第二十七章 圆与正多边形（复习讲义）数学沪教版五四制九年级下册

该初中数学复习讲义通过知识框架图系统梳理圆与正多边形知识体系，按“概念-性质-判定”逻辑脉络整合圆的定义、位置关系、核心定理等内容，用表格对比“点/直线与圆位置关系的数量转化”，清晰呈现垂径定理、切线判定等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如“点与圆位置关系判断”“切线性质应用”等例题搭配变式题，培养推理意识与几何直观。基础巩固与能力提升练习覆盖不同层次，帮助学生构建知识网络，教师可据此实施精准化复习教学。

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十七章圆与正多边形（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.精准掌握圆的定义、弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念及符号表示。 2.明确点与圆、直线与圆的位置关系的判定方法（数量关系与位置关系的转化） 3.熟练记忆并理解垂径定理及其推论、圆心角弧弦关系定理、圆周角定理、切线的判定与性质定理、正多 边形与圆的相关概念等核心定理 4.能理清定理间的逻辑关联，形成“概念一性质一判定”的完整知识脉络。 知识图谱梳理，因基础 知识点01：圆的确定 知识点02：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 教材要点精析 知识点03：垂径定理 知识点04：直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点05：正多边形与圆 题型一判断点与圆的位置关系 题型二利用点与圆的位置关系求半径 题型三点与圆上一点的最值问题 题型四三角形的外接圆 题型五弧、弦、圆心角的关系 圆与正多边形 题型六圆内接四边形 考点题型突破 题型七垂径定理及其应用 题型八直线和圆的位置关系 题型九切线的概念、性质及其应用 题型十三角形纳心有关应用 题型十一圆的综合题 题型十二圆和圆的位置关系 基础巩固通关测 分层阶梯训练 能力提升进阶练 教材要点精析·夯重点 知识点01：圆的确定 1.圆的认识 1/100 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固 定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”· 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. (2)与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意 一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣 孤. (3)圆的基本性质：①轴对称性.②中心对称性， 2.点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为”，点P到圆心的距离OP=d,则有： ①点P在圆外台d> ②点P在圆上台d=r ①点P在圆内台d<r (2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来己知点到圆心距离与半径的关系可以确定该 点与圆的位置关系， (3)符号“一”读作“等价于”，它表示从符号“曰”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端. 知识点02：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角、孤弧、弦的关系 (1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等， 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧 或劣弧。 (3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推 二”，一项相等，其余二项皆相等。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与 原图形完全重合. (4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分。 2.三角形的外接圆与外心 2/100 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆. (2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 (3)概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点. ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在 三角形的外部， ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而 一个圆的内接三角形却有无数个， 知识点03：垂径定理 1.垂径定理 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (2)垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧， 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 知识点04：直线与圆、圆与圆的位置关系 2.直线与圆的位置关系 (1)直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点。 ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫 切点. ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线. (2)判断直线和圆的位置关系：设⊙o的半径为，圆心O到直线1的距离为d. ①直线1和⊙O相交台d<” ②直线1和⊙O相切台d=r ③直线1和⊙O相离台d>r 3.切线的判定与性质 (1)切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径， 3/100 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点， ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 (2)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (3)常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”. 4.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含. 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上 的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两 个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交， (2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离台d>R+r: ②两圆外切台d=R+r: ③两圆相交台R-r<d<R+r(R≥r); ④两圆内切台d=R-r(R>r): ⑤两圆内含台d<R-r(R>r). 5.相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点. 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便， 6.相交两圆的性质 (1)相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦， (2)两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等 两个圆如果有两条（内)公切线，则它们的交点一定在连心线上. 知识点05：正多边形与圆 1.正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 4/100 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 有n条边的正多边形(n是正整数，且n≥3)就称作正n边形 2.正n边形的对称性 正n边形是轴对称图形，对称轴的条数=n. 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点. 3.正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交 点.正多边形外接圆（或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心. 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距， 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角. 每一个中心角=360=它的每一个外角 n 4.正多边形的性质 (1)正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. (2)正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. (3)正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正边形的中心；当边 数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心 (4)边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似 比的平方. (5)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 5.正多边形的画法 (1)用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）可以等分圆； 5/100 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正边形. (2)用尺规等分圆 对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形。 0 D H G c p E B B (2) 在⊙0中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对 的弧（即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法。 D ⊙ O E 人9 B 3) (④ 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙0中，任画一条直径AB,分别以A、B为圆 心，以⊙0的半径为半径画弧与⊙0相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D是⊙0的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙0的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙012等分…。 6.正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为Rn、中心角为an、边长为an、边心距为rn,则利用等腰三角形OAB,通过解直角三 角形OAH,可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正n边形的周长及面积. 6/100 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点题型突破·拓思维 题型一判断点与圆的位置关系 【例1】(24-25九年级下·上海·月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,CD、CE分别是斜 边AB上的高和中线，如果⊙A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是() A.点D、E均在圆A内 B.点D在圆A外，点E在圆A内 C.点D、E均在圆A外 D.点D在圆A内，点E在圆A外 【答案】D 【详解】解：：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, AB=5, :CD、CE分别是斜边AB上的高和中线， 点AB=CE=2' 3x4=5CD,解得：CD=12 9 5 :OA是以点A为圆心，半径长为2的圆， AE>2,AD<2, :点D在圆A内、点E在圆A外， 故选：D, 【变式1-1】(24-25九年级下上海虹口月考)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P在对角线 AC上，以点A为圆心，2为半径长作0A,以点P为圆心作0P,如果点C在OP内而点D在⊙P外，并 且0P与⊙A外切，那么可以作为0P半径长的值是() 7/100 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【答案】C 【详解】解：矩形ABCD中，AB=6,BC=8,则AD=8,CD=6, 由勾股定理可得：AC=√AB2+BC2=10, ACAD,cos∠CAD=4D=AE 过点D作DE1AC,则sin∠CAD=CD-DE, AC AD' 即6-DE,8AE 10=8’10=8 DE-AE=32 5 令0A与AC交于点Q,设PQ=r,则A0=2,CQ=8,PC=C0-PQ=8-r, 0e=0E-0-号-2-号，PE=Pe-QE-p-, 22 D EP :点C在0P内而点D在0P外，并且0P与0A外切， 8-r<r PC<r PD>r r>4 53, 即0P的半径r的取值范国为：4<7品， 故，四个选项中，只有4.5在该范围内， 8/100 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：C 【变式1-2】(24-25九年级下.上海月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,若以AB为 直径作⊙0，则点C在⊙0· (填“内”、“外”、“上”) 【答案】上 【详解】解：：∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm, .AB=AC2+BC2 =5cm, :AB为⊙O的直径， ÷点0为B的中点，半径为4Bm, 5 OC=24B=cm .点C在⊙0上， 故答案为：上. 【变式1-3】(24-25九年级下·上海·月考)在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为1.对于点A和线段BC, 给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到OO的弦BC'(B,C分别是B,C的对应点)，则称 线段BC是OO的以点A为中心的“关联线段”.如图，点A,B,C,B,C2,B,C的横、纵坐标都是 整数.在线段BC,B,C2,B,C,中，⊙0的以点A为中心的“关联线段”是 6 B 【答案】B,C2 【详解】解：由旋转的性质可知：AB=AB',AC=AC',∠BAB'=∠CAC', 由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为√5-1≤d≤√2+1， .AC=3>d, “C点不可能在圆上， 9/100 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :B,C,不是⊙0的以点A为中心的“关联线段”， :AC2=1,AB,=V5, ·C2'(0,1,B2'(1,0), .B,C2是⊙0的以点A为中心的“关联线段”， :AC,=2,AB=V5, 当B,'在圆上时，则B,'(1,0)或(0，-1， 由图可知此时C'不在圆上， ∴B,C,不是⊙0的以点A为中心的“关联线段”， 故答案为：B,C2 题型二利用点与圆的位置关系求半径 【例2】(2025·上海黄浦·二模)已知点P在半径为5的00内，那么点P到圆心0的距离不可能是() A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】D 【详解】解：：点P在半径为5的⊙0内， 0P<5, ∴点P到圆心O的距离不可能是6. 故选：D 【变式2-1】(25-26九年级上·上海静安月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,以点A为圆 心作OA,要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么日A的半径长r的取值范围为」 【答案】12<r<13 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5, :由勾股定理得AB=√AC2+BC2=V122+52=13. :点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且12<13. 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使0A的半径r的值在12和13之间， 10/100 第二十七章 圆与正多边形（复习讲义） 1.精准掌握圆的定义、弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念及符号表示。 2.明确点与圆、直线与圆的位置关系的判定方法（数量关系与位置关系的转化）. 3.熟练记忆并理解垂径定理及其推论、圆心角弧弦关系定理、圆周角定理、切线的判定与性质定理、正多边形与圆的相关概念等核心定理. 4.能理清定理间的逻辑关联，形成“概念—性质—判定”的完整知识脉络。 知识点01：圆的确定 1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点02：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点03：垂径定理 1.垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点04：直线与圆、圆与圆的位置关系 2．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 3．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 4．圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 5．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 6．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 知识点05：正多边形与圆 1.正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形 2.正n边形的对称性 正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n． 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点． 3.正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距． 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角． 每一个中心角==它的每一个外角 4.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 5.正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. （2）用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。　 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 6.正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 题型一 判断点与圆的位置关系 【例1】（24-25九年级下·上海·月考）在中，，，，、分别是斜边上的高和中线，如果是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆内 B．点在圆外，点在圆内 C．点、均在圆外 D．点在圆内，点在圆外 【变式1-1】（24-25九年级下·上海虹口·月考）如图，在矩形中，，，点P在对角线上，以点A为圆心，2为半径长作，以点P为圆心作，如果点C在内而点D在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式1-2】（24-25九年级下·上海·月考）在中，，，，若以为直径作⊙，则点在⊙ ．（填“内”、“外”、“上”） 【变式1-3】（24-25九年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，的半径为1.对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别是，的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．如图，点A，，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的以点A为中心的“关联线段”是 ． 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 【例2】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式2-1】（25-26九年级上·上海静安·月考）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·月考）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【变式2-3】（22-23九年级下·上海·月考）如图，在梯形中，，，点为边上一动点，作，垂足在边上，以点为圆心为半径画圆，交线段于点． (1)求梯形的面积； (2)分别连接和，当与相似时，以点为圆心，为半径的与相交，试求的半径的取值范围； (3)将劣弧沿直线翻折交于点，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值． 题型三 点与圆上一点的最值问题 【例3】（24-25九年级下·上海青浦·月考）在中，，，，的半径为4，点是上的动点，点在线段上，且，那么长的取值范围是 ． 【变式3】（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 题型四 三角形的外接圆 【例4-1】（25-26九年级上·上海·月考）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是 ． 【例4-2】（2022·上海虹口·二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的外接圆半径是 ． 【变式4-1】（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于 ． 【变式4-2】（2023·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 【变式4-3】（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 题型五 弧、弦、圆心角的关系 【例5-1】（24-25九年级下·上海·月考）下列命题中正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．同圆中，相等弦所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【例5-2】（24-25九年级下·上海浦东新·月考）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 【例5-3】（25-26九年级上·上海静安·月考）如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【变式5-1】（2025·上海嘉定·二模）如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． (1)求的度数； (2)求的值． 【变式5-2】（2025·上海宝山·二模）如图，已知梯形，，，以点为圆心、为半径画弧，与分别交于点，且．                          (1)如果设，，求的长； (2)求的值； (3)如果是弧的中点，求的值． 题型六 圆内接四边形 【例6】（24-25九年级下·上海普陀·月考）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为 ． 【变式6-1】（2025·上海徐汇·一模）如图，四边形中，，如果，且，那么的长是 （用含的式子表示）． 【变式6-2】（2025·上海静安·二模）已知，四边形内接于，． (1)求证：； (2)小明说：四边形一定是等腰梯形，你认为他的说法正确吗？为什么？ (3)如图所示，已知，，求的半径． 题型七 垂径定理及其应用 【例7-1】（2024·上海长宁·二模）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是(　　) A．弧弧 B． C． D． 【例7-2】（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为 ． 【例7-3】（24-25九年级下·上海·月考）如图，公园里有一圆弧形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶到水面的距离米． (1)求水面宽度的大小； (2)当水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，若，求水面上升的高度． 【变式7-1】（25-26九年级上·上海·月考）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为 ． 【变式7-2】（24-25九年级下·上海·月考）已知：如图，在中，弦，、分别是、的中点．求证：． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，已知是的直径，是的弦，与相交于点E，，，， (1)求弦的弦心距的长； (2)填空：联结、，设，那么________．（用向量、表示） 【变式7-4】（2025·上海·二模）如图，在矩形中，联结，在边上取一点E，上取一点F，联结，．在上有一点G．作的外接圆，弧弧．联结，延长交边于点H． (1)若点C、H重合，求证：． (2)若； ①当时，求的长和的余切值； ②列表写出圆O的圆心分别在、与内部时，长度的取值范围(不写解答过程)． 题型八 直线和圆的位置关系 【例8-1】（24-25九年级下·上海·月考）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【例8-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级下·上海虹口·月考）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【变式8-2】（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式8-3】（24-25九年级下·上海徐汇·月考）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 题型九 切线的概念、性质及其应用 【例9-1】（25-26九年级上·上海静安·月考）下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．如果圆的直径平分弦，那么这条直径垂直于这条弦 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【例9-2】（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 【例9-3】（23-24九年级下·上海·月考）已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米． (1)请在图所示的直线上画出表示这个圆形物体影长的线段； (2)求这个圆形物体的半径长． 【例9-4】（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知中，，过点作，且，连接交于点． (1)求的长 (2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【变式9-1】（2025·上海杨浦·二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 【变式9-2】（23-24九年级下·上海·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若． (1)判断CD与的位置关系，并说明理由 (2)若，，求的长 【变式9-3】（23-24九年级下·上海·期中）如图：已知在中，，． (1)求：的值； (2)当以B为圆心的圆B与边相交时，求圆B半径的取值范围． 题型十 三角形内心有关应用 【例10】（24-25九年级下·上海徐汇·月考）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式10-2】（24-25九年级下·上海·月考）在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是 题型十一 圆的综合题 【例11-1】（23-24九年级下·上海·月考）定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【例11-2】（2024·上海虹口·三模）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 【变式11-1】（2023·上海静安·三模）如图，过圆外一点P作圆O的切线交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），，点D在优弧上运动，连接与圆的另一个交点为C． (1)证明：是圆O的切线； (2)若点D是优弧的中点，且，求； (3)记，，求：y关于x的解析式及其与x轴夹角的正切值． 【变式11-2】（2024·上海宝山·三模）已知为直径，弦交于点（点不与重合），连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点D作于点，交于点F，求的值 (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点为弧上一点，连接交于点P，若，，，求圆O的周长 【变式11-3】（2024·上海奉贤·二模）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． (1)如果，，求边的长； (2)连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的余切值； (3)连接并延长，交于点，如果，求的值． 题型十二 圆和圆的位置关系 【例12-1】（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【例12-2】（25-26九年级上·上海·月考）半径为、的两个圆的圆心距为，且是方程的根，则这两个圆的位置关系是 ． 【例12-3】（25-26九年级上·上海·月考）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为 ． 【例12-4】（24-25九年级下·上海·月考）如图，中，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点． (1)当以点为圆心长为半径的和以点为圆心长为半径的外切时，求的长； (2)当以边为直径的与线段相切时，求的长． 【变式12-1】（25-26九年级上·上海·月考）已知圆与圆相切，其中圆的半径是，圆心距cm，那么圆的半径是 ． 【变式12-2】（2025·上海·二模）相交两圆的圆心距为d．如果较小圆的一条半径在公共弦的一个端点处与大圆相切，且这条半径所在直线与连心线的夹角为，那么两圆连心线被截得的较短线段的长度为 （用d和表示）． 【变式12-3】（2025·上海闵行·二模）如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是 ． 【变式12-4】（24-25九年级下·上海·月考）如图，已知矩形中，，以点为圆心，为半径作，交的延长线于点，连结．再以点为圆心，为半径作．若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是 ． 【变式12-5】（24-25九年级下·上海·月考）如图，在中，，，，点D是边上一点，，点E是边上一点，以点E为圆心，为半径作圆，经过点D，点F是边上一动点（点F不与A、C重合），作，交射线于点 (1)用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）； (2)当点G在边上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)连接，当与相似时，推理判断以点G为圆心、为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级下·上海·月考）下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 2．（24-25九年级下·上海·月考）在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是．如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 3．（2025·上海·二模）如图，中，， ．以点C，A为圆心作圆C，圆A．有两个命题：①如果圆C与边有唯一公共点，那么圆C半径rc的取值范围是；②如果圆A与圆C外切于点E，过点E的公切线交其它边于点D，那么线段的取值范围是．关于这两个命题说法正确的是（    ）       A．命题①正确，命题②错误 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①，②都正确 D．命题①， ②都错误 4．（23-24九年级下·上海·期中）已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时， 5．（24-25九年级下·上海·月考）已知：如图，圆O半径长为25，弦长为48，点C是弧的中点． (1)求弦长； (2)圆O的一个同心圆与弦所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小． 6．（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，是边的动点，以为圆心，为半径作圆，与相切于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点，连接并延长交于点，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 能力提升进阶练 1．（24-25九年级上·上海·月考）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．当的半径为2时，点在直线上，若为的关联点，则点的横坐标的取值范围是 ． 2．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 3．（24-25九年级下·上海·月考）如图①，三个直径为的等圆、、两两外切，切点分别是A、、． (1)那么的长是___________（用含的代数式表示）； (2)探索：现有若干个直径为的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，那么这两种方案中层圆圈的高度___________，___________（用含、的代数式表示）； (3)应用：现有一种长方体集装箱，箱内长为6米，宽为米，高为米，用这种集装箱装运长为6米，底面直径（横截面的外圆直径）为米的圆柱形铜管，你认为采用第（2）题中的哪种方案在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；参考数据：，． 4．（2025·上海崇明·二模）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，⊙O是以为圆心，为半径的圆． (1)当直线与⊙O相切时，求的长； (2)当直线与⊙O相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作⊙C与⊙O的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 5．（2024·上海闵行·三模）如图，已知在中，射线 ，P是边上一动点，，交射线于点D，连接．，，． (1)求证：； (2)如果以为半径的圆A与以为半径的圆B相切，求线段的长度； (3)将绕点A旋转，如果点D 恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时的余切值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $