2026年九年级数学中考一轮复习（讲义 ）第02讲 整式与因式分解（3大考点、9种题型，分类训练、综合提升）

该初中数学中考复习讲义聚焦整式与因式分解核心考点，涵盖整式概念、运算（加减、幂运算、乘法公式）及因式分解，通过知识网络构建、分层例题解析形成系统复习体系，设计“考点梳理-方法指导-真题训练”教学环节，助力学生突破易错难点。 亮点在于“概念辨析-法则应用-规律探究”递进式教学，如通过幂的运算法则逆用例题培养推理意识，结合完全平方公式变式训练提升运算能力。设置基础到综合分层练习，配合中考真题限时演练，确保高效复习，教师可据此精准把控节奏，提升学生应考能力。

九年级数学中考一轮总复习讲义（知识梳理、题型归纳、例题讲解、变式练习） 第02讲 整式与因式分解 知识网络 知识点1 整式的有关概念 一、知识梳理 1. 单项式：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. ①单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. ②单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.对于一个非零的数，规定它的次数为0. 2. 多项式：几个单项式的和叫作多项式. ①多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数. ②多项式的排列： 降幂排列：将多项式按某个字母指数的大小从高到低排列； 升幂排列：将多项式按某个字母指数的大小从低到高排列. 3.整式：单项式与多项式统称整式. 二、例题讲解 【题型1】整式的概念 例1（2025·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有 个． 变式练习： 1.（25-26·陕西咸阳·模考）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．单项式有（　　） A．②③④⑥ B．①③④ C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 【题型2】系数和次数 例2（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 变式练习：1.（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型3】多项式的排列 例3（25·上海普陀·期中）将整式按字母y降幂排列得到 ． 变式练习： 1.（2025·吉林长春·一模）多项式按字母的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 1、 整式的计算 一、知识梳理 （一）整式的加减 1.合并同类项 ①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项. ②合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 2.去括号 去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 特别地，+(x-3)与-(x-3)可以看作+1与-1分别乘(x—3). 得+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3. 3. 整式的加减 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. （二）幂的运算 1. 幂的定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 =，读作：（看成运算）a的m次方，（看成结果）a的m次幂。 2. 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘. ===表示：共有（m+n）个a相乘 因此：=（m,n为正整数） 易错点：不要与幂的加法运算（合并同类项）混淆，例如 3. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘.= （m，n为正整数） ①易错点：不要与同底数幂混淆；例如，（102）3105 ②注意法则的逆运用： = = （m，n为正整数） 如：计算28=（24）2=162=256 如：若3m=4则，9m=(32)m=(3m)2=42=16 (指数交换律) 4. 积的乘方：积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.=（m为正整数） 法则的逆运用：=（m为正整数） 例如：22025×（）2025=（2×）2025=1（两个条件：幂相乘，指数相同） 5. 同底数幂的除法 ①同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. =（am、n为正整数） ②负整数次幂：规定，当n是正整数时，即负整数指数幂表示对应的正整数指数幂的倒数。 ③零次幂：（a） （3） 整式的乘法 运算名称 运算法则 解题思路 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 化归思想 单项式×多项式→单项式×单项式 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 （x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq 化归思想 多项式×多项式→单项式×多项式 →单项式×单项式 联系 用分配律把复杂的运算转化为简单的运算 （4） 乘法公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2 2. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. a²2ab+b² （五）规律探究 1. 整式的规律探究 2. 图形的规律探究 3. 等式的规律探究 二、例题讲解 【题型1】同类项 例1（25黑龙江·一模）下列各组单项式中，属于同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式练习： 1.（25·河南开封·一模）若单项式与是同类项，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2.（2025·贵州遵义·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】去括号与添括号 例2（25·江苏南通·一模）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 变式练习：（25·全国·中考复习）计算： （1） ． （2） ． 【题型3】整式加减 例3（2024·江西南昌·模拟预测）化简： ． 变式练习： 1.（25·四川·一模）若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 2.（25·全国·课后作业）已知，求的值． 【题型4】幂的运算 例4（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式练习： 1. （2025·广东江门·一模）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【题型5】幂的运算法则的逆用 例5（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式练习： 1.（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2.（2025·广东江门·一模）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D． 3.（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6】整式的乘除 例6（25·全国·中考预测）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 变式练习： 1.（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 3.（2025·山西长治·模拟预测）（1）计算：化简：． (2)． 【题型7】平方差公式 例7（2025·陕西西安·模拟预测）将转化为平方差的形式是（   ） A． B． C． D． 变式练习： 1.下列能使用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（25·甘肃武威·一模复习）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【题型8】完全平方公式 例8（2025·北京·二模）计算： （1） （2） 变式练习： 1．（2025·山西·一模）（1）化简：． （2）化简：． 2.（2025·四川内江·中考复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型9】规律探究 例9（2026九年级·广西·专题练习）按一定规律排列的一列单项式如下：，则第11个单项式是（    ） A． B． C． D． 变式练习： 1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·山西吕梁·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 3.（2025·甘肃武威·二模）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 4.（25·甘肃·期末）观察下列等式： (1)请写出第个等式： ； (2)请用含正整数的等式表示你发现的规律，并证明其正确性． 5．（25·江西赣州·月考）【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 6．（25·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 知识点3 因式分解 一、知识梳理 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； 2. 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但二者不是互为逆运算. 因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 3. 因式分解注意事项 (1)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； (2)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4. 因式分解的.常用方法 （1） 提取公因式法 （2） 公式法 （3） 十字相乘法 （4） 分组分解法 二、例题讲解 【题型1】在有理数范围内因式分解 例1（2025·江苏苏州·模拟预测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 变式练习： 1.（2025·江苏南京·一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·山西吕梁·模拟预测）（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【题型2】在实数范围内因式分解 例2（2025·山西长治·二模）在实数范围内进行因式分解 ． 变式练习： 1.（2025·上海·二模）在实数范围内因式分解： ． 【题型3】乘方公式和因式分解的应用 例3（25·江苏南通·二模）已知一元二次方程 的两根为x₁，x₂，则 ． 变式练习： 1．（2024·广东·中考预测）计算： ． 2.（25江西九江·中考预测）简便运算： ． 3.（25·全国·中考预测）已知，，则的值为 ． 4.（25·湖南邵阳·期中）已知实数满足，则的值为 ． 5.（25·四川乐山·期中）（1）若，则 （2）已知，则 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学中考一轮总复习讲义（知识梳理、题型归纳、例题讲解、变式练习） 第02讲 整式与因式分解 知识网络 知识点1 整式的有关概念 一、知识梳理 1. 单项式：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. ①单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. ②单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.对于一个非零的数，规定它的次数为0. 2. 多项式：几个单项式的和叫作多项式. ①多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数. ②多项式的排列： 降幂排列：将多项式按某个字母指数的大小从高到低排列； 升幂排列：将多项式按某个字母指数的大小从低到高排列. 3.整式：单项式与多项式统称整式. 二、例题讲解 【题型1】整式的概念 例1（2025·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 变式练习：（25-26·陕西咸阳·模考）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．单项式有（　　） A．②③④⑥ B．①③④ C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，判断每个式子是否为单项式，单项式是数字或字母的积的形式，不能包含加减法运算．据此解答即可． 【详解】解：①是常数，属于单项式； ②包含加法运算，是多项式，不是单项式； ③包含加法运算，是多项式，不是单项式； ④分子为多项式，不是单项式； ⑤是数字与字母的积，为单项式； ⑥是数字与字母的积，为单项式． ∴单项式有①、⑤、⑥， 故选：C． 【题型2】系数和次数 例2（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 变式练习：1.（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数是除了字母以外的所有数字因素，据此即可解答． 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是， ∴它的系数为， 故选：C． 2.（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键． 根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值． 【详解】解：∵多项式的次数为2， ∴ 解得，， 验证：代入后多项式为，次数为2，符合条件， ∴， 故选：B． 【题型3】多项式的排列 例3（25·上海普陀·期中）将整式按字母y降幂排列得到 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排序，熟知降幂排序的定义是解题的关键． 按字母y降幂排列，即按照y的指数从高到低排序即可． 【详解】解：在整式中，各项含y的指数分别为：中y的指数为3， 中y的指数为2，中y的指数为1，中y的指数为0．按y的指数降幂排列为． 故答案为：． 变式练习：（2025·吉林长春·一模）多项式按字母的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按字母x的指数从高到低排列即可． 【详解】解：项式按字母的降幂排列是： ． 故选C． 【点睛】本题考查了多项式的应用，能理解降幂排列的意义是解此题的关键，注意：排列时带着前面的符号． 知识点2 1、 整式的计算 一、知识梳理 （一）整式的加减 1.合并同类项 ①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项. ②合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 2.去括号 去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 特别地，+(x-3)与-(x-3)可以看作+1与-1分别乘(x—3). 得+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3. 3. 整式的加减 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. （二）幂的运算 1. 幂的定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 =，读作：（看成运算）a的m次方，（看成结果）a的m次幂。 2. 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相乘. ===表示：共有（m+n）个a相乘 因此：=（m,n为正整数） 易错点：不要与幂的加法运算（合并同类项）混淆，例如 3. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘.= （m，n为正整数） ①易错点：不要与同底数幂混淆；例如，（102）3105 ②注意法则的逆运用： = = （m，n为正整数） 如：计算28=（24）2=162=256 如：若3m=4则，9m=(32)m=(3m)2=42=16 (指数交换律) 4. 积的乘方：积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.=（m为正整数） 法则的逆运用：=（m为正整数） 例如：22025×（）2025=（2×）2025=1（两个条件：幂相乘，指数相同） 5. 同底数幂的除法 ①同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. =（am、n为正整数） ②负整数次幂：规定，当n是正整数时，即负整数指数幂表示对应的正整数指数幂的倒数。 ③零次幂：（a） （3） 整式的乘法 运算名称 运算法则 解题思路 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. p(a+b+c)=pa+pb+pc 化归思想 单项式×多项式→单项式×单项式 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 （x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq 化归思想 多项式×多项式→单项式×多项式 →单项式×单项式 联系 用分配律把复杂的运算转化为简单的运算 （4） 乘法公式 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2 2. 完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. a²2ab+b² （五）规律探究 1. 整式的规律探究 2. 图形的规律探究 3. 等式的规律探究 二、例题讲解 【题型1】同类项 例1（25黑龙江·一模）下列各组单项式中，属于同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】本题考查同类项的定义，正确理解同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、中指数为2，指数为1；中指数为1，指数为2，相同字母指数不同，则与不是同类项； 选项B、与，字母均为和，且指数均为2，指数均为1，则与是同类项； 选项C、中指数为1，指数为1；中指数为2，指数为1，相同字母指数不同，则与不是同类项； 选项D、有字母、；有字母、、，字母不同，则与不是同类项； 故选：B． 变式练习：1.（25·河南开封·一模）若单项式与是同类项，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义得，进而可求解，熟记：“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得：， 故选：A． 2.（2025·贵州遵义·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号，合并同类项，根据去括号法则，合并同类项法则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A． ，本选项的计算错误； B． 与b不是同类项，不能合并，本选项的计算错误； C． ，本选项的计算正确； D． ，本选项的计算错误． 故选：C． 【题型2】去括号与添括号 例2（25·江苏南通·一模）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号和添括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号；添括号时括号前后的符号变化与去括号相同，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算错误，不符合题意； D、，原式运算正确，符合题意； 变式练习：（25·全国·中考复习）计算： （1） ． （2） ． 【分析】（1）根据括号前面是“-”，去掉“-”，括号里的各项都要变号，解答即可． （2）根据括号前面是“-”，去掉“-”，括号里的各项都要变号，解答即可． 本题考查了去括号，熟练掌握去括号的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：． 【题型3】整式加减 例3（2024·江西南昌·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，再合并同类项．解决本题的关键是根据去括号法则去括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解：． 故答案为：． 变式训练1.（25·四川·一模）若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减： （1）利用代数式的值与的取值无关，求得的值； （2）将的值代入即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝， ∵原代数式的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ． 2.（25·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简和非负数的性质，掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键．利用非负数的性质，先求出与的值，再化简多项式，把、看成一个整体，最后代入求值． 【详解】解：， ， ． ， ， 当时，原式． 【题型4】幂的运算 例4（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 变式练习： 1. （2025·广东江门·一模）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键． 【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 【题型5】幂的运算法则的逆用 例5（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式练习： 1.（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2.（2025·广东江门·一模）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D． 【分析】本题考查了逆用积的乘方，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3.（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了积的乘方的逆运用． 【详解】解： ． 故选：D． 4．（2025·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算， 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【题型6】整式的乘除 例6（25·全国·中考预测）如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．2 B． C．12 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式中不含某一项的情况，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项后，令x的系数为0，得出关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：， 的乘积中不含x的一次项， ， 解得， 故选：． 变式练习： 1.（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式、单项式乘单项式等知识点，掌握相关运算法则即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； 不是同类项，不能合并，故C错误； ，故D正确； 故选：D 2.（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 3.（2025·山西长治·模拟预测）（1）计算：化简：． (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型7】平方差公式 例7（2025·陕西西安·模拟预测）将转化为平方差的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，运用整体思想，关键点是对 “相同项” 和 “相反项” 的整体把握；解题思路是将式子中的(a+1)看作整体，． 【详解】解：， 故选：B． 变式训练： 1.下列能使用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； B、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； C、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； D、，符合平方差公式的特点，故本选项符合题意； 故选：D． 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，运用整体思想，易错点是对 “相同项” 和 “相反项” 的整体把握不准确；解题思路是将式子中的看作整体，判断哪个选项能变形为平方差公式的结构即可． 【详解】解：运用平方差公式， 把看作一个整体，将式子变形为 “相同项” 与 “相反项” 的乘积形式， ，符合平方差公式结构； 故选C． 3.（25·甘肃武威·一模复习）综合探究：小明遇到下面一个问题： 计算．． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请根据小明解决问题的方法，试着解决下面问题：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： … ． 【题型8】完全平方公式 例8（2025·北京·二模）计算： （1） （2） 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）先利用平方差公式化简，然后再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． 变式练习： 1．（2025·山西·一模）（1）化简：． （2）化简：． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2.（2025·四川内江·中考复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； （3）原式根据完全平方公式进行计算即可； （4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【题型9】规律探究 例9（2026九年级·广西·专题练习）按一定规律排列的一列单项式如下：，则第11个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是单项式的规律探究，观察分母的规律：分母依次为，可分解为连续两个整数的乘积，即．确定变量指数：每个单项式的指数与项数对应，即第n项的指数为n.将分母和指数的规律结合，得到通项公式． 【详解】解：观察前四项的分母：第项： 第项： 第项： 第项： 通项公式：分母为 因此第n项的系数为 . 指数规律分析每个单项式的指数依次为与项数n一致，即第n项的指数为n. 通项公式综合上述规律，第n个单项式为：， 将代入通项公式：分母： 指数：， 单项式：. 故选：A． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化规律，单项式，解题的关键是找到规律． 变式练习： 1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是多项式的规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 2.（2024·山西吕梁·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．观察对应的模型中，可知，碳原子的个数多1个， 氢原子的个数多2个，从而找到规律． 【详解】解：在甲烷的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为4个，， 在乙烷的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为6个，， 在丙烷的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为8个，， 在丁烷的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为10个，， ∴碳原子个数为，氢原子的个数为个， 故选：B． 3.（2025·甘肃武威·二模）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，由题干中所给图案得出第个图案中白色纸片的个数为，令，求解即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为， 第2个图案中白色纸片的个数为， 第3个图案中白色纸片的个数为， …， 第个图案中白色纸片的个数为， 令， 解得：， 故答案为：． 4.（25·甘肃·期末）观察下列等式： (1)请写出第个等式： ； (2)请用含正整数的等式表示你发现的规律，并证明其正确性． 【分析】本题是等式的规律探究. （）根据题目中等式的特点，写出第个等式即可； （）根据题目中等式的特点，写出第个等式并加以证明即可； 本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式，根据已知等式找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， ， ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：第个等式：． 证明：∵左边，右边， ∴左边右边． ∴等式成立． 5．（25·江西赣州·月考）【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 【答案】 （1）① ；② ； （2）； （3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究与应用，解题的关键是发现与多项式相乘的结果规律． （1） 依据已知式子的规律，直接写出结果； （2） 逆用规律将分解为与对应多项式的乘积； （3） 把底数看作，逆用规律计算式子的值． 【详解】（1）①解：由规律得， 故答案为：． ②解：由规律得， 故答案为：． （2）解：逆用规律得， 故答案为：． （3） 解：令， 原式 6．（25·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 则； （2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 知识点3 因式分解 一、知识梳理 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； 2. 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但二者不是互为逆运算. 因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 3. 因式分解注意事项 (1)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； (2)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4. 因式分解的.常用方法 （1） 提取公因式法 （2） 公式法 （3） 十字相乘法 （4） 分组分解法 二、例题讲解 【题型1】在有理数范围内因式分解 例1（2025·江苏苏州·模拟预测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解； （1）提取公因式，即可求解； （2）将转化为，再提取公因式后继续分解，即可求解； （3）应用平方差公式，分解后化简，即可求解； （4）将视为整体，应用完全平方公式，再进一步分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 变式练习： 1.（2025·江苏南京·一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法与因式分解，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式．逐一检查各选项：A是整式乘法，B不是乘积形式，D分解后不等于左边，只有C正确，即可解答． 【详解】解：A∶ 是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B∶ 右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C∶ ，是正确因式分解，符合题意； D∶ ，分解错误，不符合题意． 故选C． 2.（2025·山西吕梁·模拟预测）（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握公式法（完全平方和（差）和平方差公式）和提公因式法结合使用即可得出结果． （1）将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； （2）利用平方差和完全平方公式分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型2】在实数范围内因式分解 例2（2025·山西长治·二模）在实数范围内进行因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 变式练习： 1.（2025·上海·二模）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式进行因式分解，解题的关键是利用求根公式求出二次三项式对应的方程的根，再根据因式分解的方法进行分解． 先将二次三项式视为关于的一元二次方程，求出其根，再根据“若的根为，则”进行因式分解． 【详解】解：对于，将其看作关于的方程， 由求根公式得： ． 则 ． 故答案为：． 【题型3】乘方公式和因式分解的应用 例3（25·江苏南通·二模）已知一元二次方程 的两根为x₁，x₂，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系可得，然后将所求的代数式变形为含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程 的两根为， ∴， ∴ ． 故答案为： 变式练习： 1．（2024·广东·中考预测）计算： ． 【答案】4051 【分析】利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 故答案为 4051． 2.（25江西九江·中考预测）简便运算： ． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 3.（25·全国·中考预测）已知，，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据完全平方公式将变为，然后将，，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：24． 4.（25·湖南邵阳·期中）已知实数满足，则的值为 ． 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．因为，所以这道题目关键就是要由条件得到的值，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 5.（25·四川乐山·期中）（1）若，则 （2）已知，则 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 答案第1页，共2页 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