寒假作业 05 一元二次方程的解法 专项练习 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册（甘肃专用）

作业05 一元二次方程的解法 答案解析 分层式学习 培优训练 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】移项得，配方时加一次项系数一半的平方，等式两边同步运算得，即。 1. 【答案】D 【解析】方程可化为完全平方形式，根据完全平方方程性质，有两个相等实数根，故。 1. 【答案】D 【解析】由“两数积为0则至少其一为0”，得或，解得，。 1. 【答案】D 【解析】确定，，，计算判别式，代入求根公式，得，其中是有效根。 1. 【答案】C 【解析】移项得，提公因式得，则或。当时，原式；当时，原式。 1. 【答案】A 【解析】方程化为，解得，代入代数式得。 1. 【答案】D 【解析】移项得，提公因式得，解得，。 1. 【答案】A 【解析】，有两个不相等实数根；由根与系数关系，两根和为、积为，故两根均为正。 二、填空题 1. 【答案】 【解析】令，因式分解为，解得。 1. 【答案】 【解析】由根与系数关系，，，则用十字相乘法因式分解为。 1. 【答案】7 【解析】直接开平方得，因，舍去负解，解得。 1. 【答案】或 【解析】互为相反数的两数和为0，列方程，化简得，因式分解为，解得对应根。 1. 【答案】4 【解析】化为一般形式，，，，。 1. 【答案】 【解析】因是因式，将代入多项式得，解得。 三、解答题 1. 配方法求解 （1）【答案】， 【解析】移项得，配方加，得，开平方解得。 （2）【答案】， 【解析】两边除以2得，移项得，配方加，得，开平方解得。 （3）【答案】， 【解析】移项得，两边除以2得，配方加，得，开平方解得。 1. 公式法求解 （1）【答案】， 【解析】，，，，代入公式得。 （2）【答案】， 【解析】整理为，，，，，解得。 （3）【答案】 【解析】整理为，，，，，代入公式得。 1. 因式分解法求解 （1）【答案】， 【解析】移项得，提公因式得，解得对应根。 （2）【答案】， 【解析】变形为，提公因式得，解得对应根。 1. 换元法求解 （1）【答案】， 【解析】设（），原方程化为，因式分解得，解得（舍去）。代回得，平方得，因式分解得，解得对应根（经检验无增根）。 （2）【答案】， 【解析】设，原方程化为，两边乘得，解得或。当时，，解得（舍去）；当时，，解得或（均为增根），最终得解。 1. 【答案】直角三角形 【解析】方程有两个相等实数根，故，化简得，即，符合勾股定理，故为直角三角形。 1. 【答案】（1）换元；降次 （2），，， 【解析】（1）通过换元将四次方程转化为二次方程，核心是降次，体现转化思想。（2）设，原方程化为，因式分解得，解得，。当时，，，解得；当时，，，解得。 学科网（北京）股份有限公司 $___________月___________日 天气________ 用时________ 寒假作业 作业05 一元二次方程的解法 分层式学习 一、直接开平方法 核心原理 利用平方根的定义，对形如 （）或 （）的方程，直接开平方求解，即 或 。 适用场景 · 缺一次项的一元二次方程（不含 项）； · 能化为完全平方形式的方程，且等号右边为非负数。 例题与运用 · 例1：解方程 · 解：直接开平方得 ，即 ，。 · 例2：解方程 · 解：开平方得 ，分两种情况： · ① 解得 ；② 解得 ，故 ，。 注意事项 · 若 ，方程无实数根； · 开平方时需注意符号，避免遗漏负根。 二、配方法 核心原理 通过配方将一元二次方程 （）化为 的形式，再用直接开平方法求解，核心是“化二次项系数为1，加一次项系数一半的平方”。 适用场景 · 所有一元二次方程，尤其适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程； · 题目明确要求用配方法求解的情况。 步骤与例题 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以 ； 1. 移项：将常数项移到等号右边； 1. 配方：等号两边加一次项系数一半的平方； 1. 化为完全平方形式，开平方求解。 · 例：解方程 · 解：① 移项得 ；② 配方加 ，得 ；③ 化为 ；④ 开平方得 ，解得 ，。 注意事项 · 配方时需保证等式两边同时加相同的数，维持等式成立； · 二次项系数不为1时，需先除以系数，再配方。 三、公式法 核心原理 对于一元二次方程标准形式 （），先计算根的判别式 ，再代入求根公式 求解（ 时有实数根）。 适用场景 · 所有一元二次方程，尤其适用于无法因式分解、配方麻烦的方程（如系数为分数、小数）； · 求根结果要求精确值的情况。 例题与运用 · 例：解方程 · 解：① 确定系数 ，，；② 计算 ；③ 代入公式得 ，故 ，。 注意事项 · 先判断 的符号： 有两个不相等实数根， 有两个相等实数根， 无实数根； · 代入公式时注意 的符号，避免符号错误。 四、因式分解法 核心原理 将方程化为两个一次因式的积等于0的形式，即 ，利用“若两数积为0，则至少一个数为0”，得 或 ，求解方程。 适用场景 · 方程右边为0，左边能因式分解（提公因式、平方差公式、完全平方公式等）； · 常数项绝对值较小、一次项系数易于拆分的方程。 常见因式分解类型与例题 1. 提公因式法：例 ，因式分解为 ，解得 ，； 1. 平方差公式：例 ，因式分解为 ，解得 ，； 1. 十字相乘法：例 ，因式分解为 ，解得 ，。 注意事项 · 必须先将方程化为“右边为0”的形式，再进行因式分解； · 因式分解要彻底，确保每个因式为一次因式。 五、换元法 核心原理 对于含复杂代数式（如重复出现的多项式、根号形式）的方程，设换元量 代替复杂代数式，将原方程化为关于 的一元二次方程，求解 后，代回换元式求原方程的解。 适用场景 · 方程中含重复出现的多项式（如 ）； · 含根号的无理方程（根号下为相同整式，可转化为一元二次方程）。 例题与运用 · 例：解方程 · 解：① 设 ，原方程化为 ；② 因式分解得 ，解得 ，；③ 代回换元式： · 当 时，，解得 ，； · 当 时，，，无实数根； · 综上，原方程的解为 ，。 注意事项 · 换元后需验证所求 的值对应的原方程是否有实数根； · 代回换元式时要完整还原，避免漏解。 一、选择题 1. 将方程配方得 （     ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（     ） A. ， B. ， C. D. 3. （2024·渭南阶段练习）方程的两个根分别是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 方程的一个根为（     ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（     ） A. B.0 C. 或0 D. 不能确定 6. 已知实数满足，则代数式的值为（     ） A.2 B. -2 C.1 D. -1 7. 方程的解为（     ） A. B. C. D. ， 8. （2024·西安校级期末）已知方程，则它的根的情况为（     ） A. 有两个正根 B. 有两个负根 C. 没有实数根 D. 有两个异号根 二、填空题 9. ______时，式子的值为零。 10. （2023·天津期中改编）一元二次方程的两个根分别为和，那么将分解因式的结果为______。 11. 若，则______。 12. 若和互为相反数，则为______。 13. （2025·全国·课后练习）对于方程，其根的判别式 ______. 14. （2024·白色校级期中）已知是多项式的一个因式，则 ______. 三、解答题 15. 用配方法解方程： （1）（2025·麦积区期中改编） ； （2） ； （3） . 16. 用公式法解方程： （1） ； （2） ； （3） . 17. 用因式分解法求解： （1） ； （2）（2024·白银中考改编） 。 18. 用换元法解下列方程： （1） ； （2） 。 19. 已知关于的方程有两个相等的实数根，试判断以，，为三边的三角形的形状。 20. 【新中考·解题方法型阅读理解题·换元法】阅读下面的材料，回答问题： 根据，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得，； 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，。 （1） 在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到______的目的，体现了数学的转化思想。 （2） 解方程。 建议用时：60分钟 学科网（北京）股份有限公司 $ch 日P00 0日gD 月日天气用时 寒假作业 作业05一元二次方程的解法 分层式学习 积累运用 一、直接开平方法 核心原理 利用平方根的定义，对形如x2=p(p≥0)或(mx+n)=p(p≥0)的方程，直接开平方求解， 即x=士√下或mx+n=士√匝。 适用场景 ·缺一次项的一元二次方程（不含bx项）； ·能化为完全平方形式的方程，且等号右边为非负数。 例题与运用 ·例1：解方程x2=16 解：直接开平方得x=士V16,即x1=4,x2=-4。 ·例2：解方程(2x-3)2=25 解：开平方得2x-3=士5，分两种情况： ①2x-3=5解得x=4;②2x-3=-5解得x=-1,故x1=4,x2=-1。 注意事项 ·若p<0,方程无实数根； ·开平方时需注意符号，避免遗漏负根。 二、配方法 核心原理 通过配方将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x+h)2=k的形式，再用直接开平方法求 解，核心是“化二次项系数为1，加一次项系数一半的平方”。 适用场景 ·所有一元二次方程，尤其适用于二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程： ·题目明确要求用配方法求解的情况。 1☒ ch 日P00 0日gD 、月 一日天气用时 寒假作业 步骤与例题 1.化二次项系数为1：方程两边同除以a; 2.移项：将常数项移到等号右边： 3.配方：等号两边加一次项系数一半的平方： 4.化为完全平方形式，开平方求解。 ·例：解方程x2-6x+5=0 解：①移项得x2-6x=-5:②配方加32，得x2-6x+9=-5+9:③化为(x-3)2=4; ④开平方得x-3=士2，解得x1=5,x2=1。 注意事项 ·配方时需保证等式两边同时加相同的数，维持等式成立： ·二次项系数不为1时，需先除以系数，再配方。 三、公式法 核心原理 对于一元二次方程标准形式ax2+bx+c=0(a≠0)，先计算根的判别式△=b2-4ac,再代入求 根公式x=西求解（△≥0时有实数根）。 20 适用场景 ·所有一元二次方程，尤其适用于无法因式分解、配方麻烦的方程（如系数为分数、小数）； 。求根结果要求精确值的情况。 例题与运用 ·例：解方程2x2-5x+1=0 解：①确定系数a=2,b=-5,c=1;②计算△=(-5)2-4×2×1=25-8=17；③ 代入公式得x=亚故x1=平，2=平 4 注意事项 ·先判断△的符号：△>0有两个不相等实数根，△=0有两个相等实数根，△<0无实数根； ·代入公式时注意b的符号，避免符号错误。 四、因式分解法 核心原理 将方程化为两个一次因式的积等于0的形式，即(x-m)(x-n)=0,利用“若两数积为0，则至少一 个数为0”，得x-m=0或x-n=0,求解方程。 cmh 日P00 0日gD 一月一日天气用时一寒假作业 适用场景 ·方程右边为0，左边能因式分解（提公因式、平方差公式、完全平方公式等）： ·常数项绝对值较小、一次项系数易于拆分的方程。 常见因式分解类型与例题 1.提公因式法：例2x2-6x=0,因式分解为2x(x-3)=0,解得x1=0,x2=3: 2.平方差公式：例x2-9=0,因式分解为(x+3)(x-3)=0,解得x1=3,x2=-3: 3.十字相乘法：例x2+4x-12=0,因式分解为(x+6)(x-2)=0,解得x1=-6,x2=2。 注意事项 。必须先将方程化为“右边为0”的形式，再进行因式分解： ·因式分解要彻底，确保每个因式为一次因式。 五、换元法 核心原理 对于含复杂代数式（如重复出现的多项式、根号形式）的方程，设换元量t代替复杂代数式，将原方 程化为关于t的一元二次方程，求解t后，代回换元式求原方程的解。 适用场景 ·方程中含重复出现的多项式（如(x2-2x)2-3(x2-2x)+2=0): ·含根号的无理方程（根号下为相同整式，可转化为一元二次方程）。 例题与运用 ·例：解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0 解：①设t=x2-x,原方程化为t2-4t-12=0:②因式分解得(t-6)(t+2)=0,解 得t1=6,t2=-2;③代回换元式： 0当t=6时，x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2; 0当t=-2时，x2-x+2=0,△=1-8=-7<0，无实数根： 综上，原方程的解为x1=3,x2=-2。 注意事项 ·换元后需验证所求t的值对应的原方程是否有实数根； ·代回换元式时要完整还原，避免漏解。 cmh 日P0a 日天气■ 用时 寒假作业 培优训练 一、选择题 1.将方程x2-4x-3=0配方得() A.(x-2)2=3 B.(x-2)2=-1 C.x-2)2=7 D.(x-2)2=5 2.一元二次方程x2-x+}=0的根是() A%1=子为=-月 B.X1=2,X2=-2 CX=%=-月 D.X1=X2=月 3.(2024·渭南阶段练习)方程(x-1)(x+2)=0的两个根分别是() A.X1=-1,X2=2 B.X1=1,x2=2 C.X1=-1,X2=-2 D.X1=1,X2=-2 4.方程x2+x-3=0的一个根为() A.1-V13 B.1- 2 C.-1+V13 D.3-1 2 5.已知x-2y)2=y(2y-x),则兰的值为() xy A是 B.0 c.或o D.不能确定 6.已知实数满足4x2-4x+1=0,则代数式去+2x的值为（) A.2 B.-2 c.1 D.-1 7.方程2x(x-3)=5(x-3)的解为() A.X=3 B.X=月 C.x=-3 D.x1=3x2=月 8.(2024·西安校级期末)已知方程x2-√7x+1=0,则它的根的情况为() A.有两个正根 B.有两个负根 C.没有实数根 D.有两个异号根 >4☒ cmh 日P00 oo 0 o 月 日天气一用时 寒假作业 二、填空题 9.x=时，式子x2-9的值为零。 10.(2023·天津期中改编)一元二次方程x2-px+q=0的两个根分别为X1=1和x2=2,那么将x2+ px+q分解因式的结果为。 11.若(x2+y2-1)2=36,则x2+y2=。 12.若2x2+1和4x2-2x-5互为相反数，则x为 13.(2025·全国·课后练习)对于方程x2=8x-15,其根的判别式b2-4ac=_ 14.(2024·白色校级期中)己知x-3是多项式2x2-5x+m的一个因式，则m= 三、解答题 15.用配方法解方程： (1)(2025·麦积区期中改编)x2+2V2x-4=0: (2)2x2-3x+1=0: (3)2x2+3=-7x. 16.用公式法解方程： (1)5x2-7x+1=0: (2)5(x2+2)-8x=7: 2s☒ H++ 日P00 0日gD 一一一一一月日天气用时 寒假作业 (3)4x2+4x+10=1-8x. 17.用因式分解法求解： (1)x(x+3)=2x+6: (2)（2024·白银中考改编)3x(x-7)=2(7-x)。 18.用换元法解下列方程： (1)x2+8x+Vx2+8x=12: (2) w+2++6-3=0。 x2+6 2x2+x 19.己知关于x的方程(a+c)x2+bx+a=0有两个相等的实数根，试判断以a,b,c为三边的 三角形的形状。 素养提升 20.★★【新中考·解题方法型阅读理解题·换元法】阅读下面的材料，回答问题： 根据x4一5x2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为 26☒ +++++ 日P00 oo 0 o 一一一一月日天气用时一一一寒假作业 y2-5y+4=0①，解得y1=1,y2=4; 当y=1时，x2=1,x=±1： 当y=4时，x2=4,x=士2； 原方程有四个根：1=1,2=-1，=2，X4=-2。 (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想。 (2)解方程(x2+x)2-7(x2+x)+12=0。 建议用时：0分钟 2,☒