圆锥曲线大题的类型与解法讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线大题，覆盖求直线方程、面积最值、定值证明等五种核心类型，按“问题特征-通解思路-典例解析-分层练习”逻辑架构，通过考点梳理、方法提炼、真题演练帮助学生构建解题框架，突破计算与推理难点。 讲义突出“类型化建模+程序化解题”特色，如用“设而不求”思想整合韦达定理与参数运算，通过典例变式培养数学思维与模型观念，设置基础巩固与能力提升练习，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

高考（或高三模拟）试卷中圆锥曲线大题 的类型与解法 圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的大题。从题型上看是排后分数较高的大题，难度为中，高档题型，一般的考生都能拿到一半的分数。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、设椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=。 （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 已知点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|.|AP|=3。 ①设P（m，n），求点R的坐标（用m，n表示）； ②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP斜率的3倍，求|PQ| 的最大值。（2025全国高考新高考I） 2、过点P（-1，0）祚直线l与抛物线C：=4x相交于A，B两点。 （1） 设O为坐标原点，求的值； （2） 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的方程； （3） 过点P祚直线（不同于直线l）与抛物线C相交于M，N两点，且直线AM与y轴相交于点Q，证明：PBN与QBN的面积相等。（成都市高2023级高三零诊） 3、已知椭圆C上的动点M（x，y）都满足关系式+=2a（a>1），且椭圆C与抛物线：=2px（p>0）有共同的焦点F，P是椭圆C与抛物线的应该公共点，|PF|=。 （1） 求抛物线的方程和椭圆C的标准方程； （2） 过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，交椭圆C于A，B两点，若|MF|.|NF|=2|AF| .|BF|，直线l的方程。（成都市高2023级高三二诊） 4、设椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MFx轴。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点P（4，0）的直线与C相交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明AQy轴（2024全国高考甲卷） 5、已知点A（0，3）和点P（3，）分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点。 （1）求椭圆C的离心率； （2）过点P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求直线l的方程（2024全国高考新高考I） 6、已知双曲线C：-=m（m＞0），点（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜n(n=2，3，---)，过斜率为k的直线与C的左支相交于点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为（，）。 （1） 若k=，求，； （2） 证明数列｛-｝是公比为的等比数列； （3） 设为的面积，证明对任意的正整数n，=（2024全国高考新 高考II） 7、已知抛物线C：=4x的焦点为F。 （1）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆与直线x=-1相切； （2）若直线：y=x+m交抛物线C于P，Q两点，当PQF的面积为2时，求直线的方程。（成都市高2021级高三二诊） 8、设抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于X轴时，|MF|=3。 （1）求抛物线C的方程； （2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线AB，MN的倾斜角分别为，，当-取得最大值时，求直线AB的方程（2022全国高考甲卷） 9、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。 10、在平面直角坐标系XOY中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, 记M的轨迹为C。 （1）求C的方程； （2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB| =|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。 11、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。 （1）求C，M的方程； （2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。 『思考问题1』 （1）【典例1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）； （2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果。 ［练习1］解答下列问题： 1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|。 （1）求椭圆C的方程； （2）设经过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，若APQ的面积是AMN的面积的2倍。求直线l的方程。 （2019成都市高三零诊） 2、已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。（2019成都市高三一诊） 3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆 C设位于X轴上方的两点，且M//N，记直线AM，BN的斜率分别为，，若3 +2=0，求直线M/的方程。（2019成都市高三二诊） 【典例2】解答下列问题： 1、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，长轴长为4。 （1） 求椭圆C的方程； （2）过点（0，-2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为，求|AB|。（2025全国高考新高考II） 2、如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线：=2py（p>0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且.=-3。 （1） 求p的值； （2） 已知点T（0，3），直线AT，BT与抛物线的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N，抛物线在C，D处的切线相交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G。 ①求证：点P为定点； ②记ENK，GNK的面积分别为，，求+的最小值（成都市高2022级高三三珍） 3、已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。 （1）求椭圆E的方程； （2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=（>0），求四边形AOBN面积的最小值及此时的值。（成都市高2021级高三零诊） 4、设抛物线C：=2px（p>0），直线x-2y+1=0与C相交于A，B两点，且|AB|=4。 （1）求p；（2023全国高考甲卷） （2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，.=0，求MNF面积的最小值。 5、在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W。 （1） 求W的方程； （2） 已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明矩形的周长大于3（2023全国高考新高考I） 6、已知椭圆E：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上。 （1）求椭圆E的方程； （2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P（-2，0），Q（2，0），若M，N分别为直线AP，BQ与Y轴的交点，MPQ，NPQ的面积分别为，求的值（成都市2020级高三零诊） 7、已知点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0。 （1）求直线l的斜率； （2）若tanPAQ=2，求PAQ的面积（2022全国高考新高考I卷） 8、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值（成都市2019级高三零诊）。 9、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。 （1）求椭圆C的方程； （2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求APQ面积的最大值。（成都市2019级高三二诊） 10、已知抛物线C：=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。 （1）求P； （2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值。 『思考问题2』 （1）【典例2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边形面积（或周长）的值（或取值范围或最值）； （2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。 ［练习2］解答下列问题： 1、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2。 （1）求椭圆C的方程； （2）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，求DEG的面积S的取值范围（2021成都市高三二诊）。 2、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0）， 且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P 关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。 3、已知椭圆C：+ =1（0<m<5）的离心率为，A，B分别为C的左，右顶点。 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。 4、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。 【典例3】解答下列问题： 1、已知，分别为椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线-=1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|P|=1（成都市高2020级高三二诊）。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线y=kx+1与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且=m（m>0），若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围。 2、设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=x。 （1）求双曲线C的方程； （2）过F的直线与C的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P（，），Q（，），在C上，且>>0，>0，过点P且斜率为-的直线与过点Q且斜率为的直线相交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立。①M在AB上；②PQ//AB，③|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分（2022全国高考新高考II卷） 3、已知抛物线C：=2px（p＞0，p4），过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点。 （1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为，，若+=0，求点B的坐标； （2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值（成都市2019级高三一诊） 4、已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。 （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围（2020成都市高三二诊）。 『思考问题3』 （1）【典例3】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值； （2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果。 ［练习3］解答下列问题： 1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。 ①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。 2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。 【典例4】解答下列问题： 1、已知椭圆C的离心率为，左，右焦点分别为（-1，0），（1，0）。 （1）求椭圆C的方程； （2）已知点（1，4），证明线段的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段M的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程。（成都市2022级高三一诊） 2、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，过点P（a，b）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，|AB|=。 （1）求椭圆C的方程； （2）线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之积为定值，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（2024全国高考乙卷） 3、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形，经过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8。 （1）求椭圆C的方程； （2）试探究：在x轴上是否存在定点T，使得.为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。（成都市2020级高三一诊） 4、在同一平面直角坐标系XOY中，圆+=4经过伸缩变换：=x，后得到曲线 =y，C。 （1）求曲线C的方程； （2）设直线l与曲线C相较于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相较于点D，且 |AD|=2，求ABD面积的最大值（2021成都市高三零诊）。 5、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记AOM，BOP的面积分别为，，求的取值范围（2021成都市高三一诊） 6、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-，0），（， 0），且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，及点P关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。 『思考问题4』 （1）【典例4】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）； （2）解答这类问题的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k（或m）的式子；⑤求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果。 1、已知椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且|CD| =|AB|（2020全国高考新课标II）。 （1）求的离心率； （2）设M是与的公共点，若|MF|=5，求与的标准方程。 2、已知抛物线C：=2px过点P（1，1），过点（0，）的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作X轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点。 （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点。 【典例5】解答下列问题： 1、已知双曲线C：-=1（a>0）的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F，过点F的直线与双曲线相交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为S，且直线AM，BS的斜率之积为-。（成都市高2021级高三二诊） （1）求双曲线C的标准方程； （2）直线BM，BN分别与直线x=1相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过定点，并求出定点的坐标。 2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（-2，0）在C上。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点（2023全国高考乙卷） 3、已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2，0），离心率为。 （1） 求C的方程； （2） 记C的左，右顶点分别为，，过点（-4，0）的直线与C的左支相交于M，N两点，M在第二象限，直线M与直线N相交于点P，证明：点P在定直线上。 4、已知斜率为的直线l与抛物线E：=4x相交于P，Q两点。 （1）求线段PQ中点纵坐标的值； （2）已知点T（，0），直线TP，TQ分别与抛物线E相交于M，N两点（异于P，Q），求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标（成都市高2020级高三三珍） 5、已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为X轴，Y轴，且过点A（0，-2），B（，-1）两点。 （1）求椭圆E的方程； （2）设过点P（1，-2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=，证明直线HN过定点（2022全国高考乙卷） 6、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，2），椭圆C的右顶点到抛物线E：=2px（p>0）的准线的距离为4。 （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若.=-4，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分MHN，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由（成都市2019级高三三珍） 7、已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为。 （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线+=相切，证明M，N，F三点共线的充分必要条件是|MN|= ，（2021全国高考新高考II卷）。 8、已知椭圆C：+=1的右焦点为F，过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与X轴相较于点H，过点A作ADl，垂足为D。 （1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标。（2020成都市高三一诊）。 『思考问题5』 （1）【典例5】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线过定点（或点在定直线上）； （2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数k（或m）的式子；⑤确定直线存在与参数k（或m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方程验证）；⑥得出问题的结果。 ［练习5］解答下列问题： 1、已知A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，.=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D。 （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点（2020全国高考新课标I）。 2、已知抛物线C：=2py经过点（2，-1）（2019全国高考北京）。 （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点。 高考（或高三模拟）试卷中圆锥曲线大题 的类型与解法 圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的大题。从题型上看是排后分数较高的大题，难度为中，高档题型，一般的考生都能拿到一半的分数。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、设椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|.|AP|=3。 ①设P（m，n），求点R的坐标（用m，n表示）； ②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP斜率的3倍，求|PQ|的最大值。（2025全国高考新高考I） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②直线斜率定义与性质；③椭圆离心率定义与性质；④三角函数最值定义与性质；⑤求椭圆标准方程的基本方法；⑥两点之间距离公式及运用；⑦求三角函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆和椭圆离心率的性质，运用椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的标准方程；（2）①根据椭圆的性质，运用两点之间的距离公式，结合问题条件就可求出点R的坐标关于m，n的表示式；②根据椭圆，直线斜率和三角函数最值的性质，运用两点之间的距离公式和求三角函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出|PQ|的最大值。 【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=，=①，=②，联立①②解之得：=9，=1，椭圆C的标准方程为+=1；（2）①设R（x，y），由（1）得A（0，-1），P（m，n），|AR|.=，|AP|.=，|AR|.|AP|=3， .=3③，点R在射线AP上，x=tm，y=tn（0<t<1）④，联立③④解之得：x=，y=，点R的坐标为 （，）；②设动点为Q（3cos，sin），P（m，n），由①知R的坐标为（，），=,=，直线OR的斜率为直线OP斜率的3倍，=，+=18，点P在以D（0，-4）为圆心，3为半径的圆上，|PQ|≤|PD|+|QD|≤3++|QD|,Q是C上的动点， |QD|=+=8cos+8sin+17=-8sin+8sin+25≤-8+8+25=27,|PQ|≤|PD|+|QD|≤3+|QD|≤3+3≤3（+），当且仅当动点为Q（，）时等号成立，|PQ|的最大值为3（+）。 2、过点P（-1，0）祚直线l与抛物线C：=4x相交于A，B两点。 （1）设O为坐标原点，求的值； （2）若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的方程； （3）过点P祚直线（不同于直线l）与抛物线C相交于M，N两点，且直线AM与y轴相交于点Q，证明：PBN与QBN的面积相等。（成都市高2023级高三零诊） 【解析】 【考点】①抛物线定义与性质；②直线方程定义与性质；③平面向量定义与性质；④平面向量数量积定义与性质；⑤圆定义与性质；⑥平面向量坐标运算的法则与基本方法；⑦求直线方程的基本方法；⑧弦长公式积运用；⑨三角形面积公式积运用。 【解题思路】（1）根据直线，抛物线，平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件就可求出的值；（2）根据圆的性质，运用弦长公式，结合问题条件得到关于m的方程，区间方程求出m的值就可求出直线l的方程；（3）根据直线和抛物线的性质，运用求直线方程的基本方法，弦长公式和三角形面积公式，结合问题条件求出点Q的坐标，从而得到PBN与QBN面积的表示式就可证明PBN与QBN的面积相等。 【详细解答】（1）设A（，），B（，），直线l过点P（-1，0），直线l的方程为x=my-1，联立直线l与抛物线C的方程得：-4my+4=0，+=4m，=4，+=m（+）-2=4-2，=-m（++1=1，=（，），=（，），=+=1+4=5；（2）设相等AB的中点为M（，）， ==2-1，|AB|=4，以线段AB为直径的圆与y轴相切，2-1=2，解之得：m=，直线l的方程为2xy+2=0；（3） 设M（，），N（，），Q（0，b），同理可得=4，直线BN的斜率为 k====，A，M，Q三点共线，（-b）=（-b），b=，直线PQ的斜率为==b=，k=，直线BN与直线PQ平行，PBN与QBN的面积相等。 3、已知椭圆C上的动点M（x，y）都满足关系式+=2a（a>1），且椭圆C与抛物线：=2px（p>0）有共同的焦点F，P是椭圆C与抛物线的应该公共点，|PF|=。 （1）求抛物线的方程和椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，交椭圆C于A，B两点，若|MF|.|NF|=2|AF| .|BF|，直线l的方程。（成都市高2022级高三二诊） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②抛物线定义与性质；③直线方程定义与性质；④求抛物线方程的基本方法；⑤求椭圆标准方程的基本方法；⑥设而不求，整体代入数学思想及运用；⑦两点之间的距离公式及运用 【解题思路】（1）根据抛物线和椭圆的性质，运用求抛物线方程和求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线的方程和椭圆C标准方程；（2）根据抛物线，椭圆和直线方程的性质，运用设而不求，整体代入数学思想和两点之间的距离公式，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值，从而就可求出直线l的方程。 【详细解答】（1）椭圆C上的动点M（x，y）都满足关系式+ =2a（a>1），椭圆C与抛物线：=2px（p>0）有共同的焦点F，c=1，F（1，0）， P=2，抛物线的方程为=4x；P是椭圆C与抛物线的应该公共点，|PF|=，+1 =，=，=，=-1①，+=1②，联立①②解之得：=4， =3，椭圆C的标准方程为+=1；（2）设M（，），N（，），A（，），B（，），直线l过点F，直线l的方程为x=my+1，联立直线l与抛物线和椭圆C的方程分别得：-4my-4=0，（4+3）+6my-9=0，=16+16 =16（1+）>0，且=36+36（4+3）=144（1+）>0恒成立，=-4，=-，|MF|=||，|NF|=||，|AF|=||，.|BF| =||，|MF|.|NF|=2|AF|.|BF|，（1+）||||=2（1+）||||，2 =，解之得：m=，直线l的方程为x-y-=0，或x+y-=0。 4、设椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MFx轴。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点P（4，0）的直线与C相交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明AQy轴（2024全国高考甲卷） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；④线段中点定义与性质；⑤平方差公式及运用；⑥两直线垂直充分必要条件及运用。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）设A（，），B（，），根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，得到关于，，，的等式，从而得到关于，的表示式，证明点Q的纵坐标等于，就可证明AQy轴。 【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MFx轴，c=1①，4+9=4②， =+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆C的方程为+=1；（2）设A（，），B（，）， =，-=4（-），（-）（+） =-=（4+）-（4+）=4（-）（+）=4（-）（+），+=+，2=5-3， P（4，0），F（1，0），N（，0），===,，AQy轴。 5、已知点A（0，3）和点P（3，）分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点。 (1)求椭圆C的离心率； (2)过点P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求直线l的方程（2024全国高考新高考I） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③两点之间的距离公式及运用；④三角形面积公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥两条直线平行的充分必要条件及运用。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据两点之间建立公式和三角形面积公式，结合问题条件得到点B到直线PA的距离，运用两条直线平行的充分必要条件和点到直线的距离公式，就可求出直线l的方程得。 【详细解答】（1）点A（0，3）和点P（3，）分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点，b=3①，36+9=4②，=+③，联立①②③解得：=12，=9，=3，椭圆C的离心率为e==；（2）|PA|==， =|PA|=9，=，直线PA的方程为x+2y-6=0，设过点B与直线PA平行的直线为x+2y+n=0，====，n=6，或n=-18，当n=-18时，联立直线PB与椭圆C的方程得：4-54y+234=0，显然此时过点B的直线与椭圆C没有公共点，与题意不符；当 n=6时，过点B的直线方程为x+2y+6=0与直线PA关于原点对称，B（0，-3），或B（-3，-），直线PB的方程为x-2y=0，或3x-2y-6=0，直线l的方程为为x-2y=0，或3x-2y-6=0。 6、已知双曲线C： -=m（m＞0），点（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜n(n=2，3，---)，过斜率为k的直线与C的左支相交于点，令为关于y轴的对称点， 记的坐标为（，）。 （1）若k=，求，； （2）证明数列｛-｝是公比为的等比数列； （3）设为的面积，证明对任意的正整数n，=（2024全国高考新 高考II） 【解析】 【考点】①双曲线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③等比数列定义与性质；④证明数列是等比数列的基本方法；⑤三角形面积公式及运用；⑥两条直线平行的充分必要条件及运用。 【解题思路】（1）根据双曲线的性质，结合问题条件求出m的值，从而得到双曲线C左顶点的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，得到的坐标，就可求出（，）；（2）根据等比数列的性质和已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别得出1+k，1-k的表示时，运用证明数列为等比数列的基本方法，就可证明数列｛-｝是公比为的等比数列；（3）根据三角形面积公式，由（2）得到两点之间建立公式和三角形面积公式，结合问题条件得到点B到直线PA的距离，运用两条直线平行的充分必要条件和点到直线的距离公式，就可求出直线l的方程得。 【详细解答】（1）点（5，4）在C上，m=25-16=9，双曲线C的左顶点为（-3，0），过点（-3，0）和（5，4）直线的斜率k==，（-3，0），为关于y轴的对称点，=(3,0), =3,=0；（2）k=，1+k =，1-k=， =， = ===1， =，数列｛-｝是公比为的等比数列；（3）= =|（-）（-）-（-）（+）|，k== ， 设t=，=k|（-）（+）-（-）（+）|=k|-| -=（-）==，+==，2=+， =（+），=k|-（+）（）|=k|( ++18)-( ++9+)|=k|18-()9+)|，只与k相关，与n无关，=。 7、已知抛物线C：=4x的焦点为F。 （1）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆与直线x=-1相切； （2）若直线：y=x+m交抛物线C于P，Q两点，当PQF的面积为2时，求直线的方程。（成都市高2021级高三二诊） 【解析】 【考点】①抛物线定义与性质；②判断直线与圆位置关系的基本方法；③点的轨迹方程定义与性质；④求点轨迹方程的基本方法；⑤设而不求，整体代入数学思想及运用；⑥弦长公式及运用；⑦点到直线的距离公式及运用；⑧三角形面积公式及运用。 【解题思路】（1）如图，分别过点A，B，作AC垂直直线x=-1于点C，BD垂直直线x=-1于点D，取AB的中点E，作EG垂直直线x=-1于点G，证明以AB为直径的圆与直线x=-1相切，只需证明EG=AB即可；（2）设P（，），Q（，），联立直线与抛物线C的方程，得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到+，.关于m的表示式，运用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式，结合问题条件得到关系m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线的方程。 【详细解答】（1）如图，分别过点A，B，作AC垂直 C y A 直线x=-1于点C，BD垂直直线x=-1于点D，取AB的中 G E 点E，作EG垂直直线x=-1于点G，=4x的焦点为F， D 0 B F x |FA|=|AC|，|FB|=|BD|，点E是AB的中点，EG=（|AC|+|BD|）=（|FA|+|FB|）|AB|， 即以AB为直径的圆与直线x=-1相切；（2）设P（，），Q（，），联立直线 与抛物线C的方程得：，直线AB过焦点（1，0），直线AB的方程为x=my+1，联立直线AB和椭圆C的方程得：+（2m-4）x+=0， +=4-2m，.=，|PQ|==4，=.=， =|PQ|=2|1+m|=2，P，Q是不同两点，.=16-16m.+4-4=16(1-m)>0， m<1，（+2m+1）(1-m)=1，解之得：m=0或m=，直线的方程的方程为x-y=0，或x-y+=0，或x-y-=0。 8、设抛物线C：=2px（p>0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3。 （1）求抛物线C的方程； （2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线AB，MN的倾斜角分别为，，当-取得最大值时，求直线AB的方程（2022全国高考甲卷） 【解析】 【考点】①抛物线定义与性质；②求抛物线方程的基本方法；③已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；④求直线方程的基本方法；⑤正切三角函数差角公式及运用。 【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用求抛物线方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线C的方程；（2）如图，设M（，），N（，），根据已知直线两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别表示出，，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。 【详细解答】（1）如图，当直线MD垂直于X轴时，点M为（p，p），在RtMDF中，|FD|=p，|DM|=p ，|FM|=3，|FD| y B +|DM|=|FM|，+2=9，p=2， M 抛物线C的方程为：=4x；（2）如图， 0 N F D x A 设M（，），N（，）， F（1，0），D（2，0），直线MN过点F，直线MN的方程为：x=my+1，联立直线MN和抛物 线C的方程得：-4my-4=0， +=4m，. =-4，=tan= ==①， 点A， D，M在直线AM上， =，=， =-，同理由点B，D，N在直线BN上可得=-，= tan= =-=-=，tan(-)===，当且仅当2m=，即m=-时，tan(-)=为最大值，此时-取得最大==-，+==8m=-4，. ==-16， 直线AB的方程为：y-=-（x-），即x+y-4=0。 9、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2（2021成都市高三三诊）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点M（-3，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点作直线l的垂线，垂足为N（点A，B在点M，N之间），若AM与BN面积相等，求直线l的方程。 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出椭圆C的方程；（2）设A（，），B（，），根据求直线方程的基本方法求出直线N的方程，从而得到点N的坐标，运用设而不求，整体代入的数学思想和两点之间的距离公式，得到|MN|关于参数m的表示式，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。 【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的四边形的面积为2，右焦点到直线x-y+2=0的距离为2，2ab=2①，== =2②，=+③，联立①②③解得：=5，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）（理）设A（，），B（，），直线l过点M（-3，0），直线l的方程为x=my-3，联立直线l和椭圆C的方程得：（+5）-6my+4=0，+=，.=，直线N的方程为y=-mx+2m，N（，），|MN| ==，==，= -=,|MN|. -|M|.||=|M|.||，. =（2+3）|+|=，5（+5）=6（+1），m=，直线l的方程为x=y-3或x=-y-3。 10、在平面直角坐标系xOy中，已知点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, 记M的轨迹为C。 （1）求C的方程； （2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|.|TB| =|TP|.|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。 【解析】 【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。 【解题思路】（1）根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件就可求出C的方程；（2）如图，设A（，），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，根据直线点斜式方程求出直线AB的方程，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，得到|TA|.|TB|关于，m的表示式，同理可得|TP|.|TQ|关于，m的表示式，联立两个表示式得到关于，的等式，求出，之间的关系就可求出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。 【详细解答】（1）点(-，0)，(，0)，点M满足|M|-|M|=2, a=1，c=，=-=17-1=16，C的方程为-=1（x1）；（2）如图，设A（， ），B（，），T（，m），直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，直线AB过点T（，m），斜率为，直线AB的方程为y=x-+m，联立直线AB和双曲线C的方程消去y得：（16-）+（-2m）x-+m--16=0，+ =，.=，|TA|.|TB|=（1+）（-）（-） =（1+）[-+]=-（1+）=（1+） ，同理可得|TP|.|TQ|=（1+），|TA|.|TB|=|TP|.|TQ|，（1+） =（1+），（1+）（）=（1+）（），=，， =-，+=0，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0。 11、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在X轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OPOQ，已知点M（2，0），M与l相切。 （1）求C，M的方程； （2）设，，是C上的三个点，直线，均与M相切，判断与M的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。 【解析】 【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线方程的基本方法；④求圆方程的基本方法；⑤已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑥判断直线与圆位置关系的基本方法。 【解题思路】（1）根据抛物线与圆的性质和求抛物线与圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线和圆的方程；（2）如图，设（，），（，），（，），根据直线，均与M相切，得到关于，，的等式，运用判断直线与圆位置关系的基本方法就可判断与M的位置关系。 【详细解答】（1）设抛物线的方程为 =2px（p>0），直线l：x=1交C于P，Q两点，P（1，），Q（1，-），=（1，），=（1，-）， OPOQ，.=1-2P=0，p=，抛物线C的方程为： =x，点M（2，0），M与l相切，M的方程为：+=1；如图，设（，），（，），（，），直线，的方程 y 分别为：x-y+ =0，x-y 0 + =0，直线，均与M相 切，=1，，，是方程（-1）+2x-+3=0 的两根，直线的方程为：x-(+)y+=0，点M到直线的距离 ====1，直线与M相切。 『思考问题1』 （1）【典例1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）； （2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果。 ［练习1］解答下列问题： 1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|= |BF|。（2019成都市高三零诊） （1）求椭圆C的方程； （2）设经过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，若APQ的面积是AMN的面积的2倍。求直线l的方程。 （答案：（1）椭圆C的方程为：+=1；（2）直线l的方程为：x-2y-1=0或x+2y-1=0。） 2、已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。（2019成都市高三一诊） （答案：（1）曲线C的方程是：+=1；（2）t的值是3。） 3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆 C设位于X轴上方的两点，且M//N，记直线AM，BN的斜率分别为，，若3 +2=0，求直线M/的方程。（2019成都市高三二诊） （答案：（1）椭圆C的标准方程是：+ =1；（2）直线M的方程是：y=2x+2。） 【典例2】解答下列问题： 1、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，长轴长为4。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点（0，-2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为，求|AB|。（2025全国高考新高考II） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②椭圆离心率定义与性质；③求椭圆方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥弦长公式及运用；⑦三角形面积公式及运用。 【解题思路】（1）根据椭圆和椭圆离心率的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据椭圆的性质，运用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式，结合问题条件，就可求出|AB|的值。 【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，长轴长为4， =①，2a=4②，联立①②解之得：a=2，b=,椭圆C的方程为+=1；（2）如图，设A（，），B（，），直线l过点（0，-2），直线l的方程为x=my+2m，联立直线l与椭圆C的方程得：（+2）+4y+4-4=0，+ =-，=，|AB|= =，AOB的面积为，==，|AB| ==，=0，解之得：=，|AB|= ==。 2、如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线：=2py（p>0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且.=-3。 （3） 求p的值； （4） 已知点T（0，3），直线AT，BT与抛物线的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N，抛物线在C，D处的切线相交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G。 ①求证：点P为定点； ②记ENK，GNK的面积分别为，，求+的最小值（成都市高2022级高三三珍） 【解析】 【考点】①抛物线定义与性质；②抛物线某点切线定义与性质；③直线方程定义与性质；④求抛物线方程的基本方法；⑤设而不求，整体代入数学思想及运用；⑥证明直线过定点的基本方法；⑦求曲线在某点处切线方程的基本方法；⑧三角形面积公式及运用。 【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用求抛物线方程的基本方法和设而不求，整体代入数学思想结合问题条件就可求出p的值；（2）①根据抛物线和直线方程的性质，运用设而不求，整体代入数学思想和证明直线过定点的基本方法，结合问题条件就可证明点P为定点；②根据抛物线，抛物线某点处切线和直线方程的性质，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法和三角形的面积公式，结合问题条件得到+关于参数的表示式，从而就可求出+的最小值。 【详细解答】（1）设A（，），B（，），F是抛物线：=2py（p>0）的焦点，直线AB过点F，直线AB的方程为y=kx+，联立直线AB与抛物线的方程得：-2pkx-=0,+=2pk,.=-,.=（-）=，=（，），=（，），.=.+.=-+=-=-3，解之得：p=2，或p=-2，p>0，p=2；（2）①证明：如图，设C（，），D（，），点T（0，3），直线AT的方程为y=mx+3，联立直线AT与抛物线的方程得：-4mx-12=0, .=-12，同理可得.=-12，.=-4,.=-36，直线CD的斜率存在，直线CD的方程为y=nx+b,联立直线CD与抛物线的方程得：-4mx-4b=0,.=-4b=-36， 解之得：b=9，当x=0时，y=b=9，直线CD交y轴于点P，P（0，9）是定点；② ===-3（+）=（+）=3k，直线CD的方程为y=3kx+9，联立直线CD与直线AB的方程解之得：x=-，y=-3，N（-，-3），抛物线的方程为y=， =，抛物线在点C处切线方程为y=（x-）+=x-，E（+，9），同理可得G（+，9），+++=+=0，EG的中点为P，联立切线y=x-与切线y=x-的方程解之得：K（，）， （5） +=3（+），.=-36，K（6k，-9），过点N作平行于x轴的直线，分别交直线PK于点H，H（4k，-3），+=2=|NH|.（-）=|-|.（-） =18|4k+|=72(|k|+)≥144=144,当且仅当|k|=1时，即直线AB的方程为y=x+1或y=-x+1时等号成立，求+的最小值为144。 3、已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4。 （1）求椭圆E的方程； （2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足=（>0），求四边形AOBN面积的最小值及此时的值（成都市高2021级高三零诊）。 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④平面向量坐标运算法则和基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥弦长公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧基本不等式及运用。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆E的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。 【详细解答】（1）椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，椭圆E上的点到其左，右焦点的距离之和为4， =①，2a=4②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆E的方程为：+=1；（2）设A（+，），B（，），由（1）知F（-1，0）， 直线l经过点F，直线l的方程 y ( M F O O )为x=my-1，联立直线l和椭圆E的方程得： A （4+3）-6my-9=0， M是AB的中点， N +=，=-，+ B =m(+)-2== ，M（，），=（，），=（>0），N（，），点N在椭圆E上，+=1，4+3=，|AB|= =，==.，=|PQ|=. =，=（>0），=4+3≥4，= ==≥≥，当且仅当=4，即=2时，等号成立， 四边形AOBN面积的最小值为，及此时的值为2。 4、设抛物线C：=2px（p>0），直线x-2y+1=0与C相交于A，B两点，且|AB|=4。 （1）求p；（2023全国高考甲卷） （2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，.=0，求MNF面积的最小值。 【解析】 【考点】①抛物线定义与性质；②设而不求，整体代入数学思想及运用；③弦长公式及运用；④平面向量数量积定义与性质；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用。 【解题思路】（1）根据抛物线的性质，运用设而不求，整体代入数学思想和弦长公式，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值；（2）如图，设M（，），N（，）， 直线MN的方程为x=my+n，联立抛物线C和直线MN的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到 +，.关于m， n的表示式，结合问题条件得到关于m，n的等式，从而求出n的取值范围，利用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式得到MNF面积关于n的表示式，由n的取值范围就可求出MNF面积的最小值。 【详细解答】（1）设A（，），B（，），联立抛物线C和直线方程得：-4py+2p=0，+=4p，.=2p，|AB|==2=4 ，2-p -6=0，p=2或p=-，p>0， p=2；（2）如图，设M（，），N（，）， 直线MN的方程为x=my+n，联立抛物线C与直线MN的方程得：-4my-4n=0， + =4m，.=-4n， +=m（+）+2n y M =4+2n，.=.+mn（+）+ =-4n + 4n+=，F（1，0）， 0 F x =（,-1，），=（,-1，）， N .=0，（,-1)（,-1）+=.-（+）+1+=-4-6n+1=0， 4（+n）=，M，N 是不同两点，=16+16n=16（+n）>0， +n>0， n1，且-6n+1=4≥0，n≥3+2或n≤3-2， = =，|MN|==4，=|MN| =2|1-n|=，当且仅当n=3-2时，= = 12-8为最小值，即MNF面积的最小值为12-8。 5、在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W。 （3） 求W的方程； （4） 已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明矩形的周长大于3（2023全国高考新高考I） 【解析】 【考点】①点轨迹方程定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③两点之间的距离公式及运用；④矩形定义与性质；⑤已知在直线上两点求直线斜率的基本方法；⑥设而不求，整体代入数学思想及运用；⑦矩形周长公式及运用。 【解题思路】（1）根据点轨迹方程的性质，运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出WD的方程；（2）设A（，+），B（，+），C（，+）在轨迹W上，根据直线方程的求法，求出直线AB的方程为y=k（x-)++，直线BC的方程为y=（x-)++，联立直线和W的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到 +，.关于k的表示式，利用两点之间的距离公式和矩形的周长公式，得到矩形ABCD周长关于k的表示式，由求函数值域的基本方法求出矩形ABCD周长的取值范围就可证明结论。 【详细解答】（1）设P（x，y），点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离， |y|=，y=+，W的方程为y=+；（2）设A（，+）， B（，+），C（，+）在轨迹W上，直线AB的方程为y=k（x-)++，直线BC的方程为y=（x-)++，联立直线AB和W的方程得：-kx+k-=0， A， B是不同两点，=-4（k-）>0，， +=k，.=k-，=k-，同理可得-，=-，矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|） =2|-|+2|-|=2|2-k|+2|2-|=2 （|2-k|+|2-|），设f() =（|2-k|+|2-|），k（0，1]，①当<-时，f()=-（+2）+k-在（-，-）上单调递减，f()>f(-)=k+；② 当-<<时，f()=-（-2）+k+在（-，）上单调递增，f()>f(-) =k+；③当>时，f()=-（+2）-k+在（，+）上单调递增，f()>f() >f(-)=k+，综上所述函数f()的最小值为k+，矩形ABCD的周长为2 f()>2（k+）k（0，1]，设g（x）=2（x+）x（0，1]，（x） =，令（x）=0解得：x=，当x（0，）时，（x）<0，当x（，1]时，（x）>0，函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，1]上单调递增， 函数g（x）的最小值为g（）=2（+）=3，矩形ABCD的周长大于3。 6、已知椭圆E：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上。 （1）求椭圆E的方程； （2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P（-2，0），Q（2，0），若M，N分别为直线AP，BQ与Y轴的交点，MPQ，NPQ的面积分别为，求的值（成都市2020级高三零诊） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦基本不等式及运用。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。 【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，OH=，点（1，）在椭圆,E上， =①，4+9=4②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆E的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），由（1）知（1，0）， ( O O )直线l经过点，直线l的方程为x=my+1，联立 y H A 直线l和椭圆E的方程得：（4+3）+6my-9=0， P Q x +=-，=-，m B =（+），=，直线AP的方程为y=(x+2)，令x=0，得y=，点M（0，），同理可得点N（0，-），|PQ|=2-（-2）=4， =|PQ|=，=|PQ|||=，== ====。 7、已知点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0。 （1）求直线l的斜率； （2）若tanPAQ=2，求PAQ的面积（2022全国高考新高考I卷） 【解析】 【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤三角形面积公式及运用。 【解题思路】（1）设P（，），Q（，），直线l的方程为y=kx+m，根据双曲线的性质和求双曲线方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值，从而得到双曲线的方程，联立直线l和双曲线C的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到+，.关于k，m的式子，由+ =0得到关于k，m的方程，求解方程就可求出直线l的斜率；（2）如图，设直线AP的倾斜角为，根据直线倾斜角与斜率的关系，结合问题条件得到直线AP的斜率，由点P在双曲线C上得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值，从而求出m，+，.的值，得到直线AP的方程，|AP|，|AQ|关于，的表示式，从而求出PAQ的面积。 【详细解答】（1）设P（，），Q（，），直线l的方程为y=kx+m，点A（2， 1）在双曲线C：-=1（a>1）上，4-4-=（-1），=2，双曲线C的方程为-=1，联立直线l和双曲线C的 P y A 方程得：（2-1）+4kmx+2+2=0， 0 x +=-，.=，+ Q =+= ==0，k+km+m+2-1 =(k+1)(m+2k-1)=0，直线l不过点A，k=-1； （2）如图，设直线AP的倾斜角为， tanPAQ=2， tan = ，2+PAQ=，==tan=①，点P（，）在双曲线C上，-=1②，联立①②解得：=，=，m=，+=，.=，直线AP的方程为y=(x-2)+1，点P（，(-2)+1），|AP|===|-2|，同理可得 |AQ|=|-2|，sinPAQ==，=3|.-2（+）+4|=|-+4|==，PAQ的面积为。 8、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值（成都市2019级高三零诊）。 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦基本不等式及运用。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点O到直线AB的距离关于参数k，m的式子，根据三角形的面积公式得到OAB面积关于参数k，m的表示式，运用基本不等式求出表示式的最值就可得到OAB面积的最大值。 【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为，，点P在椭圆C上，|P|=3，P=，且椭圆C的离心率为，4=4+-2（2a-3）①，e==②，=+③，联立①②③解得：=4，=3，椭圆C的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），联立直线l和椭圆C的方程得：（3+4）+8kmx+4-12=0，+=-， A y P ( O O )=，|AB|= x =， B ====22，当且仅当=，即 =2+，OAB的面积取得最大值。 9、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0）。 （1）求椭圆C的方程； （2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求APQ面积的最大值（成都市2019级高三二诊）。 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得到椭圆的方程；（2）设P（，），Q（，），根据求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线PQ的方程，联立直线PQ和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想和已知直线上两点，求直线斜率的基本方法，得到，关于，，，的表示式，从而得到关于n的方程，求解方程求出n的值，由椭圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出|PQ|，关于参数m的表示式，利用三角形的面积公式得到APQ面积关于参数m的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到APQ面积的最大值。 【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）经过点（，），其右顶点为A（2，0），a=2①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的方程为+=1；（2）设P（，），Q（，），直线PQ的方程为x=my+n，联立直线PQ和椭圆C的方程得：（+4）+2mny+-4=0， +=-，.=-，+=m(+)+4n==，.=.+ mn(+)+=，直线AP的斜率为==，直线BP的斜率为==，.======，n=-3，|PQ|=. =.，==，=|PQ|= ..=，令t=，t[0，+），==，当且仅当t=3时，==为最大值，APQ的面积最大值为。 10、已知抛物线C：=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。 （1）求P； （2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值。 【解析】 【考点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线切线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤抛物线弦长公式及运用；⑥点到直线的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧求函数最值的基本方法；⑨平面向量的定义与性质；⑩已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式及运用。 【解题思路】（1）根据抛物线和圆的性质，结合问题条件得到关于p的方程，求解方程就可求出p的值；（2）根据求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出切线PA，PB的方程，从而求出直线AB的方程，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想，弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|，点P到直线AB的距离关于点P横坐标的式子，根据三角形的面积公式得到PAB面积关于点P横坐标的函数，利用求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到PAB面积的最大值。【详细解答】（1）F（0，），F与圆M：+=1上点的距离的最小值为4，+3=4，p=2， p=2；（2）设A（，），B（，），P（，）， 由（1）知，=4y，切线PA，PB的方程分别为：y=x-, y=x-，切线PA，PB均过点P（，），=-，=-，直线AB的方程为y =x-+=x-，联立直线AB与抛物线C的方程消去y得：-2x+4 =0，+=2，.=4，+=1，|AB|== ，==，=|AB|= ==，-5-3，当且仅当=-5时，取得最大值=20，即PAB面积的最大值为20。 『思考问题2』 （1）【典例2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边形面积（或周长）的值（或取值范围或最值）； （2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。 ［练习2］解答下列问题： 1、已知椭圆C：+=1（a>b>0）经过点A（1，），其长半轴长为2。 （1）求椭圆C的方程； （2）设经过点B（-1，0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于X轴的对称点为F，直线DF与X轴相交于点G，求DEG的面积S的取值范围（2021成都市高三二诊）。（答案：（1）椭圆C的方程为+=1；（2）DEG的面积S的取值范围是（0，）。） 2、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0）， 且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P 关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。 （答案：（1）椭圆C的标准方程为+=1；（2）DPQ面积的最大值为。） 3、已知椭圆C：+ =1（0<m<5）的离心率为，A，B分别为C的左，右顶点。 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。 （答案：（1）椭圆C的方程为：+=1；（2）APQ的面积为。） 4、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。 （答案：（1）椭圆C的标准方程为：+=1；（2）AMN面积的最大值为18。） 【典例3】解答下列问题： 1、已知，分别为椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线-=1在第一象限与椭圆C相交于点P，且|P|=1（成都市高2020级高三二诊）。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线y=kx+1与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且=m（m>0），若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围。 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②双曲线第一与性质；③求椭圆标准方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤平行四边形定义与性质；⑥平面向量定义与性质；⑦平面向量坐标运算的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆和双曲线的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）设A（，），B（，），D（m，m），联立直线方程和椭圆C的方程得到关于x的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，根据平行四边形和平面向量的性质，求出点E的坐标，由点A，B，E在椭圆C上，得到关于，，，的等式，从而得到m关于kd的表示式，就可求出m的取值范围。 ( A O x )【详细解答】（1）如图，，分别为椭圆C： y P +=1（a>b>0）的左，右焦点，椭圆C与双曲 线-=1有相同焦点，-=4+1=5①，椭 B 圆C与双曲线在第一象限相交于点P，且|P|=1， |P|=4+1=5，2a=|P|+|P|=5+1=6②，联立①②解得：=9，=4，椭圆C的方程为+=1；（2）设A（，），B（，），D（m，m），联立直线和椭圆C的方程得：（9+4）+18kx-27=0， +=-，.=-，四边形OAED为平行四边形，=（m，m），=，E（+m，+m）， 点A，B，E在椭圆C上，m>0，4+9+18m=0，（9+4） +9k（+）+9+18m=0，-（9+4）-9k+9+18m=0，m=2- ， 1≤m<2，即若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，则m的取值范围是[1，2）。 2、设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=x。 （1）求双曲线C的方程； （2）过F的直线与C的两条渐近线分别相交于A，B两点，点P（，），Q（，），在C上，且>>0，>0，过点P且斜率为-的直线与过点Q且斜率为的直线相交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立。①M在AB上；②PQ//AB，③|MA|=|MB|。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分（2022全国高考新高考II卷） 【解析】 【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④已知直线上一点的坐标和斜率，求直线方程的基本方法；⑤两点之间距离公式及运用。 【解题思路】（1）根据双曲线的性质，运用求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到双曲线C方程；（2）设直线PQ的方程为x=my+n，选取①②为条件，根据直线AB过点F（2，0），得到直线AB的方程为x=my+2，分别联立直线AB和双曲线C的渐近线方程，求出A（，），B（，-），联立直线PQ和双曲线C的方程得到关于x的一元二次方程，由设而不求，整体代入数学思想得到+，.关于k，n的表示式，从而得到点M的轨迹方程，由点M在直线AB上得到证明点M是线段AB的中点，就可证明结论。 【详细解答】（1）双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=x，+=4①，=②，联立①②解得：=1，=3，双曲线C 的方程为-=1，（2）设直线PQ的方程为x=my+n，点M（，），选取①②为条件，直线AB过点F（2，0），PQ//AB，直线AB的方程为x=my+2，分别联立直线AB和双曲线C的渐近线方程解得：=，=，=，=-，A（，），B（，-），联立直线PQ与双曲线C的方程得：（3-1）+6mnx+3-3=0，+=-，.=，-==，=-，=， =-（）①，=（）②，①-②得：-=-2-（+）=m（-），=，①+②得：+-2= m（+）+2n-2=-（-），==3m，点M的轨迹为直线y=3mx，+=+==， +=-==，点M的坐标同时满足=m+2和=3m，=，=，点M是线段AB的中 点，|MA|=|MB|。 3、已知抛物线C：=2px（p＞0，p4），过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点。 （1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为，，若+=0，求点B的坐标； （2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求 的值（成都市2019级高三一诊） 【解析】 【考点】①抛物线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④弦长公式及运用；⑤两点之间距离公式及运用。 【解题思路】（1）根据抛物线的性质和已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件得到关于k，p的方程，求解方程就可求出点B的坐标；（2）设M（，），N（，），联立直线与抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，运用弦长公式和两点之间的距离公式得到关于k，p的等式，从而求出的值。 【详细解答】（1）设B（，0），P（，），Q（，），直线过点A（2，0）且斜率为k， 直线的方程为y=k(x-2)，联立直线和抛物线C的方程得：-y-4p=0，+=，.=-4p，=，=，+=0， +=-（+）=（-2-）=0，=-2，点B的坐标为（-2，0）；（2）设M（，），N（，），直线过抛物线C的焦点F，且与直线PQ的平行，直线的方程为y=k(x-)，联立直线和抛物线C的方程得：-y- =0，+ =，.=-，|MN|=.=，|AP|=||，|AQ|= ||，|AP|.|AQ|= |.|=，=.=。 4、已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。 （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围（2020成都市高三二诊）。 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥圆弦长公式及运用；⑦求函数值域的基本方法。 【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设A（，），B（，），根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到|AB|，|CD|关于参数m的式子，从而得到|AB|.|CD|关于参数m的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出|AB|.|CD|的取值范围。 【详细解答】（1）设P（，），椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|，=+1①，+=1②，. =-1③，2=a④，联立①②③④解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由 +=1，得：（2+ ）+2my-1=0，+=-， x=my+1，.=-，|AB|= .=，+=2，直线l：x=my+1(mR)与圆+=相较于C，D两点，==，|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|=.==8（2-），2-<2，48（2-）<16，即|AB|.|CD|的取值范围是[4，16）。 『思考问题3』 （1）【典例3】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值； （2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果。 ［练习3］解答下列问题： 1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（- ，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。 ①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。（答案：（1）椭圆E的标准方程为：+=1；（2）①提示：根据直线PA，PB斜率存在和不存在两种情况分别证明结论；②OAB面积的取值范围是[，1]。） 2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）点M，N在C上，且AM AN，AD MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。 （答案：（1）椭圆C的标准方程为：+=1；（2）存在点Q（，），使得|QD|=为定值。） 【典例4】解答下列问题： 1、已知椭圆C的离心率为，左，右焦点分别为（-1，0），（1，0）。 （1）求椭圆C的方程； （2）已知点（1，4），证明线段的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段M的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程。（成都市2022级高三一诊） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②线段垂直平分线定义与性质；③圆定义与性质；④求椭圆方程的基本方法；⑤判断直线与椭圆位置关系的基本方法；⑥求圆方程的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的方程；（2）根据椭圆和线段垂直平分线的性质，运用判断直线与椭圆位置关系的基本方法，结合问题条件就可证明线段的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点；（3）根据椭圆，圆和线段垂直平分线的性质，运用判断直线与椭圆位置关系和求圆方程的基本方法，结合问题条件就可证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程。 【详细解答】（1）由题意设椭圆C的方程为：=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为，左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），c=1①, =②，=+③，联立①②③解之得：=4，=3，椭圆C的方程为+=1；（2）证明：（-1， 0） ，（1，4），线段的垂直平分线的方程为x+2y-4=0，联立线段的垂直平分线方程与椭圆C的方程得：4-12y+9=0，=144-449=144-144=0，方程4 -12y+9=0有且仅有一个根，线段的垂直平分线与椭圆C恰有一个公共点；（3）证明： 设动点M（，），当=0时，线段M的垂直平分线方程为x==2，解之得：=5，或=-3；当0时，线段M的垂直平分线方程为y=-（x-）+ =-x+，联立线段M的垂直平分线与椭圆的方程得：3+4[ -x+]=12，--36 =0，线段M的垂直平分线与椭圆C有唯一公共点，= -4[3+][-12]=0，[3+]-4[3+]x+ -12=0，+（2-14）+-18-32-15=0，+（2-14）+（+3）（-5）=0，+（2-14）+（+2+1）（-2-15）=0，（++2+1）（+-2-15）=0，++2+1=+>0，+-2-15,=0，点（3，0），（-5，0）也能满足方程+-2-15,=0，综上所述，点M的轨迹是圆，且圆的方程为+-2x-15=0，+=16。 2、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，过点P（a，b）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，|AB|=。 （1）求椭圆C的方程； （2）线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之积为定值，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（2024全国高考乙卷）。 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②椭圆离心率定义与性质；③求椭圆方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；⑥解答探索性问题的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆和椭圆离心率的性质，运用求椭圆方程的基本方法和设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件，得到关于a的方程，求解方程求出a的值，从而求出b的值就可求出椭圆C的方程；（2）设在线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之积为定值，根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，运用求解探索问题的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可得出结果。 【详细解答】（（1）椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为， =，=，=，过点P（a，a）和坐标原点的直线l方程为y=x，联立直线l和椭圆C的方程得：2=，A（a，a），B（-a，-a），|AB|= =a=，=4，==1，椭圆C的方程为+=1；（2）如图，设在线段OP上存在定点Q（2，）， ( Q O x )使得直线QA与 直线QB的 斜率之积为定值，A（， y P ），B（，），由（1）知P（2，1），直线l过点P， A 直线l的方程为x=my+2-m，联立直线l与椭圆C 的 方程得：（+4）+2（2-m）y+-4m=0， B +=-， =，+=m（+）+4-2m=， =+（2-m）（+）+-4m+4=，=，=，.=.= =，当且仅当=即=时，.=恒成立，在线段OP上是否存在定点Q（1，），使得直线QA与 直线QB的 斜率之积等于为定值。 3、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形，经过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8。 （1）求椭圆C的方程； （2）试探究：在x轴上是否存在定点T，使得.为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。（成都市2020级高三一诊） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④向量数量积定义与性质；⑤向量坐标运算法则和基本方法；⑥弦长公式及运用；⑦点到直线距离公式及运用；⑧三角形面积公式及运用；⑨求函数最值的基本方法；⑩求直线方程的基本方法。。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆C的标准方程；（2）设A（，），B（，），在x轴存在定点T（，0），使得.为定值，联立直线AB与椭圆C的方程，得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到+，.关于m的表示式，从而得到+，.关于m的表示式，运用向量数量积的性质和向量坐标运算的法则与基本方法得到关于m，的表示式，求出，.=-为定值时，的值就可求出点T的坐标。 【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，上顶点为D，且D为等边三角形， a=2c，过焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AB的周长为8，4a=8，a=2，c=1，=-=4-1=3，椭圆C的方程为：+=1；（2）设A（，），B（，），在x轴存在定点T（，0），使得.为定值，直线AB过焦点（1，0），直线AB的方程为x=my+1，联立直线AB和椭圆C的方程得：（4+3）+6my-9=0， +=-，.=-，+=m（+）+2=，.=.m（+）+1=，=（-，），=（-，），.=.-（+）++. =-+-=+，当且仅当- =，即=时，.=-为定值，此时点T的坐标为（-，0）。 4、在同一平面直角坐标系XOY中，圆+=4经过伸缩变换：=x，后得到曲线 =y，C。 （1）求曲线C的方程； （2）设直线l与曲线C相较于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相较于点D，且 |AD|=2，求ABD面积的最大值（2021成都市高三零诊）。 【解析】 【考点】①伸缩变换的定义与性质；②椭圆的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）根据伸缩变换的性质，结合问题条件就可求出曲线C的方程；（2）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|AB|，点D到直线AB的距离关于参数k的式子，根据三角形的面积公式得到ABD面积关于参数k的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到ABD面积的最大值。 【详细解答】（1）伸缩变换：=x， x=，+4=4，曲线C的方程 ( O )=y， y=2，为+=1；（2）设A（，），B（，），直线l的方程为：x=my+n，联立 y A D 直线l和曲线C的方程消去x得：（+4） +2mny+-4=0，+=-，. B =，+=m（+）+2n=-+=，点D（-，-），|AD|====2， =，|AB|==， ==，点D与点B关于原点对称，=2=|AB|= ===，设t=，t[2， +），=2===，当且仅当t=，即t=2时， 取得最大值=2，ABD面积的最大值为2。 5、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记AOM，BOP的面积分别为，，求的取值范围（2021成都市高三一诊） 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥椭圆弦长公式及运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧求函数值域的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a,b,c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得到椭圆的方程；（2）设A（，），B（，），M（，）根据设而不求，整体代入的数学思想，点O在以AB为直径的圆上，得到关于参数m，n的等式，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法求出射线OM的方程，联立射线OM和椭圆C的方程求出点P的坐标，由两点之间的距离公式分别得到|OM|,|OP|关于参数m，n的表示式，利用三角形面积公式得到关于m的解析式，由求函数值域的基本方法求出的取值范围就可得到的取值范围。 【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线+=1与圆+=2相切，=①，=②，=+③，联立①②③解得：=6，=3，椭圆C的方程为+=1；（2）设A（，），B（，），M（，），直线l的方程为x=my+n，联立直线l和椭圆C的方程得：（+2）+2mny+-6=0，+=-，.=，+=m（+）+2n=+=，=，=-，M（，-），|OM|=，=（，），=（，），点O在以AB为直径的圆上，.=.+.=（1+）.+mn（+）+ =-+==0，=2+2，A，B是不同两点，=4-4（+2）（-6）=8（3-+6）>0，<3+4，=2+2满足条件，射线OM的方程为y=-x，联立射线OM和椭圆C的方程得：=，=，|OP|=，==|OA|.|OM|，==|OB|.|OP|，M为线段AB的中点，== 、==+22, 0<，1- <1，=<，即的取值范围是[，）。 6、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，及点P关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法；⑧求直线方程的基本方法。 【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）设P（，），Q（，），运用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|PQ|，点D到直线PQ的距离关于参数m的式子，根据三角形的面积公式得到DPQ面积关于参数m的函数，利用求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到DPQ面积的最大值。（文）利用设而不求，整体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线Q的方程，运用证明直线过定点的基本方法证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。 【详细解答】（1）c=，点A（，）在椭圆C上，=+3，且+=1， =4，=1，椭圆C的标准方程为+=1；（2）（理）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，且过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4（m0）， 联立直线l和椭圆C的方得：（+4）+8my+12=0，+=-，.=，|PQ|===， 点P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-=(x-)，令y=0得x=-= ===4+=4-3=1，点D（1，0）， ==，P，Q是不同的两点，=64-48（4+）=16-16 12>0，>12，=|PQ|.=. =，设t=，t（0，+），== =，当且仅当t=4，即m=2时，等号成立，DPQ面积的最大值为。 『思考问题4』 （1）【典例4】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）； （2）解答这类问题的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k（或m）的式子；⑤求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果。 1、已知椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且|CD| =|AB|（2020全国高考新课标II）。 （1）求的离心率； （2）设M是与的公共点，若|MF|=5，求与的标准方程。 （答案：（1）的离心率为；（2）椭圆的标准方程为：+=1，抛物线的标准方程为：=12x。） 2、已知抛物线C：=2px过点P（1，1），过点（0，）的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作X轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点。 （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点。 （答案：（1）抛物线C的标准方程为：=x，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为：x=-；（2）提示：求出线段AB的中点坐标就可证明结论。） 【典例5】解答下列问题： 1、已知双曲线C：-=1（a>0）的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F，过点F的直线与双曲线相交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为S，且直线AM，BS的斜率之积为-。（成都市高2021级高三二诊） （1）求双曲线C的标准方程； （2）直线BM，BN分别与直线x=1相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过定点，并求出定点的坐标。 【解析】 【考点】①双曲线定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③求双曲线标准方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤两点之间距离公式及运用；⑥圆定义与性质。 【解题思路】（1）设点M（，），S （，-），根据双曲线的性质，运用求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出双曲线C的标准方程；（2）设M（，），N（，）联立直线MN和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入的数学思想，结合问题条件求出点P，Q关于，，，，的坐标，从二求出以|PQ|为直径的圆的方程，利用对称性就可得到圆过定点，并求出定点的坐标。 【详细解答】（1）如图，设点M（，），S （，-）， y P A，B分别是双曲线C：-=1（a>0）的左，右 N M 顶点，A（-a，0），B（a，0），= ， A 0 B F x =，.=-，=①，点M（，）在双曲线C：-=1上，5-=5②，联立①②解得：=4，双曲线C的标准方程为-=1；（2）设N（，），F（3，0），B（2，0），直线MN过点F，直线MN的方程为x=my+3，联立直线MN和双曲线C的方程得：（5-4）+30my+25=0， +=-，.=，直线BM的方程为y=（x-2），当x=1时，y=-，P（1，-），同理可得Q（1，-），以|PQ|为直径的圆的方程为+（y+）（y+）=0，由对称性可知，定点一定在x轴上，令y=o，+=+=+=-，x=1-=-，或x=1+=，以|PQ|为直径的圆过定点（-，0），（，0）。 2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（-2，0）在C上。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点（2023全国高考乙卷） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出椭圆C的方程；（2）设P（，），Q（，），结合问题条件得到直线PQ的方程，联立直线PQ和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想得到+，关于m的表示式，运用已知直线上两点坐标求直线方程的基本方法，分别求出直线AP，AQ的方程，从而求出点M，N关于m的坐标表示式，利用线段中点坐标公式就可证明线段MN的中点为定点。 【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（-2，0）在C上，=①，0+=1②，=+③，联立①②③解得：=9，=4，椭圆C的方程为+=1；（2）设P（，），Q（，），直线PQ过点（-2，3），直线PQ的方程为x=my-(2+3m)，联立直线PQ和椭圆C的方程得：（4+9）-18m（2+3m）y+9（9+12m）=0，+=，=，A（-2，0）,直线AP的方程为：y=（x+2），令x=0得：y=，M（0，），同理可得N（0，），= ====3，线段MN中点坐标（0，3）为定点。 3、已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2，0），离心率为。 （1）求C的方程； （2）记C的左，右顶点分别为，，过点（-4，0）的直线与C的左支相交于M，N两点，M在第二象限，直线M与直线N相交于点P，证明：点P在定直线上。 【解析】 【考点】①双曲线定义与性质；②求双曲线方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线方程的基本方法。 【解题思路】（1）根据双曲线的性质，运用求双曲线方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可求出双曲线C的方程；（2）设P（，），Q（，），结合问题条件得到直线PQ的方程，联立直线PQ和椭圆C的方程得到关于y的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想得到+，关于m的表示式，运用已知直线上两点坐标求直线方程的基本方法，分别求出直线AP，AQ的方程，从而求出点M，N关于m的坐标表示式，利用线段中点坐标公式就可证明线段MN的中点为定点。 【详细解答】（1）由题意设双曲线C的方程为：-=1（a＞0，b＞0），双曲线C左焦点为（-2，0），离心率为,c=2①，=5②，=+③，联立①②③解得：=4，=16，双曲线C的方程为-=1；（2）如图，设M（，）， N（，），直线MN过点（-4，0），直线MN的方程为：x=my-4，联立直线MN 和双曲线C的方程得：（4-1）-32my+48=0，+=，=， （-2，0），（2，0），直线M，直线N的方程分别为y=（x+2），y=（x-2），联立两直线方程得：x===-1，点P在定直线x=-1上。 4、已知斜率为的直线l与抛物线E：=4x相交于P，Q两点（成都市高2020级高三三珍）。 （1）求线段PQ中点纵坐标的值； （2）已知点T（，0），直线TP，TQ分别与抛物线E相交于M，N两点（异于P，Q），求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标。 【解析】 【考点】①抛物线定义与性质；②线段中点定义与性质；③已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤求直线定点坐标的的基本方法。 【解题思路】（1）根据抛物线和线段中点的性质，结合问题条件，得到关于+的表示式，从而就可求出线段PQ中点纵坐标的值；（2）设在y轴上存在定点S（0，）,使直线MN恒过定点，M（，），N（，），根据求直线方程的基本方法，求出直线PM的方程，由点T（，0）在直线PM上，求出的值，同理可求出的值，从而得到关于，的等式，求出直线MN的方程，就可证明直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标。 【详细解答】（1）设P（，），Q（，），线段PQ的中点为（，），斜率为的直线l与抛物线E：=4x相交于P，Q两点，= =，+=，线段PQ中点纵坐标的值 y N ==；（2）如图，设M（，）， P N（，）， 点T（，0）， 0 Q T x =，直线PM的方程为y-=（x-）， M （）y-4x-=0， 点T（，0）在直线PM上，.=-4，同理可得：. =-4，= = = ， .=-3（+）， 直线MN的方程为（+）y-4x-.=0，（+）（y+3）-4x=0，当y=-3时，x=0，直线MN过定点（0，-3）。 5、已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为X轴，Y轴，且过点A（0，-2），B（，-1）两点。 （1）求椭圆E的方程； （2）设过点P（1，-2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=，证明直线HN过定点（2022全国高考乙卷） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；⑤证明直线过定点的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于C，D的方程组，求解方程组求出C，D的值就可得到椭圆E的方程；（2）设M（，），N（，），H（，），直线MN的方程为x=my+1+2m，联立直线MN和椭圆E的方程消去x得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到+，.关于m的式子，根据过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点T，求出点T的坐标，由=求出点H的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法求出直线HN的方程，利用证明直线过定点的基本方法就可证明直线HN过定点。 【详细解答】（1）设椭圆E的方程为C+D=1（C>0，D>0），椭圆E过点A（0，-2）， B（，-1）两点，0+4D=1①，C+D=1②，联立①②解得：C=，D=，椭圆E的方程为+=1；（2）设M（，），N（，），H（，），直线MN过点P（1，-2），直线MN的方程为x=my+1+2m，联立直线MN和椭圆E的方程得：（3+4）+8m（1+2m）y+16+16m-8=0，+=-，. =，+=m（+）+2+4m=-+ =，+=2m.+(1+2m)（+）= -=，直线AB的方程为2x-3y-6=0，M且平行于X轴的直线为y=，点T（+3，），=（+3-，0），=(--3，-），=，--3=+3-， -=0，=3-+6-，=，点H（3+6-，），=，直线HN的方程为y-= (x-)，当x=0时，y=- == ==-2， 直线HN过定点（0，-2）。 6、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，2），椭圆C的右顶点到抛物线E：=2px（p>0）的准线的距离为4。 （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若.=-4，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分MHN，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由（成都市2019级高三三珍） 【解析】 【考点】①椭圆定义与性质；②抛物线定义与性质；③求椭圆和抛物线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥角平分线定义与性质；⑦求解探索性问题的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆和抛物线的性质，运用求椭圆和抛物线方程的基本方法，结合问题条件求出，，p的值，就可求出椭圆C和抛物线E的方程；（2）设A（，），B（，），M（，），N（，），在X轴上是否存在点H，使得X轴平分MHN，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到.关于参数k，m的表示式，利用点到直线的距离公式和三角形面积公式得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。 【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，2）， =①，+=1②，=+③，联立①②③解得：=12，=9，椭圆C的方程为+=1，椭圆C的右顶点为（3，0），3+=4，=1，p=2，抛 ( 0 B )物线E的方程为=4x；（2）如图，设A（，），B（，），M（，），N（，），在X轴上是否存在点H（n，0），使得， y M A X轴平分MHN直线l的方程为y=kx+m(k 0)，联立直 线l和抛物线E的方程得：+(2km-4)x+ =0， M +=，.=，.= H x .+km（+）+ = N =，=（，），=（，），.=.+.=+ ==-4，+4km+4==0，m=-2k，直线l的方程为y=kx-2k(k 0)，.联立直线l和椭圆C的方程得：（3+4）-12x+12-36=0，+=， .=，=，=，X轴平分MHN，+= +== ==0，-9+2n=0，解之得：n=，在X轴上存在点H（，0），使得X轴平分MHN。 7、已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为。 （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线+=相切，证明M，N，F三点共线的充分必要条件是|MN|= ，（2021全国高考新高考II卷）。 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③圆的定义与性质；④设而不求， 整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥证明三点共线的基本方法。 【解题思路】（1）根据椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b 的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得到椭圆C的方程；（2）设M（，），N（，），①必要性，设M，N，F三点共线，直线MN的方程为x=my+，联立直线MN和椭圆C的方程消去x得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到|MN|关于m的式子，从而证明|MN|= ；②充分性，设|MN|= ，直线MN的方程为x=my+n,联立直线MN和椭圆C的方程消去x得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想得到|MN|关于m的式子，从而得到关于m，n的等式，求出直线MN含参数m的解析式，证明点F在直线上就可得出结论。 【详细解答】（1）椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），右焦点为F（，0）， 且离心率为，=，a=，=-=3-2=1，椭圆C的方程为+=1；（2）如图，设M（，），N（，）， y ( F O F ) ( o )①必要性，设M，N，F三点共线，直线MN M 的方程为x=my+，联立直线MN和椭圆C的 x 方程得：（+3）+2my-1=0，+ N =-，.=-，===1，|MN|= ==；②充分性，设|MN|= ，直线MN的方程为x=my+n, 联立直线MN和椭圆C的方程得：（+3）+2mny+ -3=0，+ =-，.=，===1，|MN|= ===,m=1，n=，直线MN的方程为x=y+，或x=-y-，当y=0时， x=，直线MN过点F(，0)， M，N，F三点共线， M，N，F三点共线的 充分必要条件是|MN|= 。 8、已知椭圆C：+=1的右焦点为F，过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C 相交于A，B两点，直线l：x=2与X轴相较于点H，过点A作ADl，垂足为D。 （1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标（2020成都市高三一诊）。 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②四边形面积的定义与求法；③函数值域的定义与求法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤直线过定点证明的基本方法。 【解题思路】（1）运用设而不求，整体代入数学思想的基本方法把弦长|AB|表示 成关于参 数m的式子，从而把四边形OAHB的面积表示成关于参数m的式子，利用求函数值域的基本方法就可求出四边形OAHB面积的取值范围；（2）运用求直线方程的基本方法求出直线BD的方程，结合证明直线过定点的基本方法证明直线BD过定点并求出定点E的坐标。 ( O F )【详细解答】（1）如图，设A（，），B（，），H（，0），H是直线l：x=2与X轴的交点，=2，H（2，0），直线AB过点F(1，0)，直线AB的方程为 x=my+1(mR)， 由 y B l x=my+1， （+2）+2my-1=0，+ H x + =1， = -，.=-， A D |AB|= |.|==，= =，==，=|AB|(+)= (+)=，设t=，t[1，+），== =，>0，0<，即：四边形OAHB面积的取值范围是（0，]；（2）AD直线l于点D，D（2，），B（，），=， 直线BD的方程为：y-=(x-2)，y=(x-2)+ ，令y=0，x= - +2===，由（1）知+= -，.=-，+=2m.，x== =，直线BD过定点E（，0）。 『思考问题5』 （1）【典例5】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线过定点（或点在定直线上）； （2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数k（或m）的式子；⑤确定直线存在与参数k（或m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方程验证）；⑥得出问题的结果。 ［练习5］解答下列问题： 1、已知A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，.=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D。 （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点（2020全国高考新课标I）。 (答案：（1）椭圆E的标准方程为：+=1；（2）直线CD过定点（，0）。) 2、已知抛物线C：=2py经过点（2，-1）（2019全国高考北京）。 （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点。 （答案：（1）抛物线C的标准方程为：=-4y，其准线方程为：y=1；（2）以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点（0，1）和 （0，-3）。） 学科网（北京）股份有限公司 $