第二十七章 圆与正多边形（知识清单）（2易错+6重难突破）数学沪教版五四制九年级下册

第二十七章 圆与正多边形 【清单01】圆的确定 1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 2．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r； ③点P在圆内⇔d＜r 【清单02】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 【清单03】垂径定理 1.垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【清单04】直线与圆、圆与圆的位置关系 2．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 3．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 4．圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 5．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 6．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 【清单05】正多边形与圆 1.正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形 2.正n边形的对称性 正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n． 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点． 3.正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点． 正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距． 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角． 每一个中心角==它的每一个外角 4.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 5.正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. （2）用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。　 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 6.正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 易错点 1：分类讨论意识缺失，导致答案不完整 1.（24-25九年级上·上海·月考）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【答案】4或7 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 2.（25-26九年级上·上海·月考）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为 ． 【答案】或 【详解】解：设圆心为，且在该等腰三角形内部时，取底边中点为，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，底边中点为， ∴， ∴圆心在线段上， ∴， ∴， ∴； 当圆心在该等腰三角形外部时，如图， 同理可得：，， 故答案为：或． 3.（25-26九年级上·上海·月考）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为 ． 【答案】或 【详解】解：设  与  交于点 ，则  为  的中点，且  ，当点  与点  位于点  异侧时，如图所示： 由于 ，故 ， 在  中，，，由勾股定理得 ， 在  中，，，由勾股定理得 ， ∴； 当点  与点  位于点  同侧时，如图所示： 同理可得； 综上所述：  的长度为  或 ； 故答案为   或 ． 4.（25-26九年级上·上海·月考）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是 ． 【答案】2或10 【详解】解：设圆的半径为． 若两圆外切，则圆心距，解得． 若两圆内切，则圆心距． 由于半径为正数，解，得或 解得或， 因为半径为正数， 所以． 因此，圆的半径为或． 故答案为：2或10． 5.（2025·上海闵行·二模）如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是 ． 【答案】或或或 【详解】解：设点运动到点时两圆相切， 两圆第一次外切时，， 有， 得， 两圆第一次内切时，， 有， 得， 两圆第二次内切时，， 有， 得， 两圆第二次外切时，， 有， 得， 故答案为：或或或． 6.（24-25九年级上·上海·月考）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：∵点P在直线上， ∴， ， ∵P为的关联点， ∴， ∴，同时平方得：， 整理得：， 当时，解得：，， 当时，解得：，， 如图： ∴P横坐标范围是或． 故答案为： 或． 7．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【详解】（1）解：与边相切，理由如下： 过点C作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点O作于点, ∵，当点与点重合时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而为半径，为点O到边的距离， ∴与边相切； （2）解：∵，经过圆心， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为半径，， ∴， ∴一定不经过点， 当与线段相切时，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当经过点时，过点分别作，垂足分别为， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，符合题意， 综上所述，当与线段只有一个交点时，或． 8.（2025·上海崇明·二模）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，⊙O是以为圆心，为半径的圆． (1)当直线与⊙O相切时，求的长； (2)当直线与⊙O相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作⊙C与⊙O的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【详解】（1）解：作于， 与相切 设， 在中 ，， ∴， ， ， 在中 ， ， ． （2）①四边形是矩形 ， 设，则， 在中，， ， ， ； ②若是以为腰的等腰三角形， 那么或， 设与相交于点， 与相交于， ， 又， ， 又， ， （i）当时， ， ，解得：， ， ， ． （ii）当时，作， ， ， ，即， ， 解得， 设，则，在中， ， ， ． 综上所述，或． 易错点 2：几何推理与计算结合时，步骤跳跃，忽略 “勾股定理、三角函数” 的正确应用 9.（2025·上海静安·二模）已知，四边形内接于，． (1)求证：； (2)小明说：四边形一定是等腰梯形，你认为他的说法正确吗？为什么？ (3)如图所示，已知，，求的半径． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：小明的说法不正确，理由如下： ∵， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴四边形是矩形，即小明的说法不正确． （3）解：如图：连接并延长交于点E，连接． ∵， ∴，， ∴， 设该圆的半径为r，则， ∵， ∴，解得：． 10.（23-24九年级下·上海·月考）定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【详解】（1）解：连接， ， 设， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：存在，当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，为； （3）证明：设抛物线上任意一点为， ∴， 设到轴的距离为， 由题意得：， ∴ ， ∴以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 11．（2024·上海闵行·三模）如图，已知在中，射线 ，P是边上一动点，，交射线于点D，连接．，，． (1)求证：； (2)如果以为半径的圆A与以为半径的圆B相切，求线段的长度； (3)将绕点A旋转，如果点D 恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时的余切值． 【详解】（1）， ， ， ， ， ； （2）设，作于H，如图所示∶ ，， ， ， 根据勾股定理得∶ ， ， ， 两圆相切时，， 即， 解得：， 的长度为2； （3）根据题意得：， 解得：， ， ， 为等边三角形， ，，，， ∴四边形为矩形， ，， 作于G，如图所示： 则， ， ， ． 12.（2023·上海静安·三模）如图，过圆外一点P作圆O的切线交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），，点D在优弧上运动，连接与圆的另一个交点为C． (1)证明：是圆O的切线； (2)若点D是优弧的中点，且，求； (3)记，，求：y关于x的解析式及其与x轴夹角的正切值． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为圆O的切线， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为圆O的半径， ∴是圆O的切线； （2）解：∵D是优弧的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，且经过圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 如图，连接， ∵是圆O的切线 ∴， ∵经过圆心，即为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 设，， ∴，， ∵， ∴在中，， 即， 整理得， 两边同时除以得：， 解得(负值舍去）， ∴． （3）解：由（2）知， ∴， 同理可证， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即y关于x的解析式是． ∴该解析式与x轴夹角的正切值． 13.（2024·上海宝山·三模）已知为直径，弦交于点（点不与重合），连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作于点，交于点F，求的值 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点为弧上一点，连接交于点P，若，，，求圆O的周长 【详解】（1）解：证明：如图，连接，， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分上， 两点确定一条直线， 是的垂直平分线， ； （2）如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）如图，连接，，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 延长至，使，连接， ， 为圆直径， ， 在中， 设，则，， ， 同理，， ， ， 解得或5， ， ， 圆的周长为． 题型一．垂径定理 1．（2025春•杨浦区校级月考）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是　　 ． 【解答】解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M， 即圆心的坐标是（﹣1，1）， 故答案为（﹣1，1） 2．（2025春•浦东新区校级月考）已知⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是　　 ． 【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E． ∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AEAC，ADAB， ∴sin∠AOE，sin∠AOD， 根据特殊角的三角函数值可得∠AOE＝60°，∠AOD＝45°， ∴∠BAO＝45°，∠CAO＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BAC＝45°+30°＝75°， 或∠BAC′＝45°﹣30°＝15°． 故答案为：15°或75°． 3．（2025•金山区二模）圆O是△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，如果BC＝3，那么MN＝　　 ． 【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴AM＝MB，AN＝NC， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MNBC， ∵BC＝3， ∴MN， 故答案为：． 题型二．圆心角、弧、弦的关系 4．（2025春•徐汇区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不一定正确的是（　　） A．CE＝DE B．OE＝BE C． D．∠COE＝∠DOE 【解答】解：根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，可知A、C、D都成立． 故选：B． 5．（2025春•普陀区月考）如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 【解答】解：如图，连接OA． ∵AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD，即∠BOD+∠AOD＝∠AOC+∠AOD， ∵∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°． 故选：A． 6．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE． （1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长． 【解答】解：（1）如图，连接AD． ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°， ∴∠ACD＝70°． ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°． 又∵AD＝AE， ∴． （2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F． ∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC＝5． 又∵•AF•BC•AC•AB， ∴， ∴． ∵AC＝AD，AF⊥CD， ∴． 题型三．点与圆的位置关系 7．（2025春•浦东新区校级月考）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当a＝﹣1时，点B在圆A上 B．当a＜1时，点B在圆A内 C．当a＜﹣1时，点B在圆A外 D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内 【解答】解：如图： ∵A（1，0），⊙A的半径是2， ∴AC＝AE＝2， ∴OE＝1，OC＝3， A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在⊙A上，正确，故本选项不合题意； B、当a＝﹣3时，B在⊙A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意； C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意； D、当﹣1＜a＜3时，B在⊙A内正确，故本选项不合题意； 故选：B． 8．（2025•浦东新区校级一模）已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（　　） A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25 【解答】解：在直角△BCD中CD＝AB＝15，BC＝20， 则BD25． 由图可知15＜r＜25， 故选：C． 题型四．直线与圆的位置关系 9．（2025春•宝山区月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为　 ． 【解答】解：设将⊙A绕着点C顺时针旋转，点A至点A′时，⊙A′与直线BC相切相切于点D，连接A′D， 则∠A′DC＝90°，A′D＝1， 由旋转的性质可知，CA′＝CA＝3， ∴cos∠CA′D， ∵AC∥A′D， ∴α＝∠CA′D， ∴∠α的余弦值为， 故答案为：． 10．（2025•宝山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE，延长DO交BF于点H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠F＝90°， ∵∠HDE＝∠DEF＝90°， ∴四边形DEFH是矩形， ∴∠DHF＝90°， ∵AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF， ∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BHBF， ∵BF2+AF2＝AB2， ∴（2）2+（10﹣AB）2＝AB2， 解得AB＝6， ∴ODAB＝3， ∴OE， ∴OE的长为． 11．（2025•闵行区模拟）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值． 【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， 而OH⊥AB， ∴OH＝OD， ∴AB是⊙O的切线； （2）由（1）知OD⊥AC， 在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2， ∴OD2+42＝（OD+2）2， ∴OD＝3， ∴OC＝5， ∴cosC， 在Rt△OCA中，cosC， ∴sin∠OAC． 12．（2025•松江区二模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点O在边BC上，以O为圆心，OC为半径的圆与边AC交于点D，与边AB相切于点E． （1）当BC＝12时，求⊙O的半径长； （2）求的值． 【解答】解：（1）∵⊙O与AB边相切于点E， ∴AB⊥OE于点E， ∴∠OEB＝90°， ∵∠B＝30°，OE＝OC， ∴OB＝2OE＝2OC， ∵OB+OC＝BC＝12， ∴2OC+OC＝12， ∴OC＝4， ∴⊙O的半径长为4． （2）连接OD、ED，则OD＝OC＝OE， ∵∠OEB＝∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠BOE＝∠C＝90°﹣∠B＝60°， ∴△COE是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣∠COD﹣∠BOE＝60°， ∴△EOD是等边三角形， ∴∠OED＝60°， ∴∠AED＝180°﹣∠OED﹣∠OEB＝30°， ∴ADED， ∵ED＝OD＝CD， ∴ADCD， ∴， ∴的值为． 13．（2025春•浦东新区校级月考）在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF∥AB，DF与CE相交于点F，设EF＝x，DF＝y． （1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长； （3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长． 【解答】解：（1）连接OC． ∵在⊙O中，AC是⊙O的弦，OD⊥AC， ∴CD＝AD． ∵DF∥AB， ∴CF＝EF． ∴DFAE（AO+OE）． ∵点C是以AB为直径的半圆的中点， ∴CO⊥AB． ∵EF＝x，AO＝CO＝4， ∴CE＝2x，OE2． ∴y（4+2）＝2．定义域为x≥2； （2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF． EFCE＝OF＝4， ∴OC＝OBAB＝4． ∴DF＝22+2． （3）当⊙E与⊙O外切于点B时，BE＝FE． ∵CE2﹣OE2＝CO2， ∴（2x）2﹣（x+4）2＝42，3x2﹣8x﹣32＝0， ∴x1，x2（舍去）． ∴DF（AB+BE）（8）． 当⊙E与⊙O内切于点B时，BE＝FE． ∵CE2﹣OE2＝CO2， ∴（2x）2﹣（4﹣x）2＝42，3x2+8x﹣32＝0． ∴x1，x2（舍去）． ∴DF（AB﹣BE）（8）． 当⊙E与⊙O内切于点A时，AE＝FE． ∵CE2﹣OE2＝CO2， ∴（2x）2﹣（4﹣x）2＝42，3x2+8x﹣32＝0． ∴x1，x2（舍去）． ∴DF． 题型五．圆与圆的位置关系 14．（2025•松江区二模）已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　） A． B． C．10 D．12 【解答】解：设⊙O1和⊙O2相交于点A，B，连接AB，O1O2，O1A，O2B，O1O2，设AB与O1O2相交于点C，如图所示： 设O1C＝a， ∵⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上， ∴O1A＝O1O2＝5，O2A＝6，AC＝BC，AB⊥O1O2， ∴O2C＝O1O2﹣O1C＝5﹣a，AB＝2AC， 在Rt△O1AC和Rt△O2AC中，由勾股定理得：AC2＝O1A2﹣O1C2＝O2A2﹣O2C2， ∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2， 解得：， ∴O1C， ∴AC， AB＝2AC． 故选：B． 15．（2025春•浦东新区校级月考）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是　 ． 【解答】解：根据题意两圆内含， 故知r﹣3＞4， 解得r＞7． 故答案为：r＞7． 题型六．正多边形和圆 16．（2025•金山区二模）以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，那么n的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 【解答】解：如图，AC是⊙O的直径，△AEF、四边形ABCD是⊙O的内接正三角形、正四边形，AC交EF于点H， ∵AE＝AF， ∴， ∴AC⊥EF， ∴OH是正三角形AEF的边心距，∠OHE＝90°， ∵OE＝OF，∠EOF360°＝120°， ∴∠OEF＝∠OFE（180°﹣120°）＝30°， 设OH＝m，则OE＝2OH＝2m， 连接OD，作OI⊥AD于点I， ∵OD＝OA＝OE＝2m，∠AOD360°＝90°， ∴ADOA＝2m， ∴OI＝AI＝BIADm， 设正n边形的边心距为x， ∵以⊙O的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形， ∴xm， 设⊙O的内接正六边形为正六边形APECFQ，连接OF，作OL⊥CF于点L，则∠OLF＝90°， ∵OC＝OF＝2m，∠COF360°＝60°， ∴△COF是等边三角形， ∴CF＝OF＝2m， ∴FL＝CLCF＝m， ∴OLm， ∴以⊙O的内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形， ∴n＝6， 故选：C． 17．（2025•闵行区模拟）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 　 　 ． 【解答】解：设正六边形的半径是r， 则外接圆的半径r， 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r， 因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：． 故答案为：2：． 18．（2025•浦东新区校级一模）正八边形的中心角等于 　　 度． 【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°； 故答案为45． 19．（2025•上海模拟）如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是 　　 ． 【解答】解：由题意可得： 边数为360°÷36°＝10， 则它的边数是10． 故答案为10． 20．（2025•浦东新区校级三模）边长为2的正六边形的边心距为　 ． 【解答】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， ∵正六边形ABCDEF， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠AOF， ∴∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∵OM⊥AB， ∴AM＝BM＝1， 在△OAM中，由勾股定理得：OM． 故答案为：． 21．（2025春•浦东新区校级月考）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　　 ． 【解答】解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知： 在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝1． ∴GE，OG． ∴A（﹣1，0），B（，），C（，）D（1，0），E（，），F（，）． 故答案为：（，） 22．（2025春•静安区校级月考）如图，AB，BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是　　 ． 【解答】解：AB，BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，如图，连接OA，OB，OC． 由题意，∠AOB90°，∠BOC60°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°， ∴n12， 故答案为：12． 23．（2025•杨浦区二模）如图，已知正五边形ABCDE的边长是4，联结AC、BD交于点F，那么CF的长是　 　 ． 【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形， ∴∠ABC＝∠BCD108°，AB＝BC＝CD， ∴∠BAC＝∠BCA36°， 同理可得：∠CBD＝36°， ∴∠ABF＝108°﹣36°＝72°，∠AFB＝∠FBC+∠FCB＝72°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝4， ∵∠CBF＝∠CAB，∠BCF＝∠ACB， ∴△CBF∽△CAB， ∴，即， ∴CF2+4CF﹣16＝0， 解得：CF1＝22，CF2＝﹣22（舍去）， 故答案为：22． 24．（2025春•浦东新区校级月考）周长相等的正方形与正六边形的面积分别为S1，S2，则S1：S2的值为　 　 ． 【解答】解：如图1，设正六边形ABCDEF的中心为点O，AB＝2m，连接OA、OB，作OH⊥AB于点H， ∵OA＝OB，∠AOB360°＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝2m， ∵∠OHA＝90°，AH＝BHAB＝m， ∴OHm， ∴S△AOBAB•OH2mmm2， ∴S2＝6S△AOB＝6m2， 如图2，正方形ABCD的周长与正六边形ABCDEF的周长相等， ∴4AB＝6×2m， ∴AB＝3m， ∴S1＝AB2＝（3m）2＝9m2， ∴， ∴S1：S2的值为， 故答案为：． 25．（2025•松江区二模）如图，正八边形的对角线AD、CG交于点M，那么的值为 　　 ． 【解答】解：如图，设正八边形ABCDEFGH的中心为点O，连接OB、OA、OH， ∵∠GOH＝∠HOA＝∠AOB＝∠BOC360°＝45°， ∴∠GOH+∠HOA+∠AOB+∠BOC＝4×45°＝180°， ∴G、O、C三点在同一条直线上， ∴点O在CG上， 连接CA、OD，则OD＝OC＝OA， ∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°， ∴∠AOC＝2×45°＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC＝45°，CAOAOD， ∴∠OCA＝∠COD， ∴CA∥OD， ∴△ACM∽△DOM， ∴， 故答案为：． 26．（2025•奉贤区二模）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　 ． 【解答】解：延长FA、CB交于点R，连接AC， ∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形， ∴AF＝AB＝BC＝2，∠BAF＝∠ABC（6﹣2）×180°＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣120°）＝30°， ∵∠RAB＝∠RBA＝180°﹣120°＝60°， ∴∠R＝60°，∠RAC＝∠RAB+∠BAC＝90°， ∴△ABR是等边三角形， ∴AR＝BR＝AB＝2， ∴CR＝BR+BC＝4， ∴AC2， 如图1，⊙C与⊙A相切，且⊙A在⊙O的外部， ∵G为AF的中点， ∴AGAF＝1， ∴⊙A的半径为1， ∵⊙C的半径为r， ∴r+1＝2， ∴r＝21， 如图2，⊙C经过点F，此时r最大， 连接CF，则CF为正六边形ABCDEF的外接圆的直径， ∴r＝CF＝2AF＝4， ∵⊙C与⊙A相交， ∴21＜r≤4， 故答案为：21＜r≤4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/13 9:47:01；用户：初中数学；邮箱：15055239005；学号：52628688 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 圆与正多边形 【清单01】圆的确定 1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫 ，经过圆心的弦叫 ，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称 ，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做 ，大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫做 ． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 2．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔ ； ②点P在圆上⇔ ； ③点P在圆内⇔ 【清单02】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角、弧、弦的关系 （1）定理： ，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的 的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的外心． 【清单03】垂径定理 1.垂径定理 （1）垂径定理 的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1： 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2： 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【清单04】直线与圆、圆与圆的位置关系 2．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆 公共点． ②相切：一条直线和圆只有 公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫 ． ③相交：一条直线和圆有 公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的 ． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔ ；②直线l和⊙O相切⇔ ；③直线l和⊙O相离⇔ ． 3．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线 于经过切点的半径． ②经过 且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过 且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的 且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 4．圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆 公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的 时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的 时，叫两个圆内含，两圆同心是 的一个特例；如果两个圆有 公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有 公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞ ；②两圆外切⇔d＝ ；③两圆相交⇔ （R≥r）； ④两圆内切⇔ （R＞r）； ⑤两圆内含⇔ （R＞r）． 5．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么 必经过切点． 这说明两圆的 和 三点共线，为证明带来了很大方便． 6．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的 （经过两个圆心的直线）， 两圆的公共弦． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条 相等；两圆的两条 也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在 上． 【清单05】正多边形与圆 1.正多边形 相等， 也相等的多边形叫做正多边形． 有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形 2.正n边形的对称性 正n边形是 图形，对称轴的条数 = ． 当n为偶数时，正n边形是 图形，对称中心是它的 的交点． 3.正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点． 正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做 ． 正多边形外接圆的半径叫做 ． 正多边形内切圆的半径长叫做 ． 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做 ． 每一个中心角==它的每一个外角 4.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 5.正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. （2）用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。　 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 6.正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 易错点 1：分类讨论意识缺失，导致答案不完整 1.（24-25九年级上·上海·月考）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 2.（25-26九年级上·上海·月考）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为 ． 3.（25-26九年级上·上海·月考）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为 ． 4.（25-26九年级上·上海·月考）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是 ． 5.（2025·上海闵行·二模）如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是 ． 6.（24-25九年级上·上海·月考）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是 ． 7．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 8.（2025·上海崇明·二模）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，⊙O是以为圆心，为半径的圆． (1)当直线与⊙O相切时，求的长； (2)当直线与⊙O相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作⊙C与⊙O的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 易错点 2：几何推理与计算结合时，步骤跳跃，忽略 “勾股定理、三角函数” 的正确应用 9.（2025·上海静安·二模）已知，四边形内接于，． (1)求证：； (2)小明说：四边形一定是等腰梯形，你认为他的说法正确吗？为什么？ (3)如图所示，已知，，求的半径． 10.（23-24九年级下·上海·月考）定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 11．（2024·上海闵行·三模）如图，已知在中，射线 ，P是边上一动点，，交射线于点D，连接．，，． (1)求证：； (2)如果以为半径的圆A与以为半径的圆B相切，求线段的长度； (3)将绕点A旋转，如果点D 恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时的余切值． 12.（2023·上海静安·三模）如图，过圆外一点P作圆O的切线交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），，点D在优弧上运动，连接与圆的另一个交点为C． (1)证明：是圆O的切线； (2)若点D是优弧的中点，且，求； (3)记，，求：y关于x的解析式及其与x轴夹角的正切值． 13.（2024·上海宝山·三模）已知为直径，弦交于点（点不与重合），连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作于点，交于点F，求的值 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点为弧上一点，连接交于点P，若，，，求圆O的周长 题型一．垂径定理 1．（2025春•杨浦区校级月考）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是　　 ． 2．（2025春•浦东新区校级月考）已知⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是　　 ． 3．（2025•金山区二模）圆O是△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，如果BC＝3，那么MN＝　　 ． 题型二．圆心角、弧、弦的关系 4．（2025春•徐汇区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不一定正确的是（　　） A．CE＝DE B．OE＝BE C． D．∠COE＝∠DOE 5．（2025春•普陀区月考）如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 6．（2025春•浦东新区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE． （1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长． 题型三．点与圆的位置关系 7．（2025春•浦东新区校级月考）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当a＝﹣1时，点B在圆A上 B．当a＜1时，点B在圆A内 C．当a＜﹣1时，点B在圆A外 D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内 8．（2025•浦东新区校级一模）已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（　　） A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25 题型四．直线与圆的位置关系 9．（2025春•宝山区月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为　 ． 10．（2025•宝山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 11．（2025•闵行区模拟）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值． 12．（2025•松江区二模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点O在边BC上，以O为圆心，OC为半径的圆与边AC交于点D，与边AB相切于点E． （1）当BC＝12时，求⊙O的半径长； （2）求的值． 13．（2025春•浦东新区校级月考）在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF∥AB，DF与CE相交于点F，设EF＝x，DF＝y． （1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长； （3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长． 题型五．圆与圆的位置关系 14．（2025•松江区二模）已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　） A． B． C．10 D．12 15．（2025春•浦东新区校级月考）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是　 ． 题型六．正多边形和圆 16．（2025•金山区二模）以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，那么n的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 17．（2025•闵行区模拟）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 　 　 ． 18．（2025•浦东新区校级一模）正八边形的中心角等于 　　 度． 19．（2025•上海模拟）如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是 　　 ． 20．（2025•浦东新区校级三模）边长为2的正六边形的边心距为　 ． 21．（2025春•浦东新区校级月考）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　　 ． 22．（2025春•静安区校级月考）如图，AB，BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是　　 ． 23．（2025•杨浦区二模）如图，已知正五边形ABCDE的边长是4，联结AC、BD交于点F，那么CF的长是　 　 ． 24．（2025春•浦东新区校级月考）周长相等的正方形与正六边形的面积分别为S1，S2，则S1：S2的值为　 　 ． 25．（2025•松江区二模）如图，正八边形的对角线AD、CG交于点M，那么的值为 　　 ． 26．（2025•奉贤区二模）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/13 9:47:01；用户：初中数学；邮箱：15055239005；学号：52628688 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $