第二十七章 圆与正多边形（单元复习课件）数学沪教版五四制九年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了圆与正多边形的核心知识，涵盖圆的定义、位置关系、垂径定理等概念及正多边形的相关计算。通过单元知识图谱将圆、正多边形及两者关系分类呈现，考点串讲分模块细化知识点，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于融合几何直观与推理能力培养，如题型剖析中垂径定理应用结合图形分析，直线与圆位置关系题目通过计算推理判断位置。针对训练设计不同难度题目，满足分层需求，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

单元复习课件 第二十七章 圆与正多边形 沪教版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.精准掌握圆的定义、弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念及符号表示。 3.熟练记忆并理解垂径定理及其推论、圆心角弧弦关系定理、圆周角定理、切线的判定与性质定理、正多边形与圆的相关概念等核心定理. 2. 明确点与圆、直线与圆的位置关系的判定方法（数量关系与位置关系的转化）. 单元学习目标 单元知识图谱 1. 圆的定义 (1)描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. (2)集合观点定义：圆可以看成是所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合. 2. 圆的表示法 以点O 为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”. 3. 圆的特性 (1)同圆的半径相等. (2)到圆心的距离等于半径的点在圆上. 考点一：圆的确定 考点串讲 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 2.圆的有关概念 弧、半圆劣弧优弧 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；(3)小于半圆的弧叫做劣弧；(4)大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 考点串讲 O P r d O P r d O P r d 3.点和圆的位置关系 设⊙ O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有： 点和圆的位置关系 特点 等级关系 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P在圆外d＞r 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P在圆上d=r 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P在圆内d＜r 考点串讲 1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 警示误区 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 3. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系(拓展) 在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等. 考点二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点串讲 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. O ∟ A B C E D 知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）； ②CD垂直弦AB； ③CD平分AB； ④=； ⑤= 垂径定理重要推论： 上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 考点三：垂径定理 考点串讲 1. 直线与圆有三种位置关系 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 圆心O 到直线l 的距离d 与半径r 的关系 d＞r d=r d＜r 考点四：直线与圆的位置关系 考点串讲 2．切线的性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径． （2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． O P r l ∟ 3．切线的判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 考点串讲 11 ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 考点五：圆与圆的位置关系 考点串讲 1.正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点． 正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距． 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角． 考点六：正多边形与圆 2．正多边形的有关计算 （1）中心角：正n边形的每个中心角为 （2）内角：正n边形的每个内角的度数为（ 或）． （3）外角：正n边形的每个外角为． （4）正n边形的周长l= na（a为边长）． （5）面积：正n边形的面积S= nar= rl（a为边长，r为边心距，l为周长）． 考点串讲 13 1．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 解：∵点P在半径为5的内，∴，∴点P到圆心O的距离不可能是6．故选：D． 题型一、点与圆的位置关系 2.如果点M是等腰△ABC的底边BC的中点，那么点M与以腰AB为直径的圆的位置关系是 ________ ． 解：如图，_ ∴AB=AC，点M是等腰△ABC的底边BC的中点， ∴AM⊥BC，∴∠AMB=90°，∴ ， ∴点M在⊙O上，故答案为：在圆上． 在圆上 题型剖析 题型一、点与圆的位置关系 3．（2024·上海嘉定·二模）在中， ，，以点为圆心，半径为的圆记作圆，那么下列说法正确的是（  ） A．点在圆外，点在圆上； B．点在圆上，点B在圆内； C．点在圆外，点在圆内； D．点、都在圆外． 解：如图，过点A作于点D，如图所示： ∵，，∴， ∵，，∴， ∵的半径为6，∵， ∴点在圆外，点在圆内；故选：C． 题型剖析 4．（2025·上海金山·二模）圆是的外接圆，，，垂足分别是点、，如果，那么 ． 解：∵，∴点和点分别为的中点， ，，故答案为：． 5．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为 ． 解：连接OC，设AO=x,∴OC=x,OH=8-x, ∵直径AB⊥CD，∴CH= CD= ×8=4， ∵OC2=OH2+CH2，∴x2=(8-x)2+42， ∴x=5，∴AO=5．故答案为：5． 题型二、垂径定理 题型剖析 题型二、垂径定理 6．（2025·上海闵行·二模）已知等腰三角形的底边长为8，它的外接圆半径为5，那么圆心到腰的距离为 ． 解：①如图：过点作于点， 由题意可得， 在中，，∴ 在中，∴ 在中，； ②如图，过点作于点，， 在中，，∴ 在中，，∴ 在中，； 综上：圆心到腰的距离为或． 题型剖析 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于 　　． 解：过C点作CD⊥AB于D，如图，∵⊙C与AB相切， ∴CD为⊙C的半径，即CD=2，∵∠C=90°，AC=BC， ∴∠B=45°，∴△CDB为等腰直角三角形， ∴BC= CD=2 (cm)．故答案为2 cm. 题型三、直线与圆的位置关系 8.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的圆的圆心P在直线AB上，且与点O的距离为8cm,若点P以1cm/s的速度由A向B的方向运动，当运动时间t为 __________ 时，⊙P与直线CD相切． 解：当⊙P在直线AB下面与直线CD相切时，设圆心P′，切点E′， ∵∠AOC=30°，P′E′=1，∴OP′=2， ∴PP′=8-2=6，运动时间为：6÷1=6s； 当⊙P在直线AB上面与直线CD相切时，同理可得： PP″=8+2=10，运动时间为：10÷1=10s,故答案为：6s或10s. 6s或10s 题型剖析 18 9.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A(-3，0)，点 ，圆心P的坐标为(1，0)，圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与线段AB有公共点时，令圆心P的横坐标为m,则m的取值范围是 ___________ ． 解：∵点A(-3，0)，点 ，∴ ， ∴ ，∴∠BAO=30°， 当点P在点A右边，且⊙P与线段AB只有一个交点时，如图中P1： ∵⊙P与线段AB只有一个交点，∴P1N⊥AB，∴AP1=2P1N=2，则P1(-1，0)； 当点P在点A左边，且⊙P与线段AB只有一个交点时，如图中P2： ∵⊙P与线段AB只有一个交点，∴⊙P与线段AB相交于点A，∴P2A=1，A(-3，0)，则P2(-4，0)； 综上：m的取值范围是-4≤m≤-1，故答案为：-4≤m≤-1． -4≤m≤-1 题型三、直线与圆的位置关系 题型剖析 19 题型四、圆与圆的位置关系 10.已知⊙A与⊙B的半径分别是6和8，圆心距AB=2，那么⊙A与⊙B的位置关系是( ____ ) A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 解：因为8-6=2，圆心距AB=2，所以d=R-r,所以两圆内切．故选：B． B 11.下列说法正确的是( ____ ) A.两圆外切时，连心线等于这两圆的半径长的和 B.平分弦的直径垂直于弦 C.在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D.经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 解：A、连心线是直线没有长度，故A不符合题意； B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故B不符合题意； C、圆中非直径的弦对一条优弧和一条劣弧，因此在同圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故C不符合题意； D、此说法正确，故D符合题意． D 故选：D． 考点串讲 题型五、正多边形与圆 12.如果正十边形的边长为a,那么它的半径是( ____ ) A. B. C. D. 解：设AB是圆内接正十边形的边长， C 连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，则∠AOB= =36°， ∴ =18°，AC= AB= ，∴OA= = ，故选：C． 13.如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 ____ ． 解：这个多边形的边数是360÷45°=8，故答案为：8． 8 14.如果一个正多边形的内角和是540°，那么它的中心角是 ____ 度． 【解析】解：设这个正多边形的边数为n,则(n-2)×180°=540°，解得n=5， 所以正五边形的中心角是 =72°，故答案为：72． 72 考点串讲 1.在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是( ____ ) A.2 B.5 C.8 D.10 解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E， ∵AB=AC，D为BC中点， ∴BD=DC=4，OD⊥BC， B 锐角三角形ABC中，AB=AC， ∴外接圆心O在AD上， 连接OB，由勾股定理得： ， 设以D为圆心的圆的半径为r,⊙D，⊙O相交应满足：|5-r|＜OD＜5+r, 即|5-r|＜3＜5+r, 解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B， 针对训练 22 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为 的中点，若∠D=125°，则∠DAB的度数为 ____ °． 解：如图，连接OD、OC， ∵四边形ABCD为⊙O内接四边形，∠ADC=125°， ∴∠B=180°-125°=55°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠B=55°， ∴∠BOC=180°-55°×2=70°， ∵点C为 的中点， ∴∠DOC=∠BOC=70°， ∴∠BOD=140°， 由圆周角定理得：∠DAB= ∠BOD=70°， 故答案为：70． 70 题型剖析 23 3.如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面(阴影部分)是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心． (1)如图1，BA，CD的延长线交于圆心O，若甲组测得AB=0.6m,AD=3m,BC=4m,求OB的长； (2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧MP的中点，若丙组测得MN=PQ=0.5m,NL=LQ=2m,求：该混凝土管片的外圆弧半径． 解：(1)由条件可知 ， ∴△AOD∽△BOC，∴ ， 设OB=x m,则OA=(x-0.6)m, ∴ ，解得：x=2.4， 经检验，x=2.4是原方程的根，即OB=2.4m. 答：OB的长为2.4m； (2)如图，设圆心为点O，连接OP、OM、OL、MP、OL与PM相交于点T， 则∠OTM=90°，MT=NL=2m,设外半径为rm,则OT=(r-0.5)m, 在Rt△OMT中，由勾股定理可得：r2=(r-0.5)2+22，解得：r=4.25， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为4.25m. 针对训练 24 感谢聆听! $