湖北省武汉市第六中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第一册+数列） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知向量，且，则x+y＝（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 2．过点（﹣1，2）且与直线x﹣y﹣1＝0垂直的直线l的方程为（　　） A．x+y﹣3＝0 B．x﹣y+3＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝0 3．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则（ 　） A． B． C． D． 4．若圆（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上到直线距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围为（　　） A．（1，3） B．（4，6） C．（3，5） D．（2，4） 5．已知数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，且a1＝2025，，则使得Sn＜0的n的最小值为（　　） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 6．双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　） A． B． C．2 D．3 7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|＝（　　） A． B． C．3 D．2 8．已知圆C：（x﹣m）2+y2＝m2（m＞0）在椭圆的内部，直线l：y＝kx+2m交E于A、B两点，并与圆C相切于D点，若D为线段AB的中点，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列选项不正确的是（　 　） A．a5•a10＝a15 B．S5•S10＝S15 C．S10，S20，S30成等比数列 D． 10．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（　　） A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180° 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（　　） A． B．点C1到直线CQ的距离是 C．平面ECG与平面BC1D的夹角正弦值为 D．异面直线CQ与平面ACC1A1的法向量所成角的正切值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．直线l：x﹣2y+m＝0被圆（x+1）2+（y﹣2）2＝8截得的弦长为，则m＝　 　 ． 13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 　　 ． 14．已知椭圆C：1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）已知圆C经过点A（1，1）和原点，且圆心在直线x﹣y﹣1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）过点B（2，2）作圆C的切线，求切线方程． 16．（本小题15分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）当d＞1时，记cn，求数列{cn}的前n项和Tn． 17．（本小题15分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′． （1）证明：D′H⊥平面ABCD； （2）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值． 18．（本小题17分）设数列{an}的前n项和为Sn已知． （1）求a2的值； （2）求证为等差数列； （3）证明：对一切正整数n，有． 19．（本小题17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点（2，3）．设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点． （1）求C的方程； （2）若直线MN过点P（3，0），且MN的斜率为2，求||MP|﹣|PN||的值； （3）设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+k2＝0，求证：直线MN恒过定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第一册+数列） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知向量，且，则x+y＝（　B　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【解析】 向量，且，则，解得x＝﹣4，y＝﹣2， ∴x+y＝﹣6． 2．过点（﹣1，2）且与直线x﹣y﹣1＝0垂直的直线l的方程为（　C　） A．x+y﹣3＝0 B．x﹣y+3＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝0 【解析】 设与直线x﹣y﹣1＝0垂直的直线方程为x+y+a＝0，将点（﹣1，2）代入可得：﹣1+2+a＝0，解得a＝﹣1，即直线的方程为x+y﹣1＝0． 3．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则（　B　） A． B． C． D． 【解析】 因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，所以到， 因为，所以，即 4．若圆（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上到直线距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围为（　D　） A．（1，3） B．（4，6） C．（3，5） D．（2，4） 【解析】 根据题意，圆（x﹣2）2+y2＝r2的圆心为C（2，0），半径为r，圆心C到直线xy+4＝0的距离d3，若圆上C的点到直线xy+4＝0的距离为1的点有且仅有2个，则d﹣1＜r＜d+1，结合d＝3，可得2＜r＜4，即r的取值范围是（2，4）． 5．已知数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，且a1＝2025，，则使得Sn＜0的n的最小值为（　B　） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【解析】 数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，且a1＝2025，，由a1＝2025，，得a2024a2025＜0，则d＜0，∴a2024＞0，a2025＜0，由和a2025＜0，得a2024+a2025＞0，结合，，故使得Sn＜0的n的最小值为4049． 6．双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　A　） A． B． C．2 D．3 【解析】 双曲线C：1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：yx，不妨P在第一象限，可得tan∠POF，P（，），所以△PFO的面积为：． 7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|＝（　C　） A． B． C．3 D．2 【解析】 设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，∵4，∴|PQ|＝3d，∴不妨设直线PF的斜率为2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝﹣2（x﹣2），与y2＝8x联立可得x＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3 8．已知圆C：（x﹣m）2+y2＝m2（m＞0）在椭圆的内部，直线l：y＝kx+2m交E于A、B两点，并与圆C相切于D点，若D为线段AB的中点，则椭圆E的离心率为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 由题意，记直线l交y轴于点P，连接OD，CD，CP，如图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则2x0＝x1+x2，2y0＝y1+y2．又，所以，所以，即．由图易知PO，PD与圆C分别相切于O，D，则∠POC＝∠PDC＝90°，由CP⊥OD，则∠DOC+∠POD＝∠OPC+∠POD，即∠DOC＝∠OPC，由直线l：y＝kx+2m与圆C：（x﹣m）2+y2＝m，则P（0，2m），C（m，0），在Rt△POC中，则，由OC＝CD，则∠COD＝∠CDO，可得∠BCD＝∠COD+∠CDO＝2∠COD，所以直线CD的斜率，因为CD⊥AB，所以直线AB的斜率，即．又直线OD的斜率为，所以，所以，所以e． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列选项不正确的是（　ABC　） A．a5•a10＝a15 B．S5•S10＝S15 C．S10，S20，S30成等比数列 D． 【解析】 对于A，左边，右边，当q≠1时，若a1≠q，则，故A错误；对于B，当q＝1时，S5＝5a1，S10＝10a1，S15＝15a1，左边；当q≠1时，左边，右边，等式成立需（1﹣q5）（1﹣q10）＝（1﹣q）（1﹣q15），展开后化简得2q15﹣q10﹣q5＝0，即q5（2q10﹣q5﹣1）＝0，因为q＞0，解得q5＝1（q＝1，已排除），故B错误；对于C，等比数列前n项和的性质为Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列，而非Sn，S2n，S3n，所以S10，S20，S30不成等比数列，故C错误；对于D，当q＝1时，左边＝S30＝30a1，右边，等式成立；当q≠1时，右边S30＝左边，等式成立，故D正确． 10．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（　ACD　） A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180° 【解析】 如图所示，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，）， 由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，），∴，故A正确；，|OF|，|OB|≠|OF|，故B错误；|AB|2p＝4|OF|，故C正确；，，，，|OM|＝p，∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确． 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（　BCD　） A． B．点C1到直线CQ的距离是 C．平面ECG与平面BC1D的夹角正弦值为 D．异面直线CQ与平面ACC1A1的法向量所成角的正切值为 【解析】 ，即，A错误；以A1为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则C1（﹣1，1，0），Q（0，﹣1，1），C（﹣1，1，﹣1），E（1，﹣1，﹣1），G（﹣1，﹣1，1），B（0，1，﹣1），D（﹣1，0，﹣1），所以，，，，，，设，则点C到直线CO的距离，B正确；设面ECG的法向量为，面BC1D的法向量为，所以，取x＝1，则，，取a＝1，则，，因此，C正确；所以，则，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．直线l：x﹣2y+m＝0被圆（x+1）2+（y﹣2）2＝8截得的弦长为，则m＝　　 ．0或10 【解析】因为圆的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝8，所以圆心为（﹣1，2），半径为，又直线l：x﹣2y+m＝0，所以圆心（﹣1，2）到直线l的距离为，因为直线l被圆截得的弦长为，所以，解得m＝0或m＝10． 13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 　　 ．8 【解析】 因为，所以S6＝4S3，所以S6﹣S3＝3S3，由等比数列前n项和的性质知，数列S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9是以S3为首项，3为公比的等比数列，所以S9﹣S6＝9S3，即S9＝9S3+S6＝9S3+4S3＝13S3，S12﹣S9＝27S3，即S12＝27S3+S9＝27S3+13S3＝40S3，所以． 14．已知椭圆C：1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是 　　 ．13 【解析】 如图所示，∵椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由中垂线的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，DE|，解得c，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）已知圆C经过点A（1，1）和原点，且圆心在直线x﹣y﹣1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）过点B（2，2）作圆C的切线，求切线方程． 【解析】 （1）因为圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上，故设C（m，m﹣1），所以，解得m＝1，所以C（1，0），半径为，所以圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝1． （2）如图所示，点B（2，2）在圆外，则过点B（2，2）的圆的切线方程有两条．当切线的斜率不存在时，则l：x＝2与圆相切．当切线的斜率存在时，设切线方程为l：y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y+2﹣2k＝0，设圆心C（1，0）到直线l的距离为d，而圆的半径为r＝1，则，解得，所以切线方程为3x﹣4y+2＝0；综上，切线方程为x＝2或3x﹣4y+2＝0． 16．（本小题15分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）当d＞1时，记cn，求数列{cn}的前n项和Tn． 【解析】 （1）设a1＝a，由题意可得，解得，或，当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；当时，an（2n+79），bn＝9•； （2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，∴Tn＝2（2n﹣1）•3，∴Tn＝6． 17．（本小题15分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′． （1）证明：D′H⊥平面ABCD； （2）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值． 【解析】 （1）证明：∵ABCD是菱形，∴AD＝DC，又AE＝CF，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC＝6，∴AO＝3，又AB＝5，AO⊥OB，∴OB＝4，∴OH1，则DH＝D′H＝3，∴|OD′|2＝|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH， 又OH∩EF＝H，∴D′H⊥平面ABCD； （2）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB＝5，AC＝6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x＝3，得y＝﹣4，z＝5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ． 18．（本小题17分）设数列{an}的前n项和为Sn已知． （1）求a2的值； （2）求证为等差数列； （3）证明：对一切正整数n，有． 【解析】 （1）由，可得n＝1时，2a1＝2S1＝a212，解得a2＝4； （2）证明：由，可得2Sn＝nan+1n3﹣n2n＝nan+1，① 当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an，② ①﹣②可得2an＝nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），化为1（常数），由a2＝4；可得2﹣1＝1，所以数列{}是以首项为1，公差为1的等差数列； （3）证明：由（2）可得n，则an＝n2（n≥2），当n＝1时，上式显然成立，所以an＝n2（n∈N*）， ①当n＝1时，1，所以原不等式成立．②当n＝2时，1，则原不等式也成立． ③当n≥3时，由n2＞（n﹣1）（n+1），可得，则......1...＝1（1...）＝1（1）（），所以当n≥3时，原不等式也成立，综上，可得对一切正整数n，有． 19．（本小题17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点（2，3）．设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点． （1）求C的方程； （2）若直线MN过点P（3，0），且MN的斜率为2，求||MP|﹣|PN||的值； （3）设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+k2＝0，求证：直线MN恒过定点． 【解析】 （1）因为双曲线C的一条渐近线方程为，且过点（2，3），所以， 解得，则双曲线C的方程为； （2）易知直线MN的方程为y＝2（x﹣3），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y并整理得x2﹣24x+39＝0，由韦达定理得x1+x2＝24，因为M，N在P点的两侧，所以x1﹣3与x2﹣3异号，所以； （3）证明：若MN的斜率不存在，设直线MN的方程为x＝t（t＞1），M（t，y1），N（t，y2）．因为k2＝﹣3k1，A（﹣1，0），B（1，0），所以，由对称性知，y2＝﹣y1，即t+1＝3（t﹣1）， 解得t＝2，所以直线MN的方程为x＝2，此时直线MN过点（2，0）；若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，此时3﹣k2≠0，由韦达定理得，，因为点M在双曲线上， 所以，又A（﹣1，0），B（1，0），可得． 因为3k1+k2＝0，即，所以kBM•kBN，即（kx1+m）（kx2+m）＝﹣9（x1﹣1）（x2﹣1），整理得，所以，化简得m2+3km+2k2＝0，解得m＝﹣k或m＝﹣2k．当m＝﹣k时，直线MN的方程为y＝k（x﹣1），此时直线MN过点B（1，0），不符合题意；当m＝﹣2k时，直线MN的方程为y＝k（x﹣2），此时直线MN过点（2，0），符合题意．综上所述，MN恒过定点（2，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $