合当一次购买个零件时，销售单价恰为元，根据客户一次购买个零件，进行列式计算，即可作答． （3）根据当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，且客户一次购买个零件，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵每个成本为元，销售单价为元，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元， 设当一次购买个零件时，销售单价恰为元， 依题意得： 解之得：； 依题意，， ， 故符合题意， 即当一次购买个零件时，销售单价恰为元； （2）解：由（1）得当一次购买个零件时，销售单价恰为元； ∵， 当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是：（元） （3）解：当客户一次购买个零件时， 该厂获得的利润是： 13.（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 14.（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)； (2)元； (3)这份特产重量的取值范围为大于千克且不超过千克． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解决本题的关键是列方程组求出首重需要的费用和续重需要的费用． 根据快递单上的收费，列出二元一次方程组求解即可； 根据小美邮寄的特产的重量和快递公司的收费标准计算即可； 设这份特产的重量是，小美在江西邮寄的特产，根据江西的收费标准列出一元一次方程，解方程求出，即这份特产最多重，因为不足的按收费，可知这份特产的重量为大于8千克且不超过9千克． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：的值为，的值为； （2）解：元， 答：小美需要支付元快递费； （3）解：设这份特产重量按计费， 小美在江西， 首重需要付费元，续重需要付费元， 根据题意可得：， 解得：， 这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克， 答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克． 15.（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $