2026年中考数学一轮复习 第04讲二次根式（讲义）（两大考点、八种题型、分类训练、综合提升）

该初中数学讲义聚焦二次根式中考核心考点，涵盖概念性质、运算及最简同类二次根式等内容，构建“知识梳理-题型突破-真题训练”复习体系，通过重点难点剖析和例题变式设计，帮助学生系统掌握考点，突破有意义条件、性质应用等难点。 亮点在于“分层递进”教学策略，结合2025年各地中考真题设计8大题型训练，培养运算能力与推理意识，如通过性质辨析题强化符号意识，设置过关检测实现即时反馈。助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

2026中考数学一轮复习（知识梳理、题型归纳、分类训练、过关检测） 第04讲 二次根式 知识导航 知识点1 概念和性质 1、 知识梳理 1. 定义 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式"”称为二次根号. 重点剖析：表示a的算术平方根，因为负数没有平方根，所以有意义的条件是a≥0. 2. 性质 （1） （2） 难点1剖析：性质1和性质2都是根据平方根的定义得到的，表示a的算术平方根，表示的算术平方根，当a<0时因为=，所以==-a 难点2剖析：根据积的乘方的性质有 3. 最简二次根式 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 补充：最简二次根式中如果有分母，分母中也不能有根式 如：不属于最简二次根式，可以用分子分母同时乘以得到，从而将原式化成最简二次根式，这个过程俗称“分母有理化”。 4. 同类二次根式 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，这里可以合并的两个二次根式俗称“同类二次根式”。 2、 例题讲解 【题型1】二次根式有无意义 例1（2025·广西柳州·一模）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式练习： 1．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 3.（25-26·四川成都·二模）已知，则 ． 【题型2】二次根式的性质 例2（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式练习： 1．（2025河北唐山·一模）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河北邢台·一模）化简的结果是（   ） A． B．2 C． D． 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 例3下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 变式练习： 1.（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 知识点2 二次根式的运算 1、 知识梳理 1. 二次根式的乘法 （1）乘法法则：=(a) （2）乘法法则的逆用:=(a) 难点剖析：教材中说没有特别说明时，所有的字母都表示正数。所以解题时一定要关注是否有特别说明和隐含说明，譬如：化简时，因为要有意义，所以这里隐含了一个条件就是a 2. 二次根式的除法 （1）除法法则：=(a) （2）乘法法则的逆用:=(a) 3. 二次根式的加法与减法 （1） 加减运算的步骤 ①化简二次根式 ②利用分配律合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式) （2）易错点剖析 二次根式加减运算法则类似于整式的加减运算,计算一定要依据二次根式性质和相关法则，不能随意杜撰法则。 譬如：+；2×；+ 4. 二次根式的混合运算 (1)运算顺序 ①二次根式混合运算顺序类似于整式的混合运算，先乘除、再加减； ②有括号的先算括号里的； ③可以用运算律的、乘法公式简便计算的尽可能简便计算. （2）易错点剖析 二次根式的运算要注意最简二次根式的化简；根号下有字母一定要注意字母的取值范围. 2、 例题讲解 【题型4】二次根式运算的辨析 例4（2025·陕西西安·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式练习： 1．（2025·广东广州·模拟预测）① ；② ；③； ④四个式子中，正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025·湖北·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】与实数相关的化简和计算 例5（2025·山东济南·中考真题）计算：． 变式练习： 1．（2025·重庆·模拟预测）计算 ． 2.（2025·内蒙古·一模）计算：； 3．（2025·上海·中考真题）计算：． 【题型6】与乘法公式相结合的化简求值 例6（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 变式练习： 1．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）计算或化简： (1) (2) 2．（2025·甘肃·模拟预测）计算：． 3．（2025·湖南永州·一模）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【题型7】与分式相结合的化简求值 例7（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 变式练习： 1．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 2．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·青海西宁·三模）先化简，再求值其中． 【题型8】二次根式的混合运算 例8（2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题： (1)； (2) 变式练习： 1.（2025·甘肃·中考真题）计算：． 2．（2025·江苏南通·中考模拟）计算： (1)； (2)． 3．（2025·福建三明·一模）计算： (1)； (2) 过关检测 1．（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽芜湖·期中）化简： ． 7.（2023·江苏南京·中考真题）计算： ； 8．（2025·山东青岛·模拟预测）化简： ． 9．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 10．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 11.（2025·湖北宜昌·模考）计算： (1)； (2)． 12.（2025·陕西渭南·模拟预测）计算： (1)； (2)． 13.（2025·浙江·一模）计算：． 14．（2025·四川广元·一模）先化简，再求值：，其中． 15.（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考数学一轮复习（知识梳理、题型归纳、分类训练、过关检测） 第04讲 二次根式 知识导航 知识点1 概念和性质 1、 知识梳理 1. 定义 一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式"”称为二次根号. 重点剖析：表示a的算术平方根，因为负数没有平方根，所以有意义的条件是a≥0. 2. 性质 （1） （2） 难点1剖析：性质1和性质2都是根据平方根的定义得到的，表示a的算术平方根，表示的算术平方根，当a<0时因为=，所以==-a 难点2剖析：根据积的乘方的性质有 3. 最简二次根式 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 补充：最简二次根式中如果有分母，分母中也不能有根式 如：不属于最简二次根式，可以用分子分母同时乘以得到，从而将原式化成最简二次根式，这个过程俗称“分母有理化”。 4. 同类二次根式 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，这里可以合并的两个二次根式俗称“同类二次根式”。 2、 例题讲解 【题型1】二次根式有无意义 例1（2025·广西柳州·一模）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求自变量取值范围． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于0，由此列出不等式求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， ∴． 故选：D． 变式练习： 1．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 2.（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 3.（25-26·四川成都·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，代数式求值，根据题意可得，得出，进而得出，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 当时， ∴， 故答案为：． 【题型2】二次根式的性质 例2（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 变式练习： 1．（2025河北唐山·一模）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握及的运算规则． 根据二次根式的性质分别化简各选项，注意算术平方根的结果为非负数，平方运算的符号规则． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：B． 2.（2025·河北邢台·一模）化简的结果是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算平方运算，再取算术平方根． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，算式平方根，二次根式的加法，二次根式的混合运算，根据运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项正确， B．，故选项错误， C．与不是同类二次根式，不能进行加减计算，故选项错误， D．，故选项错误． 故选：A． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 例3下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．，在分母中，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：B． 变式练习： 1.（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、合并同类二次根式、二次根式的乘除运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、合并同类二次根式化简，然后再根据二次根式的乘除法计算C、D选项，然后再判断即可． 【详解】解：； A． ，符合题意； B． ，不符合题意； C． ，不符合题意； D． ，不符合题意． 故选A． 2.（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 3.（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 知识点2 二次根式的运算 1、 知识梳理 1. 二次根式的乘法 （1）乘法法则：=(a) （2）乘法法则的逆用:=(a) 难点剖析：教材中说没有特别说明时，所有的字母都表示正数。所以解题时一定要关注是否有特别说明和隐含说明，譬如：化简时，因为要有意义，所以这里隐含了一个条件就是a 2. 二次根式的除法 （1）除法法则：=(a) （2）乘法法则的逆用:=(a) 3. 二次根式的加法与减法 （1） 加减运算的步骤 ①化简二次根式 ②利用分配律合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式) （2）易错点剖析 二次根式加减运算法则类似于整式的加减运算,计算一定要依据二次根式性质和相关法则，不能随意杜撰法则。 譬如：+；2×；+ 4. 二次根式的混合运算 (1)运算顺序 ①二次根式混合运算顺序类似于整式的混合运算，先乘除、再加减； ②有括号的先算括号里的； ③可以用运算律的、乘法公式简便计算的尽可能简便计算. （2）易错点剖析 二次根式的运算要注意最简二次根式的化简；根号下有字母一定要注意字母的取值范围. 2、 例题讲解 【题型4】二次根式运算的辨析 例4（2025·陕西西安·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根，立方根，二次根式性质解答即可． 本题考查了算术平方根，立方根，二次根式性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意； B. ，原式计算错误，不符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 变式练习： 1．（2025·广东广州·模拟预测）① ；② ；③； ④四个式子中，正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的运算法则逐项判断即可 【详解】解：①，原计算错误；②，计算正确；③，原计算错误；④与不是同类项，不可以合并，原计算错误， 故选：B 2．（2025·湖北·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、同类项的合并以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． 依次对每个选项根据相应的数学法则进行计算，判断其正确性． 【详解】解：选项A：，该选项正确，符合题意； 选项B：，该选项错误，不符合题意； 选项C：与所含字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故，该选项错误，不符合题意； 选项D：，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·湖北·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算、单项式的除法、多项式的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则解题即可． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不符合题意； D：，故该选项不符合题意． 故选：B． 【题型5】与实数相关的化简和计算 例5（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 变式练习： 1．（2025·重庆·模拟预测）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各项：为，为，为4，再求和即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 2.（2025·内蒙古·一模）计算：； 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．首先计算负指数幂、二次根式和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：原式 ； 3．（2025·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： . 【题型6】与乘法公式相结合的化简求值 例6（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的化简和计算，利用乘法公式可以进行简便计算. 【详解】解： = =2×（3-2） ． 故答案为：2． 变式练习： 1．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式乘法法则计算第一项，再用平方差公式计算第二项，完全平方公式展开第三项，最后合并同类项； （2）先代入特殊三角函数值，再按四则运算顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、乘法公式（平方差、完全平方）、特殊三角函数值的计算，熟练掌握运算法则、乘法公式及特殊三角函数值是解题的关键． 2．（2025·甘肃·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，重点在于掌握二次根式的化简．先利用二次根式的性质化简，利用完全平方公式进行计算，同时把除法变成乘法，最后根据运算顺序计算即可． 【详解】解：原式 3．（2025·湖南永州·一模）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【题型7】与分式相结合的化简求值 例7（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 变式练习： 1．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 【答案】； 【分析】此题考查了分式的化简和求值，二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号内通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式 ． 2．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出，再代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 3．（2025·青海西宁·三模）先化简，再求值其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，然后利用分式的乘法运算法则化简原式，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【题型8】二次根式的混合运算 例8（2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式、绝对值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 变式练习： 1.（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·江苏南通·中考模拟）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根． （1）先化简二次根式并计算二次根式的乘法，再算加减即可； （2）先利用立方根及二次根式的性质化简，再算括号里的加法，再算除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2025·福建三明·一模）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简、二次根式的加减运算、平方差公式、二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的相关运算． （1）根据二次根式的化简、二次根式的加减运算法则进行求解； （2）根据平方差公式、二次根式的混合运算法则进行求解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 过关检测 1．（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可． 【详解】解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ； 要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即， 综上，实数的取值范围为且， 故答案为：且． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 4．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 5．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 6．（2025·安徽芜湖·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简二次根式即可． 【详解】， 故答案为：． 7.（2023·江苏南京·中考真题）计算： ； 【答案】 2 2 【分析】本题主要考查了实数的有关计算．根据绝对值的性质和二次根式的性质，进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：2，2． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．利用二次根式的除法法则，将原式拆分为两个二次根式相减的形式，分别化简后计算得出结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． 10．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 11.（2025·湖北宜昌·模考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算平方、立方和奇次方，然后再计算加减法即可； （2）原式先去括号和去绝对值，然后再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 12.（2022·陕西渭南·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法、除法运算和平方差公式．熟练掌握二次根式的乘法、除法运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则和平方差公式即可计算； （2）先将二次根式化简，再按照二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13.（2025·浙江·一模）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 14．（2025·四川广元·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及知识点：分式的混合运算、完全平方公式、因式分解。解题方法是先对分式约分、通分，将除法转化为乘法后化简，再代入求值；解题关键是正确进行因式分解与分式运算，易错点是通分或符号处理错误。先分解分子分母的因式，通分计算括号内的减法，再将除法转乘法化简，最后代入的值计算． 【详解】解： ， 代入， 原式． 15.（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $