精品解析：河南省郑州高新区第二实验中学2025-2026学年上学期12月份月考七年级数学试卷

河南省郑州高新区第二实验中学2025-26学年上学期12月份月考七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是( ) A. B. C. D. 2. 下列图形中，能折成棱柱的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图,将一块三角形木板截去一部分后,发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大,能正确解释这一现象的数学知识是( ) A. 两直线相交只有一个交点 B. 两点确定一条直线 C. 经过一点有无数条直线 D. 两点之间,线段最短 5. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班观看电影《731》的情况 B. 调查某市垃圾分类的情况 C. 调查某种西瓜的甜度情况 D. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 7. 如图，学校在点的北偏东方向上，图书馆在点的南偏东方向上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（ ） A. 1 B. 4 C. 16 D. 64 9. 整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑩个图中棋子的颗数是（ ） A. 84 B. 99 C. 103 D. 122 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，将这个平面展开图重新折叠成一个正方体后，“志”字对面的字是________． 12. 某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对1000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为24000人，其中有约________人选择出租车． 13. 若，则_____ ． 14. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果设绳索长为x尺，则列一元一次方程是______． 15. 如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则_______． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校开展“校园安全与我同行”线上自主学习活动．一周后，为了解学生自主学习校园安全知识的时长，随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据进行整理，并绘制成如图所示的统计图信息不完整，每组包含最小值，不含最大值 （1）样本容量为______； （2）补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中自主学习时长为所对应的圆心角的度数； （4）若该校共有2000名学生，学校要求自主学习时长小于1小时的学生都要参加校园安全宣讲会，承办宣讲会的阶梯教室最多可容纳150人，求最少需要举办几场宣讲会． 18. 已知，． （1）化简； （2）当，，求的值； 19. 如图，射线在的内部． （1）尺规作图：在的内部作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 20. 某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共700只，若购进700只灯的进货款恰好为20000元，这两种节能灯的进价、预售价如下表： 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）超市按预售价将购进的甲型节能灯全部售出，购进的乙型节能灯部分售出后，决定将乙型节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获利3100元，求乙型节能灯按预售价售出的数量是多少？ 21. 若一个两位数的十位和个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，类似的，一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为，和，则这个三位数可记为． （1）若，则 ；若，则 ； （2）试探究一定能被哪个大于1 的整数整除，写出结论并说明理由； （3）老师提出：末两位是25的任何数都能被25整除．你知道为什么吗？请解释其中的道理． 22. 已知射线是内部的一条射线，若射线与射线的夹角，则我们称射线是射线的“双语线”． 例如，如图，、，则，称射线是射线的“双语线”，同时，由于，称射线是射线的双语线． 【知识运用】 （1）如图，，射线是射线的双语线，则 ； （2）如图，．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止； 是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； 当为多少秒时，射线中有一条射线是另一条射线的双语线？（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州高新区第二实验中学2025-26学年上学期12月份月考七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，一个非零数的倒数是指与该数相乘等于1的数． 【详解】解：的倒数为． 故选：B． 2. 下列图形中，能折成棱柱的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据棱柱展开图的形状，可得答案． 【详解】解：第1个图能折成圆柱，第2个图能折成四棱柱，第3个图能折成五棱柱，第4个图能折成圆锥，第5个图能折成三棱柱，第6个图不能折成立体图形． 故选：C． 3. 已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是理解并掌握等式的基本性质．等式的性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式的性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．根据等式的基本性质作出判断即可． 【详解】解：A．在等式的两边同时减去，所得的结果仍是等式，即，故本选项不符合题意． B．如果，则没有意义，故本选项符合题意； C．在等式的两边同时乘以，所得的结果仍是等式，即，故本选项不符合题意； D.在等式的两边同时乘以，所得的结果仍是等式，即，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图,将一块三角形木板截去一部分后,发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大,能正确解释这一现象的数学知识是( ) A. 两直线相交只有一个交点 B. 两点确定一条直线 C. 经过一点有无数条直线 D. 两点之间,线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案． 【详解】将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短， 故选D． 【点评】本题主要考查了线段的性质，正确把握线段的性质是解题关键． 5. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，正确确定a与n的值是关键． 【详解】解：150亿用科学记数法表示为； 故选：C． 6. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班观看电影《731》的情况 B. 调查某市垃圾分类的情况 C. 调查某种西瓜的甜度情况 D. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全面调查、抽样调查的识别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A． 调查全班观看电影《731》的情况，采用全面调查． B． 调查某市垃圾分类的情况，采用抽样调查． C． 调查某种西瓜的甜度情况，采用抽样调查． D． 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，采用抽样调查． 故选：A． 7. 如图，学校在点的北偏东方向上，图书馆在点的南偏东方向上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方向角，方向角是表示方向的角，以正北，正南方向为基准来描述物体所处的方向，熟练掌握方向角的描述是解题的关键．结合图形直接计算即可． 【详解】解：由图可知． 故选A． 8. 如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（ ） A. 1 B. 4 C. 16 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了运算流程图与代数式求值，数字类规律探索，根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， 第2025次输出的结果是4， 故选：B 9. 整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设先安排x人工作，则x人工作2小时完成的工作量为： 再增加3人和他们一起做4小时，完成的工作量为： 利用两部分工作量之和等于1，从而可得答案. 【详解】解：设先安排x人工作，则 故选D 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“工程问题中，各部分的工作量之和等于1”列方程是解本题的关键. 10. 将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑩个图中棋子的颗数是（ ） A. 84 B. 99 C. 103 D. 122 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索问题，根据图形得出规律为：第个图中，棋子数量为：，当时，代入即可求解，观察图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图中，棋子数量为：， 第②个图中，棋子数量为：， 第③个图中，棋子数量为：， 第个图中，棋子数量为：， 当时，， 故选C． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，将这个平面展开图重新折叠成一个正方体后，“志”字对面的字是________． 【答案】成 【解析】 【分析】本题考查的知识点是正方体相对两个面上的文字，解题关键是熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“志”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：根据正方体的表面展开图找相对面的方法可得： “有”和“事”是相对面，“者”和“竟”是相对面，“志”和“成”是相对面． 故答案为：成． 12. 某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对1000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为24000人，其中有约________人选择出租车． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据扇形统计图求出样本中乘坐出租车离开的人数所占的比例，再用总人数乘以这个比例，进行计算即可． 本题考查了扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：根据题意，出租车占比为：， 故客流约为24000人，其中有约（人）选择出租车， 故答案为：2400． 13. 若，则_____ ． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，绝对值和平方的非负性，根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，从而求出x和y的值，再代入计算x的y次方． 【详解】解：因为且，且， 所以，， 解得，， 所以． 故答案为：25． 14. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果设绳索长为x尺，则列一元一次方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设绳索长x尺，则竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设绳索长x尺，则竿长尺， 依题意，得：， 故答案为：． 15. 如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出A点对应的数为，B点对应的数是5，设经过t秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴A点对应的数为，B点对应的数是5， 经过t秒后，A点对应的数为，B点对应的数为，P点对应的数为 ,则，，， ①当时， ， ， 当，即时，的值在某段时间内不随t的变化而变化； ②当时，， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着t的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随t着的变化而变化． 故答案为：或． 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算与解一元一次方程． （1）根据有理数的混合运算、含乘法分配律的简便运算计算即可． （2）利用解一元一次方程的步骤计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 17. 某校开展“校园安全与我同行”线上自主学习活动．一周后，为了解学生自主学习校园安全知识的时长，随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据进行整理，并绘制成如图所示的统计图信息不完整，每组包含最小值，不含最大值 （1）样本容量为______； （2）补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中自主学习时长为所对应的圆心角的度数； （4）若该校共有2000名学生，学校要求自主学习时长小于1小时的学生都要参加校园安全宣讲会，承办宣讲会的阶梯教室最多可容纳150人，求最少需要举办几场宣讲会． 【答案】（1）200 （2） 补全图形如下： （3） （4）最少需要举办3场宣讲会 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． （1）由的人数及其所占百分比可得样本容量； （2）样本容量乘人数对应百分比可得其人数，据此可补全图形； （3）用乘人数所占比例即可得出答案； （4）总人数乘学习时长小于1小时的学生人数所占比例求出其人数，据此进一步求解即可． 【小问1详解】 解：样本容量为， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：， 答：扇形统计图中自主学习时长为所对应的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）， （场）， 答：最少需要举办3场宣讲会． 18. 已知，． （1）化简； （2）当，，求的值； 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减的化简求值， 对于（1），先去括号，再根据整式加减法法则计算； 对于（2），先将整式化成的形式，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵， ∴原式 ． 19. 如图，射线在的内部． （1）尺规作图：在的内部作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，角度的和差计算； （1）按照尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）由即可推出，于是可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 20. 某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共700只，若购进700只灯的进货款恰好为20000元，这两种节能灯的进价、预售价如下表： 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）超市按预售价将购进的甲型节能灯全部售出，购进的乙型节能灯部分售出后，决定将乙型节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获利3100元，求乙型节能灯按预售价售出的数量是多少？ 【答案】（1）甲种型号的节能灯300只，乙种型号的节能灯400只；（2）300只 【解析】 【分析】（1）设可以购进甲种型号的节能灯x只，根据“购进700只灯的进货款恰好为20000元”列方程求解即可； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，根据“两种节能灯共获利3100元” 列方程求解即可； 【详解】解：（1）设可以购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯()只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：可以购进甲种型号的节能灯300只，可以购进乙种型号的节能灯400只； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由题意可得： ， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是300只． 【点睛】本题考查是一元一次方程的实际应用，属于销售问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确表示出利润，找出合适的等量关系，列出方程，继而求解． 21. 若一个两位数的十位和个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，类似的，一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为，和，则这个三位数可记为． （1）若，则 ；若，则 ； （2）试探究一定能被哪个大于1 的整数整除，写出结论并说明理由； （3）老师提出：末两位是25的任何数都能被25整除．你知道为什么吗？请解释其中的道理． 【答案】（1）67；； （2）能被11整除， 理由如下： ， ∴能被11整除； （3） 由一个数末两位为25，设其他位数为，则这个数可表示为， ∵，且为整数， ∴能被25整除， ∴末两位是25的任何数均能被25整除． 【解析】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用，数的整除，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）依据题意直接得解； （2）由，即可得解； （3）设一个数末两位为，其他位数为，则这个数可表示为，能被25整除，也能被25整除，即可得解． 【小问1详解】 解：当时， ； 当时， ； 故答案为：67；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 已知射线是内部的一条射线，若射线与射线的夹角，则我们称射线是射线的“双语线”． 例如，如图，、，则，称射线是射线的“双语线”，同时，由于，称射线是射线的双语线． 【知识运用】 （1）如图，，射线是射线的双语线，则 ； （2）如图，．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止； 是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； 当为多少秒时，射线中有一条射线是另一条射线的双语线？（直接写出答案） 【答案】（1）； （2）当为秒或秒时，的度数为；当或或或或或或时，射线中有一条射线是另一条射线的双语线. 【解析】 【分析】本题考查了角的运算，角的动态定义，一元一次方程的应用，理解新定义的概念，结合分类讨论思想解题的关键． （）根据双语线的定义即可求解； （）分相遇前与相遇后两种情况讨论，列方程求解即可； 分与相遇前，是的双语线或是的双语线或是的双语线，以及与相遇后，是的双语线或是的双语线或是的双语线，几种情况分类讨论，列出方程求解即可. 【小问1详解】 解：∵射线是射线的双语线， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，且当射线与射线重合时，运动停止，得运动时间为(秒)， 在相遇前， 依题意得， 解得； 在相遇后， 依题意得， 解得， 综上所述，当为秒或秒时，的度数为； 在与相遇前，是的双语线，则有或， 得或，解得或； 是的双语线，则有， 得，解得； 是的双语线，则有， 得，解得； 在与相遇后，是的双语线，则有， 得，解得； 是的双语线，则有， 得，解得； 是的双语线， 则有或， 得或， 解得或； 综上所述，当或或或或或或时，射线中有一条射线是另一条射线的双语线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $