山西省三晋联盟名校2025-2026学年高三上学期1月联合考试数学试题

2025一2026学年三晋联盟山西名校高三1月联合考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（概率、统计除外）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.1+22-3= A.3+i B.3-i C.-1-i D.-1+i 2.已知集合A={x2+1,x),B=(1,2,3},若A∩B=(1},则x= A.2 B.1 C.0 D.0或1 3.已知函数∫(x)的导函数为了'(x),且'(x)的图象如图所示，则f(x)的极大值点为 A.a B.b C.c D.d 4.sin15cos45°-cos165°sin45°= 号 B、3 c D.-7 5.已知l,是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，若lCaa∩B=,则“Lhm”是“lB”的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.某品牌酒产自山西省.一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高.已知一箱原价 800元的该品牌酒，储存x(x≥0)年后的收藏价值∫(x)(单位：元)满足函数关系式f(x)= 800×2云(m为常数).若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元则此种品牌酒 储存12年后整箱的收藏价值为 A.2800元 B.2400元 C.1800元 D.1600元 【高三数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线交于A,B两点，记直线OA,OB(O 为坐标原点)的斜率分别为1，若士+ =6,则1AB|= A.144 B.148 C.152 D.156 8.已知函数∫(x)的定义域为R,∫(x)>0,且3f(x+y)=f(x)∫(y),f(1)=9,则f(x)+ f(2一x)的最小值为 A.18 B.16 C.12 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知双曲线，C无-1a>0,b>0)的焦距为4，则下列条件能使C的方程为写-y=】 的是 AC的离心率为29 B.C的渐近线方程为y=土√5a C.C的实轴长为√3 D.(3W2)是C上的点 10.已知函数f(x)=2cosx一1(w>0)的最小正周期为π，则 A直线x=受是∫(x)图象的一条对称轴 B.点（王，0）是f(x)图象的一个对称中心 C.了(x)的单调递减区间为[kπ，受+x]k∈Z) D.∫(x)在(0,3π)内恰有6个零点 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B1C1D,中，M,N分别是线段A1B,AC上的动点 (不含端点)，且A,M=AN=a,则下列结论正确的是 A.AB I MN B三棱锥M-ABV体积的最大值为号 C.若a=√2，则三棱锥M-ABN外接球的表面积为8π D.存在a∈(0,2√2)，使得MN伻面B,CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a,b满足a=(1,2),a·b=5,且a⊥(a十mb),则m= 13.已知递增的等比数列{un}满足a6十ag=10,a3a11=9,则{an}的公比q=▲ 14.若对任意的x∈[1,2]，不等式2axr2+(3a+2b)x-4如 ≤x恒成立，则2b一4a的取值范 围为▲ 【高三数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2=osC a sin A' (l)求tanC; (2)若a=√5，b=3,求△ABC的周长. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB,AD=2,AB=1,PB=√3，PD =√6 (1)证明：平面PAD⊥平面PCD: (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 【高三数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(15分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a6=9,S3=51. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{ }的前n项和。 18.(17分) 已知精圆C:哥+片-1a>6>0)的离心率为.C的左顶点为M,上，下顶点分别为 A(0,1),B(0,-1) (1)求C的方程. (2)记O为坐标原点，设P是C上异于顶点的一个动点，直线PM与y轴交于点D,直线 PB与x轴交于点E. (i)记△ADM的面积为S1,△BDE的面积为S2,证明：S1=S2. (ⅱ)若点P在△ODE外接圆的圆外，求点P的纵坐标的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=|lnx|一a.x. (I)若曲线y=f(x)在x=e处的切线与在x=上处的切线的倾斜角互补，求a的值 (2)设x1,x2,x3(x1<x2<x3)是f(x)的三个零点. (1)求a的取值范围； （iⅱ)证明：x2xx>e 【高三数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2025一2026学年三晋联盟山西名校高三1月联合考试 数学参考答案 1.D1+22-3=1-2+i=-1+i. 2.C因为A∩B=1},所以x2+1=1或x=1,则x=0或x=1.若x=0,则A={1,0},符合 题意.若x=1,则A={1,2},不符合题意 3.C由图可知，f(x)在（一∞，a)和(c,d)上单调递减，在(a,c)和(d,十∞）上单调递增，所以 f(x)的极大值点为c. 4.Asin15'cos45°-c0os165°sin45°=-sin15°aos45+c0s15%in45°=sin60°= 2 5.B当lm时，因为l￠β，所以lB;当l∥B时，因为a∩β=m,lCa,所以l∥m.故“l∥m”是 “lB”的充要条件. 6C由愿意可得6)-80X2-120,即=器。=号·所以此种品牌酒储存12年后整 箱的收藏价值为800×2m=800×(多)=1800元. 1B设A学学则1=六=号+=产=，则+：=2，直线 4 立十：言由题可知F1.0,所以直线AB的方程为y=言- AB的斜率=兰三，4=長 44 1),代入y2=4x,得x2-146.x+1=0,得|AB|=146+2=148. 8.A令x=y=1,则3f(2)=f(1)f(1),所以f(2)=27. 令y=2-x,则3f(2)=f(x)f(2-x)=81, 故f(x)+f(2-x)≥2√T(x)(2-x)=18,当且仅当f(x)=f(2-x)时，等号成立. 96D由题可知c=2.若C的离心率为3，则号=2等得a=5,b2=-a=1.C的方程 为-y=1A符合题意.若C的新近线方程为y=士x,则台=月，得a=1,b=5,C的 方程为-背=1，B不符合题意若C的实轴长为尽，则2a=月，a-号小=-a=号。 C的方程为号-答=1.C不符合题意若3厄)是c上的点则号-是=1，又a2+6:= 13 4,所以a2=3,62=1,则C的方程为写=y=1D符合题意。 10.ACD因为f(x)的最小正周期为π，所以2红=元.得w=2,则f(x)=2cos2x-1,∫(x)图 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 象的对称轴方程为2x=kπ，k∈Z,令k=1,可知直线x=是∫(x)图象的一条对称轴，A 正确，令2x-受十kx,k∈乙，得x=②十1D江，k∈乙，令k=0,可得广x)图象的一个对称中 4 心为点（牙，-1），B不正确.令2kπ≤2x≤元+2kπ，k∈乙，得π≤x≤受十k元，k∈乙，故 f(x)的单调递减区间为[kπ，受十k元](k∈Z),C正确.由f(x)=0,可得cos2x=2,则2x =+2k元或2x=牙+2kx,k∈乙，得x=晋+kx或x-爱+k,k∈Z由0<r<3,可得 =吾晋各，告，培，晋恰有6个零点D正脆 11.ABD以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,之轴， 地立如图所示的空间直角坐标系，则M停02-号a).N受。， 号o）A00.0,B20.0.=(o号号。-2.=2.0， 0),M·AB=0,则AB⊥MN,A正确.三棱锥M-ABN的体积V= 台×号×2x号a(2-竖a)-日a2P+号<分B正跪当a= √2时，M,N分别是线段A,B,AC的中点，取AB的中点O,连接OM,ON(图略)，易得OA =OB=OM=ON=1,则三棱锥M-ABN外接球的半径为1，表面积为4π，C不正确.连接 AC1(图略).由图可知平面B1CD1的一个法向量为AC,=(2,2,2).由MN∥平面B1CD1, 可得MN.AC=2√2a一4=0，解得a=√2，此时M,N分别是线段A1B,AC的中点，则 MN￠平面B,CD1,从而MN伻面B,CD1,D正确. 12.一1因为a⊥(a+mb),所以a·(a+mb)=a2+ma·b=5+5m=0,解得m=-1. 13.3由aag=a3a11=9,a6十ag=10,解得 或/9， |a6=1 因为{an}是递增数列，所以 la8=9 a8=1. a6=1, 则g2=9,q=3(负根舍去) a8=9, 14.[-3,3]因为对任意的x∈[1,2]，不等式2ax2+(3a+26)x-|<x恒成立，所以 |a(2x+3-)+2b<1恒成立.令函数fx)=2x+3-易得fx)在[1,2]上单调递 带0则 又2b-4a=2(a+2b)-(6a+2b),所以-3≤2b -4a≤3. 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 15,解，(1由2-及正孩定理得密-器， .....。a.c.a...e。a.....e sin A sin A' …3分 所以2sinC=cosC, …4分 所以amC-0-分 6分 (2由(1知tamC=号则csC=2 , …8分 由余弦定理，得c2=a2十b2-2 abcos C=5十9-12=2，…11分 则c=√万，…12分 所以△ABC的周长为5十3十√2.…13分 16.（1)证明：因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD.…1分 又PA⊥AB,AB/CD,所以PA⊥CD.…2分 1 又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.…4分 又CDC平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.·5分 (2)解：由PA⊥AB,AB=1,PB=√5，可得PA=√2.…6分 因为AD=2,PD=√6，所以PA2+AD2=PD2,则PA⊥AD.… B …7分 由AB∩AD=A,可得PA⊥平面ABCD,则AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点， AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,02),…8分 PC=(1,2,一√2)，Pi=(0,2,一√2).…9分 设平面PCD的法向量为m=(xy,z),则由 m·PC=0,x+2y-2x=0, 、可得 0 m.PD=0,2y-√2z=0, …10分 令之=√2，可得m=(0,1,2).… …11分 易知平面PAB的一个法向量为AD=(0,2,0).…12分 又cos(m,Aj)=m·AD =2-3 |m|AD1253' …14分 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为3，了 …15分 a6=9, a1+5d=9, 17.解：(1)设{an}的公差为d,由 可得 …2分 1S3=51, 3a1+3d=51, a1=19, 解得 …4分 d=-2, 则an=a1十(n一1)d=21一21，…6分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (2)由(1)可知S.=a1+a.)m=-n2+20m, 2 …8分 则-2+20L,……9分 记|引}的前n项和为T,当m≤20时，受≥0，则工。=19十18十…+20-n= (19+20-1)2_391-n2 2 …11分 2 当n>21时， S<0,则T。=19+18+…+1+0+-1+…+20-n…12分 =-39m2n2+2Tn=n2-39m+760 2 …14分 2 39n-n 2 ,n≤20， 综上，Tn= 15分 n2-39n+760 2 ,n>21. a2 18.(1)解：由题可知a2=b2+2, …2分 b=1, [a=2, 解得b=1, …3分 c=5, 则C的方程为行十y2=1.…4分 (2)(1)证明：由(1)可得M(一2,0).设直线PM的方程为x=ty一2(t≠士2)， 则D(0,2）.…5分 [x=ty-2, 管+w= 可得(t2+4)y2-4y=0, 则P(年) …6分 则kpB= ,t+2 212-8 21-4' 12+4 则直线PB的方程为y=法号-1，则E(。小 …7分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 又s,=2AD11oM=1-2引-，|， …8分 s=1D1o=引2+‖-引-引2生.24引-号乳…9分 所以S1=S2,… …10分 (ⅱ)解：记△ODE外接圆的圆心为Q, 因为OD10E,所以Q为线段DE的中点，则Q(行号，}) …11分 因为点P在△ODE外接圆的圆外，所以|PQ|>OQ|,…12分 则-岸+（年>≥(+： …13分 则43-4)2-42+4-2》2+82-32_81-2213+2>0，…14分 (2+4)2 (t2+4) 解得>2.… …15分 因为， 由>2，可得+4>4， …16分 所以0<4<1，故点P的纵坐标的取值范围为(0,1）.…17分 4 -ln x-ar,0<r<1, -a,0<x<1, 19.解：(1)f(x)= 所以f'(x) …1分 lnx-ax,x≥l, -a,x≥1， 则f'(日)=-e-a,f'(e)=是 a …2分 因为曲线y=f(x)在x=e处的切线与在x=一处的切线的倾斜角互补，所以（一e一a)十 (日-a）=0,… …3分 1 e 解得a=2e一2 ，…4分 (2(1)令f(x)=lnx-ax=0,则a=1lnzl x …5分 21,0x<1, 令g(x)=ln,则g(x)= _nx,0<x<1 3 所以g(x)= …6分 xr≥1， 1-In x x2.x≥1， 则g(x)的单调递增区间为(1，e),单调递减区间为(0，l),(e,+∞). …7分 又g1)=0,g(e)=日，fx)有三个零点，所以u的取值范围为(0，君) …9分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (i)证明：由(i)可知0<x1<1<x2<e<xa· 下面证明：x:好>e>是 ①要证明x2x>e3,只需证明lnx2十2lnx3>3. 3 又lnx2=ax2,lnx3=a.x3,即证a.x2+2a.x3>3,所以上式等价于证明a> x2十2x3 …10分 In Za 由lnx,=ax2,ln=ar,得ln=a(z,-x),则a= 3-x2 In x2 3 所以只需证明x,-x2之x2十2x 即证h2>3(x3一x2) 3(s-1） x2+2x3 1+2 00e。。。,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。ee8ee0e00e058e T2 令1=，则>1，上式等价于证明1n1>3) T> 1+2t 令a0=h4-+》则h'0)-}-31+20-D-==9 3(1-1) (1+2)2 t(1+2)2 因为>1，所以h'()>0恒成立，所以h()在(1，十∞)上单调递增， 所以当>1时，h()>h1)=0,即1n>3 1+211 所以原不等式成立，即x2x>e3.…I3分 ②要证明对>。只霜证明≥， 由(1)知 5--景 ……15分 因为gr)在0.1)上单调递减，所以1>x> 成立.…16分 综上x2xx>e2. …17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP