第04讲 方程（复习讲义，8考点5题型2重难）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦方程模块，覆盖一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程（含判别式与应用）、分式方程、无理方程及二元二次方程组等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、真题训练等环节，系统梳理知识联系，指导解题方法，突破运算与应用难点。 亮点在于融合数学思维与模型意识，如通过“根的判别式求参数”典例训练推理能力，分式方程“去分母-验根”步骤强化运算严谨性。设分层练习与命题预测，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生方程求解与实际应用能力。

考点一：一元一次方程 考点二：二元一次方程组 方程 考点三：一元二次方程 定义 解法 考点六：分式方程 增根 注意 定义 考点七：无理方程 解法 注意 考点八：二元二次方程组 定义：含有未知数的等式。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 一性质1：等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式。 等式的性质： C性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式。 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，标准形式为αc+b=0 (其中a≠0)。 解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 应用步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验作答。 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的项的次数都是1。 方程的解：使方程两边的值相等的两个未知数的值 二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数。 一代入消元法。 解方程组的方法： 加减消元法。 应用步骤：找出等量关系，设未知数，列方程组，求解，检验。 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 一般形式：ax2十bx十c=0(其中a≠0)。 直接开平方法：适用于形如x2=p或(n十m)2=p(p≥0)的方程。 配方法：将方程化为(x十m)2=几的形式。 解的方法： 公式法：求根公式为x=-b吐-4c(b2一4ac≥0)。 2a 心因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积。 根的判别式：△=b2一4ac,用于判断根的情况（△>0有两个不等实根，△=0 有两个相等实根，△<0无实根)。 分母中含有未知数的方程。 通过去分母化为整式方程求解。 使原方程分母为0的根，需检验排除。 解分式方程后必须验根。 根号下含有未知数的方程（也称根式方程）。 通过平方或其他方法去根号，化为有理方程求解。 解无理方程后需检验，避免增根。 定义：含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的方程组。 代入消元法：适用于一个一次方程和一个二次方程组成的方程组。 解法： 心因式分解法：将方程分解为一次方程求解。 一般步骤：消元、降次，转化为一元方程求解。考点一：一元一次方程 考点二：二元一次方程组 方程 考点三：一元二次方程 定义： 解法 考点六：分式方程 增根： 注意： 定义： 考点七：无理方程 解法： 注意： 考点八：二元二次方程组 定义：含有未知数的等式。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 一性质1：等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式。 等式的性质： 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式。 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，标准形式为αc+b=0 (其中a≠0)。 解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 应用步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验作答。 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的项的次数都是1。 方程的解：使方程两边的值相等的两个未知数的值 二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数。 一代入消元法。 解方程组的方法： 气加减消元法。 应用步骤：找出等量关系，设未知数，列方程组，求解，检验。 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 -般形式：ac2十bx十c=0(其中a≠0)。 -直接开平方法：适用于形如x2=p或(nx十m)2=p(p≥0)的方程。 配方法：将方程化为（x十m)2=n的形式。 解的方法： 公式法：求根公式为x=b+-4c(b2一4ac≥0)。 2a 心因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积。 根的判别式：△=b2一4ac,用于判断根的情况（△>0有两个不等实根，△=0 有两个相等实根，△<0无实根)。 分母中含有未知数的方程 通过去分母化为整式方程求解。 使原方程分母为0的根，需检验排除。 解分式方程后必须验根。 根号下含有未知数的方程（也称根式方程）。 通过平方或其他方法去根号，化为有理方程求解。 解无理方程后需检验，避免增根。 定义：含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的方程组。 ·代入消元法：适用于一个一次方程和一个二次方程组成的方程组。 解法： 因式分解法：将方程分解为一次方程求解。 一般步骤：消元、降次，转化为一元方程求解。 第二章 方程与不等式 第04讲 方程 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 26 命题点一 一元二次方程根的判别式 题型01 根据一元二次方程根的情况求参数 题型02 根据判别式判断一元二次方程根的情况 命题点二 分式方程 题型01 解分式方程（化为一元二次） 命题点三 无理方程 题型01 解无理方程 命题点四 二元二次方程组 题型01解二元二次方程组 05·重难突破·思维进阶 35 突破一 分式方程的应用 突破二 一元二次方程的实际应用 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 一元一次方程 解法与实际应用 隐含考查（综合题基础） 掌握一元一次方程的解法，能结合实际情境列方程求解 二元一次方程组 解法（代入/加减消元）与实际应用 2023年（T21） 2024年（T21） 掌握代入消元法、加减消元法，能列方程组解决实际问题 分式方程 解法（去分母转化为整式方程）与增根检验 2023年（T9） 2024年（T9） 2025年（T9） 掌握分式方程的解法，能检验增根（分母为0的根），理解分式方程有意义的条件 一元二次方程 解法（配方法、公式法、因式分解法） 2023年（T17） 2024年（T17） 2025年（T17） 掌握配方法、公式法、因式分解法解方程，能运用判别式判断根的情况 根的判别式与根与系数的关系 2023年（T14） 2024年（T14） 理解根的判别式的意义，能判断根的个数；了解根与系数的关系（韦达定理）并简单应用 实际应用（增长率、面积问题） 2023年（T22） 2025年（T22） 能结合增长率、面积等实际情境列一元二次方程求解，并验证解的合理性 无理方程 解法（两边平方转化为整式方程）与验根 2024年（T10） 2025年（T10） 掌握无理方程的解法，通过两边平方转化为整式方程，能检验根是否满足被开方数非负的条件 二元二次方程组 解法（代入消元法，适合一个一次一个二次） 2023年（T18） 2024年（T18） 掌握代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，能准确消元求解 命题预测 2026 年上海中考方程模块命题将延续 “题型以选择、填空、计算、应用为主，考点聚焦分式方程解法与增根检验、一元二次方程解法与判别式、无理方程验根、二元二次方程组代入消元” 的特点，侧重运算规范性与实际问题转化能力，可能融入函数、不等式的综合应用，强调解的合理性验证与运算准确性 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 熟练掌握各类方程（组）的解法，标注分式方程增根检验、无理方程被开方数非负、二元二次方程组消元步骤等易错点，训练 T9、T10、T14、T17、T18 类基础题；2. 按 “解法训练→实际应用” 分层刷题，总结 “设变量→找等量关系→列方程（组）→求解验证” 的应用流程；3. 规避分式方程漏检验、一元二次方程符号错误、无理方程忽略验根等陷阱，练习方程与函数、不等式的综合题；4. 整理近 3 年真题归纳命题规律，强化计算与应用题型的得分率 考点一 一元一次方程 1．方程的定义 含有未知数的等式叫方程． 两个要点：①等式；②含有未知数． 2．方程的解 方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． 3．等式的性质 性质1 等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2 等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 4．一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 5．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 6．解一元一次方程 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 注意：解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． 7．一元一次方程的应用 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 1．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2025·上海·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程两边同时除以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 3．（2025·上海宝山·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了正方形的性质． 设正方形的边长为，则，证明，则利用相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可得到答案．灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∴，即， 解得x， 即正方形的边长为． 故答案为：． 4．（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有 人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据总竿数相等列出方程，求出解即可. 【详解】解：设有牧童人，根据题意，得 ， 解得， 答：牧童有人． 故答案为：． 5．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 6．（2025·上海静安·二模）某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是 元． 【答案】150 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这件商品的原价是x元，利用售价原价，列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的原价是x元， 根据题意得：，解得：， ∴这件商品的原价是150元． 故答案为：150． 考点二 二元一次方程组 1．二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 2．二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 4．二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 5．二元一次方程组 （1）定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． （2）一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （3）解二元一次方程组方法：代入消元法与加减消元法 6．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 7．（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可． 【详解】解：A． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得 ，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意． 故选C． 8．（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及通过方程组的变形直接求代数式的值的能力．把两个方程相减可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：， 得，， ， 故选：B． 9．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个； ∵有个和尚， ∴； ∵有个馒头， ∴； 故答案为：； 考点三 一元二次方程 1．一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 4．解一元二次方程方法 方法1：直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 方法2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 方法3：公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 方法4：因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 10．（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，时不是一元二次方程，不符合题意； B．是分式方程，不符合题意； C．未知数最高次数是3次，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 11．（2025·上海宝山·二模）如果是一元二次方程的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入，进而可求出a的值． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为： 12．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 13．（2025·上海浦东新·三模）已知一元二次方程，下列判断正确的是（   ） A．该方程无实数解 B．该方程有两个相等的实数解 C．该方程有两个不相等的实数解 D．该方程解的情况不确定 【答案】C 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数解， 故选：． 14．（2025·上海青浦·二模）一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 故答案为：． 15．（2025·上海青浦·二模）某工厂今年三月份的产值是90万元，调整生产线后，计划五月份的产值要达到120万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设这个增长率为，那么四月份产值为，五月份产值为，然后根据五月份的产值要达到120万元，列出方程即可． 【详解】解：设这个增长率为，那么有 故答案为：． 16．（2025·上海松江·二模）某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 17．（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 考点六 分式方程 1．分式方程的定义 1. 概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 与整式方程的区别：核心判断依据是分母是否含未知数，整式方程的分母仅为常数。 2．分式方程的解法 核心：化分式方程为整式方程 3．增根 分式方程化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程分母为0的根。 4．可化为一元二次方程的分式方程 分母为一次式（或可因式分解为一次式的多项式），去分母后得到一元二次方程 18．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 19．（2025·上海嘉定·二模）下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解，分别计算四个方程的判别式，然后根据的意义进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； B、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； C、当，即时，方程没有实数根，不符合题意； D、∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故选：D． 20．（2025·上海金山·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．去分母后求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 化简得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的根， 原方程的根是． 21．（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 22．（2025·上海浦东新·三模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键；方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， ∴， 即， ， ， ，， 检验：时，，是原分式方程的解， 时，，不是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为：． 23．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 24．（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 【答案】(1) (2)180册 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据题意算出2024年购进新书总支出，2022年购进社会科学类图书支出，2024年购进社会科学类图书支出，根据占比的计算方法即可求解； （2）设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册，由此列分式方程求即可． 【详解】（1）解：2024年购进新书总支出：元， 2022年购进社会科学类图书支出：元， 2024年购进社会科学类图书支出：元， 2024年与2022年相比，社会科学类图书支出的增长率：； （2）解：2024年购进自然科学类图书支出：元， 设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册， 由题意得 ， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的根，但不符题意，应舍去， ∴， 答：2025年计划购入自然科学类图书180册． 考点七 无理方程 1.无理方程的概念 方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程，无理方程也可叫做根式方程. 2.无理方程的解法 基本思路：无理方程（去根号）→有理方程 25．（2025·上海浦东新·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ，， 经检验是原方程的增根，舍去， 原方程的根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 26．（2025·上海闵行·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解析：， ， ∴， 经检验是原方程增根，舍去； 所以原方程根为． 27．（2025·上海浦东新区模拟预测）方程的根为 ． 【答案】﹣2或﹣7 【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题． 【详解】两边平方得到：13+2=25， ∴=6， ∴（x+11）（2-x）=36， 解得x=-2或-7， 经检验x=-2或-7都是原方程的解． 故答案为-2或-7 【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程． 28．（2025·上海奉贤·三模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：方程两边平方，得， 解得， 经检验，为原方程的解， 故方程的解是， 故答案为：． 考点八 二元二次方程组 1.二元二次方程的概念 仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 提示：二元二次方程，必须满足三个条件:(1)必须是整式方程;(2)仅含有两个未知数;(3)含未知数的项的最高次数是 三个条件缺一不可. 2.二元二次方程的一般形式 关于x,y的二元二次方程的一般形式是:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a,b,c,d,e,f都是常数,且a,b,c中至少有一个不是零;当b为零时a与d以及c与e分别不全为零) 其中,ax2,bxy,cy2叫做这个方程的二次项,a,b,c分别叫做二次项系数;dx,ey叫做这个方程的一次项,d,e分别叫做一次项系数;f叫做这个方程的常数项 3.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解 4.二元二次方程组的概念 仅含有两个未知数,各方程是整式方程,并且含有未知数的项的最高次数是2,像这样的方程组叫做二元二次方程组 5.二元二次方程组的解 二元二次方程组中所含各方程的公共解,叫做二元二次方程组的解 【注意】 (1)二元二次方程组的解是一组未知数的取值;(2)这一组未知的取值应满足方程组中的每个方程 6.代入消元法解二元二次方程组 基本思想:消元 可以用代人消元法求解的二元二次方程组的特征：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组3.用代人消元法解二元二次方程组的一般步骤: （1）一变：二元二次方程组通过等式的基本性质把一次方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示 （2）二消：消去一个未知数得到一元方程 （3）三解：解这个一元方程，求得一个未知数的取值 （4）四回代，求得另一个未知数的取值 （5）五合写，写出原方程组的解 【易混易错提醒】 为方便代入，一般用含未知数的代数式去表示系数是-1或1的另一个未知数. 7.因式分解法解二元二次方程组 1.可用因式分解法求解的二元二次方程组的特征方程组中的一个方程或两个方程可用因式分解法转化为两个或四个一次方程 2.用因式分解法解二元二次方程组的一般步骤 29．（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查了解方程组，先将因式分解为或，再分别联立，解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， ∴或， 联立得， 解得， 联立得， 解得． 30．（2025·上海青浦·二模）解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了解二元二次方程组，变形组中的方程②代入①，得一元二次方程，求解得出一个未知数的值，再代入变形后的方程求得另一个未知数的值． 【详解】解：， 由②得，③， 把③代入①，得， 整理，得． 解得，， 将代入③，得； 将代入③，得． 所以，原方程组的解是，． 31．（2025·上海徐汇·二模）方程组的解是 . 【答案】或 【分析】本题考查解二元二次方程组，代入消元法．将方程组先转化为或，再进行求解即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴或， ∴或， ∴方程组的解为：或； 故答案为：或． 32．（2025·上海虹口·二模）解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组为或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 命题点一 一元二次方程根的判别式 ►题型01 根据一元二次方程根的情况求参数 核心方法：先确认方程为一元二次方程（二次项系数 ），再计算判别式 ，根据根的情况列不等式／等式求解。 运算要点：①定类型：先判断是否为一元二次方程（二次项系数 ，未明确时需讨论一次方程情况）；②算判别式：代入系数求 ；③列关系： 两不等实根， 两相等实根， 无实根；④解范围：结合条件确定参数取值。 易错提醒：①忽略＂二次项系数 ＂的前提，导致漏解；②判别式计算时系数、符号出错；③未考虑题目隐含条件（如根为正根、整数根等）。 【典例1】（2025·上海闵行·二模）已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系．若一元二次方程有两等根，则根的判别式，建立关于m的方程，求出m的取值． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴Δ=， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（2025·上海普陀·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确一元二次方程有两个相等的实数根时判别式． 根据，计算求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 由题意知 解得 故答案为：． 【变式1-2】（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根据一元二次方程根的情况求参数的方法． 方程有实数根，即根的判别式． 【详解】解：方程有实数根， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】（2025·上海奉贤·二模）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据方程有实根，可得，解不等式即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 解得． 故答案为：． 【变式1-4】（2025·上海徐汇·二模）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次方程根的判别式，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， 故答案为：． ►题型02 根据判别式判断一元二次方程根的情况 核心方法：先确认方程为一元二次方程（二次项系数 ），计算判别式 ，根据 的符号直接判断根的情况。 运算要点：①定类型：先判断是否为一元二次方程（二次项系数不为 0 ）；②算判别式：代入系数准确计算 ； ③判根况： 有两个不相等的实数根， 有两个相等的实数根， 无实数根。 易错提醒：①忽略＂二次项系数 ＂的前提；②判别式计算时符号、系数代入错误；③混淆＂无实数根＂与＂无解＂的表述。 【典例2】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式2-1】（2025·上海杨浦·二模）已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式2-2】（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率以及一元二次方程的性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果和得到的方程有两个相等的实数根的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴共可以得到36个不同形式的一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有：共2种， ∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为， 故答案为：． 命题点二 分式方程 ►题型01 解分式方程（化为一元二次） 核心方法：去分母转化为一元二次整式方程求解，最后检验增根。 运算要点：① 找最简公分母（注意分母不为0的隐含条件）；② 去分母：两边同乘最简公分母，将分式方程化为一元二次方程；③ 解一元二次方程；④ 检验：把整式方程的根代入最简公分母，若不为0则为原方程根，否则为增根。 易错提醒：① 去分母时漏乘不含分母的项；② 忘记检验增根；③ 解一元二次方程时符号、系数计算错误。 【典例2】（2025·上海崇明·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程（化为一元二次）的解法，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得，，， 经检验：是增根，舍去，是原方程的解， 所以原方程的解为：． 【变式2-1】（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 【变式2-2】（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 命题点三 无理方程 ►题型01 解无理方程 核心方法：通过平方消去根号，转化为整式方程求解，最后检验增根。 运算要点：① 移项：将含根号的项单独放在等式一侧；② 平方：两边同时平方，消去根号，转化为整式方程；③ 求解：解转化后的整式方程；④ 检验：把解代入原方程，验证等式是否成立，排除增根。 易错提醒：① 平方前未移项，导致平方后仍含根号；② 忘记检验增根；③ 平方时漏乘项或符号计算错误。 【典例3】（2025·上海浦东新·三模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，先将无理方程转化为一元一次方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解； 故答案为： 【变式3-1】（2025·上海模拟预测）方程的根是 ． 【答案】 【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案． 【详解】方程两边平方得： ∴， ∵ ∴ ∴不符合题意，故舍去 ∴原方程的根为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解． 【变式3-2】（2025·上海模拟预测）方程的解为 ． 【答案】3 【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可． 【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2 ∴x2﹣2x﹣3＝0， 解方程得：x1＝3，x2＝﹣1， 检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解， 当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解． 故答案为3． 【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则 【变式3-3】（2025·上海模拟预测）方程的解的是 ． 【答案】 【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求出x的值，然后进行检验. 【详解】两边平方得：x+1=9， 解得：x=8． 检验：x=8是方程的解． 故答案为x=8． 【点睛】本题考查的知识点是平方根的定义，解题的关键是熟练的掌握平方根. 命题点四 二元二次方程组 ►题型01 解二元二次方程组 核心方法：通过消元（代入消元为主）或降次（因式分解），将二元二次方程组转化为一元方程求解。 运算要点：① 定类型：若含二元一次方程，优先用代入消元法；若均为二次方程，尝试因式分解降次；② 转方程：代入或分解后得到一元一次/一元二次方程；③ 求解：解转化后的方程，回代求另一未知数；④ 组解集：组合所有解，写成方程组的解的形式。 易错提醒：① 代入消元时漏乘或符号错误；② 因式分解不彻底导致漏解；③ 忘记检验解是否满足原方程组。 【典例4】解方程组： 【答案】 【详解】x2-2xy-3y2="0" (x-y)2-4y2=0 又因：x-y=2代入上式 4-4y2=0 y=1或y=-1 再将y=1、y=-1分别代入x-y=2 则 x=1、x=3 ∴ 【变式4-1】（2025·上海金山·二模）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组的一般步骤是解题的关键．由②得③，把①代入③求出进而求出方程组的解． 【详解】解：， 由②得③， 把①代入③得：④， 联立①④， 解得：， 故答案为：． 突破一 分式方程的应用 【典例1】（2025·上海徐汇·二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（   ） A．2千米／小时 B．3千米／小时 C．4千米／小时 D．5千米／小时 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为千米/小时， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，是原方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：学生返回时步行的速度为3千米/小时． 故选：B． 【变式1-1】（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入 个红球． 【答案】2 【分析】本题主要考查了概率的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、根据概率公式列出分式方程是解题的关键． 设需往布袋里加入个红球．再根据题意列分式方程期间即可． 【详解】解：设需往布袋里加入个红球． 由题意可得：，解得：． 经检验，是分式方程的解． 答：需往布袋里加入2个红球． 故答案为2． 突破二 一元二次方程的实际应用 【典例2】（2025·上海普陀·一模）中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先画出图形，过点作于点，确定如果是等腰三角形，则只能是，设，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下：过点作于点，    ∵， ∴， ∵交边于点，交的延长线于点， ∴， ∴如果是等腰三角形，则只能是为顶角，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵在中，，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【变式2-1】（2025·上海青浦·一模）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，这是一道典型的增长率问题．根据某公司10月份的产值是120万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为，12月份的产值为万元，可以得到与的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 1.（2025·上海·二模）下列多项式中，是完全平方式的为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，故正确 B选项=，故错误 C选项=，故错误 D选项=，故错误 故选：A 【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化． 2.（2025·上海·二模）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键． 3.（2025·上海静安·一模）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． 先两边平方，化为整式方程，再求解，注意解无理方程与分式方程一样需要检验． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 4.（2025·上海·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键． 先两边同时平方化为整式方程求解，再检验是否有增根即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 5.（2025·上海·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法，熟练掌握解无理方程是解题的关键．方程两边平方得，再解这个一元二次方程，得或1，最后进行检验即可． 【详解】解：把方程两边平方，得， 整理，得， ， 解得或1， 经检验是增根，舍去，是原方程的解， 所以方程的解是． 故答案为：． 6.（2025·上海·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时． 根据一元二次方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 7.（2025·上海青浦·一模）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得． 故答案为：． 8．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1)，，且x为整数； (2)①25辆；②20分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 在中，当时，， ∴，且x为整数； （2）解：①在中，当时，， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②由题意得，， 解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 1．（2025·上海模拟预测）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 2．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程．先证明，推出，设，由勾股定理得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设，记和相交于点， ∵矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 3．（2025·上海杨浦·一模）如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先用含、的代数式表示出和，证明，得到，即，化简得，设，化简得到关于的一元二次方程，解出的值，即得到的值，再由，代入数据即可解答． 【详解】解：连接，如图： 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， 两边同除以得：， 令，则， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， ， 故答案为：． 4．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 3．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 则每块小平行四边形地砖的短边长为， 故选：B． 4．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 5．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 6．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第04讲 方程 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 一元二次方程根的判别式 题型01 根据一元二次方程根的情况求参数 题型02 根据判别式判断一元二次方程根的情况 命题点二 分式方程 题型01 解分式方程（化为一元二次） 命题点三 无理方程 题型01 解无理方程 命题点四 二元二次方程组 题型01解二元二次方程组 05·重难突破·思维进阶 19 突破一 分式方程的应用 突破二 一元二次方程的实际应用 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点类别 具体考点 考频 课标要求 一元一次方程 解法与实际应用 隐含考查（综合题基础） 掌握一元一次方程的解法，能结合实际情境列方程求解 二元一次方程组 解法（代入/加减消元）与实际应用 2023年（T21） 2024年（T21） 掌握代入消元法、加减消元法，能列方程组解决实际问题 分式方程 解法（去分母转化为整式方程）与增根检验 2023年（T9） 2024年（T9） 2025年（T9） 掌握分式方程的解法，能检验增根（分母为0的根），理解分式方程有意义的条件 一元二次方程 解法（配方法、公式法、因式分解法） 2023年（T17） 2024年（T17） 2025年（T17） 掌握配方法、公式法、因式分解法解方程，能运用判别式判断根的情况 根的判别式与根与系数的关系 2023年（T14） 2024年（T14） 理解根的判别式的意义，能判断根的个数；了解根与系数的关系（韦达定理）并简单应用 实际应用（增长率、面积问题） 2023年（T22） 2025年（T22） 能结合增长率、面积等实际情境列一元二次方程求解，并验证解的合理性 无理方程 解法（两边平方转化为整式方程）与验根 2024年（T10） 2025年（T10） 掌握无理方程的解法，通过两边平方转化为整式方程，能检验根是否满足被开方数非负的条件 二元二次方程组 解法（代入消元法，适合一个一次一个二次） 2023年（T18） 2024年（T18） 掌握代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，能准确消元求解 命题预测 2026 年上海中考方程模块命题将延续 “题型以选择、填空、计算、应用为主，考点聚焦分式方程解法与增根检验、一元二次方程解法与判别式、无理方程验根、二元二次方程组代入消元” 的特点，侧重运算规范性与实际问题转化能力，可能融入函数、不等式的综合应用，强调解的合理性验证与运算准确性 备考建议 备考时可围绕核心考点针对性练习：1. 熟练掌握各类方程（组）的解法，标注分式方程增根检验、无理方程被开方数非负、二元二次方程组消元步骤等易错点，训练 T9、T10、T14、T17、T18 类基础题；2. 按 “解法训练→实际应用” 分层刷题，总结 “设变量→找等量关系→列方程（组）→求解验证” 的应用流程；3. 规避分式方程漏检验、一元二次方程符号错误、无理方程忽略验根等陷阱，练习方程与函数、不等式的综合题；4. 整理近 3 年真题归纳命题规律，强化计算与应用题型的得分率 考点一 一元一次方程 1．方程的定义 含有未知数的等式叫方程． 两个要点：①等式；②含有未知数． 2．方程的解 方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． 3．等式的性质 性质1 等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2 等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 4．一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 5．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 6．解一元一次方程 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 注意：解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． 7．一元一次方程的应用 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 1．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 2．（2025·上海·模拟预测）已知，则 ． 3．（2025·上海宝山·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 ． 4．（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有 人． 5．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海静安·二模）某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是 元． 考点二 二元一次方程组 1．二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 2．二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 4．二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 5．二元一次方程组 （1）定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． （2）一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （3）解二元一次方程组方法：代入消元法与加减消元法 6．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 7．（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 8．（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 9．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ． 考点三 一元二次方程 1．一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 2．一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 4．解一元二次方程方法 方法1：直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 方法2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 方法3：公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 方法4：因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 10.（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 11.（2025·上海宝山·二模）如果是一元二次方程的解，那么 ． 12.（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 13.（2025·上海浦东新·三模）已知一元二次方程，下列判断正确的是（   ） A．该方程无实数解 B．该方程有两个相等的实数解 C．该方程有两个不相等的实数解 D．该方程解的情况不确定 14.（2025·上海青浦·二模）一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为 ． 15.（2025·上海青浦·二模）某工厂今年三月份的产值是90万元，调整生产线后，计划五月份的产值要达到120万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么依题意可列方程为 ． 16.（2025·上海松江·二模）某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 17.（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 考点六 分式方程 1．分式方程的定义 1. 概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 与整式方程的区别：核心判断依据是分母是否含未知数，整式方程的分母仅为常数。 2．分式方程的解法 核心：化分式方程为整式方程 3．增根 分式方程化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程分母为0的根。 4．可化为一元二次方程的分式方程 分母为一次式（或可因式分解为一次式的多项式），去分母后得到一元二次方程 18．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·上海嘉定·二模）下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 20．（2025·上海金山·二模）解方程：． 21．（2025·上海·中考真题）解方程：． 22．（2025·上海浦东新·三模）解方程：． 23．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 24．（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 考点七 无理方程 1.无理方程的概念 方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程，无理方程也可叫做根式方程. 2.无理方程的解法 基本思路：无理方程（去根号）→有理方程 25．（2025·上海浦东新·二模）方程的解是 ． 26．（2025·上海闵行·二模）方程的解是 ． 27．（2025·上海浦东新区模拟预测）方程的根为 ． 28．（2025·上海奉贤·三模）方程的解是 ． 考点八 二元二次方程组 1.二元二次方程的概念 仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 提示：二元二次方程，必须满足三个条件:(1)必须是整式方程;(2)仅含有两个未知数;(3)含未知数的项的最高次数是 三个条件缺一不可. 2.二元二次方程的一般形式 关于x,y的二元二次方程的一般形式是:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a,b,c,d,e,f都是常数,且a,b,c中至少有一个不是零;当b为零时a与d以及c与e分别不全为零) 其中,ax2,bxy,cy2叫做这个方程的二次项,a,b,c分别叫做二次项系数;dx,ey叫做这个方程的一次项,d,e分别叫做一次项系数;f叫做这个方程的常数项 3.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解 4.二元二次方程组的概念 仅含有两个未知数,各方程是整式方程,并且含有未知数的项的最高次数是2,像这样的方程组叫做二元二次方程组 5.二元二次方程组的解 二元二次方程组中所含各方程的公共解,叫做二元二次方程组的解 【注意】 (1)二元二次方程组的解是一组未知数的取值;(2)这一组未知的取值应满足方程组中的每个方程 6.代入消元法解二元二次方程组 基本思想:消元 可以用代人消元法求解的二元二次方程组的特征：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组3.用代人消元法解二元二次方程组的一般步骤: （1）一变：二元二次方程组通过等式的基本性质把一次方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示 （2）二消：消去一个未知数得到一元方程 （3）三解：解这个一元方程，求得一个未知数的取值 （4）四回代，求得另一个未知数的取值 （5）五合写，写出原方程组的解 【易混易错提醒】 为方便代入，一般用含未知数的代数式去表示系数是-1或1的另一个未知数. 7.因式分解法解二元二次方程组 1.可用因式分解法求解的二元二次方程组的特征方程组中的一个方程或两个方程可用因式分解法转化为两个或四个一次方程 2.用因式分解法解二元二次方程组的一般步骤 29．（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 30．（2025·上海青浦·二模）解方程组： 31．（2025·上海徐汇·二模）方程组的解是 . 32．（2025·上海虹口·二模）解方程组： 命题点一 一元二次方程根的判别式 ►题型01 根据一元二次方程根的情况求参数 核心方法：先确认方程为一元二次方程（二次项系数 ），再计算判别式 ，根据根的情况列不等式／等式求解。 运算要点：①定类型：先判断是否为一元二次方程（二次项系数 ，未明确时需讨论一次方程情况）；②算判别式：代入系数求 ；③列关系： 两不等实根， 两相等实根， 无实根；④解范围：结合条件确定参数取值。 易错提醒：①忽略＂二次项系数 ＂的前提，导致漏解；②判别式计算时系数、符号出错；③未考虑题目隐含条件（如根为正根、整数根等）。 【典例1】（2025·上海闵行·二模）已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 【变式1-1】（2025·上海普陀·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于 ． 【变式1-2】（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 ． 【变式1-3】（2025·上海奉贤·二模）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【变式1-4】（2025·上海徐汇·二模）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 ． ►题型02 根据判别式判断一元二次方程根的情况 核心方法：先确认方程为一元二次方程（二次项系数 ），计算判别式 ，根据 的符号直接判断根的情况。 运算要点：①定类型：先判断是否为一元二次方程（二次项系数不为 0 ）；②算判别式：代入系数准确计算 ； ③判根况： 有两个不相等的实数根， 有两个相等的实数根， 无实数根。 易错提醒：①忽略＂二次项系数 ＂的前提；②判别式计算时符号、系数代入错误；③混淆＂无实数根＂与＂无解＂的表述。 【典例2】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【变式2-1】（2025·上海杨浦·二模）已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【变式2-2】（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 ． 命题点二 分式方程 ►题型01 解分式方程（化为一元二次） 核心方法：去分母转化为一元二次整式方程求解，最后检验增根。 运算要点：① 找最简公分母（注意分母不为0的隐含条件）；② 去分母：两边同乘最简公分母，将分式方程化为一元二次方程；③ 解一元二次方程；④ 检验：把整式方程的根代入最简公分母，若不为0则为原方程根，否则为增根。 易错提醒：① 去分母时漏乘不含分母的项；② 忘记检验增根；③ 解一元二次方程时符号、系数计算错误。 【典例2】（2025·上海崇明·二模）解方程：． 【变式2-1】（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 【变式2-2】（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 命题点三 无理方程 ►题型01 解无理方程 核心方法：通过平方消去根号，转化为整式方程求解，最后检验增根。 运算要点：① 移项：将含根号的项单独放在等式一侧；② 平方：两边同时平方，消去根号，转化为整式方程；③ 求解：解转化后的整式方程；④ 检验：把解代入原方程，验证等式是否成立，排除增根。 易错提醒：① 平方前未移项，导致平方后仍含根号；② 忘记检验增根；③ 平方时漏乘项或符号计算错误。 【典例3】（2025·上海浦东新·三模）方程的解是 ． 【变式3-1】（2025·上海模拟预测）方程的根是 ． 【变式3-2】（2025·上海模拟预测）方程的解为 ． 【变式3-3】（2025·上海模拟预测）方程的解的是 ． 命题点四 二元二次方程组 ►题型01 解二元二次方程组 核心方法：通过消元（代入消元为主）或降次（因式分解），将二元二次方程组转化为一元方程求解。 运算要点：① 定类型：若含二元一次方程，优先用代入消元法；若均为二次方程，尝试因式分解降次；② 转方程：代入或分解后得到一元一次/一元二次方程；③ 求解：解转化后的方程，回代求另一未知数；④ 组解集：组合所有解，写成方程组的解的形式。 易错提醒：① 代入消元时漏乘或符号错误；② 因式分解不彻底导致漏解；③ 忘记检验解是否满足原方程组。 【典例4】解方程组： 【变式4-1】（2025·上海金山·二模）方程组的解为 ． 突破一 分式方程的应用 【典例1】（2025·上海徐汇·二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（   ） A．2千米／小时 B．3千米／小时 C．4千米／小时 D．5千米／小时 【变式1-1】（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入 个红球． 突破二 一元二次方程的实际应用 【典例2】（2025·上海普陀·一模）中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么 ．    【变式2-1】（2025·上海青浦·一模）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 ． 1.（2025·上海·二模）下列多项式中，是完全平方式的为（　　　） A． B． C． D． 2.（2025·上海·二模）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·上海静安·一模）方程的根是 ． 4.（2025·上海·二模）方程的解是 ． 5.（2025·上海·二模）方程的解是 ． 6.（2025·上海·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ． 7.（2025·上海青浦·一模）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 8．（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 1．（2025·上海模拟预测）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 2．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ． 3．（2025·上海杨浦·一模）如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么 ． 4．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 2．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 4．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ． 5．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 7．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $