专题07 抛物线与方程9大题型（寒假复习讲义）高二数学人教B版

专题07 抛物线与方程9大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 知识点2：抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点3：通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 知识点4：直线与抛物线 1．直线与抛物线的位置关系 设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程. （1）若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. （2）若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 注:（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. （2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 2．弦长问题 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,那么线段叫做焦点弦, 如图:设AB是过抛物线焦点的弦,若,则. 注:（1）；（2）；（3）是直线AB的倾斜角) （4）为定值是抛物线的焦点). 3.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 【题型01 求抛物线的方程】 1．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 2．已知圆与抛物线交于A，B两点，若为正三角形，则（   ） A． B． C． D． 3．若抛物线的准线方程为，则 . 4．双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 ． 5．已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点，则C的准线方程为 ． 【题型02 抛物线的简单几何性质】 6．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 7．已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 9．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 10．已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A．或 B． C．或 D． 11．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【题型03 抛物线的定义及应用】 12．已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，，则（   ） A． B． C． D． 14．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．4 15．抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是 . 16．已知抛物线：，圆：，若点、分别在、上运动，直线过定点，则的最小值为 ． 【题型04 抛物线的弦长问题】 17．设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 18．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 . 19．抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为 ． 20．已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 . 21．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是 ． 22．直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 【题型05 抛物线的中点弦问题】 23．已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 24．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为 ． 25．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为 ． 26．已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则 . 27．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且弦AB的中点的横坐标为，求直线l的斜率. 28．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【题型06 抛物线的面积问题】 29．已知抛物线过其中两点，为的焦点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 30．已知抛物线方程为，求抛物线焦点的坐标 ，已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则的面积为 ． 31．设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为 . 32．已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 33．已知抛物线的焦点到其准线的距离为. (1)求抛物线的准线方程； (2)设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程. 【题型07 抛物线的最值范围问题】 34．已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 35．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 36．已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 38．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 39．如图所示，双曲线与抛物线围成封闭曲线，若对于轴上一定点，上恰有3对不同的点关于点对称，则实数的取值范围是 . 40．若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为 . 【题型08 抛物线的定点问题】 41．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点． (1)求线段的长度； (2)若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点． 42．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点，当直线垂直于轴时，.    (1)求的方程； (2)设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率为，，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 43．已知抛物线（），焦点为，对于抛物线上一点，记，已知的最小值为1，将点向上平移个单位长度，得到点. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为，，求的值； (3)记点到直线的距离为，证明：以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 44．已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 45．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且． (1)求的值； (2)求面积的最小值； (3)求证：直线过定点． 【题型09 抛物线的定值问题】 46．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 47．已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 48．已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. (1)当点为坐标原点，时，求的面积； (2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率； (3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 49．过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 50．已知为抛物线的焦点，点在拋物线上，且点的纵坐标为3，以线段为直径的圆与直线相切． (1)求抛物线的方程； (2)直线交抛物线于两点，作于点，若直线的斜率之和为3，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 51．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 52．已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. (1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. (2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 一、单选题 1．抛物线的焦点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知为坐标原点，为抛物线 的焦点，为上一点，，则（    ） A． B． C．4 D． 3．设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 5．已知抛物线的焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．准线为 B．若，则 C．若，则 D．到距离最小为3 9．已知抛物线的焦点为F，过F作直线l与C相交于A，B两点，则（   ） A．焦点F与C的准线的距离为1 B．的最小值为2 C．存在直线l，使得 D．若，则的最小值为 三、填空题 10．抛物线的焦点到准线的距离为，则 ． 11．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，若与相交于，两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 . 12．已知点在抛物线：（上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为 . 四、解答题 13．已知抛物线经过点. (1)求的方程； (2)若是上异于的一点，且直线的倾斜角为，求线段的长. 14．设抛物线的准线被圆所截得的弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)设点是抛物线的焦点，过的直线交于，两点，已知的面积为，求直线的方程. 15．已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 16．已知为抛物线：的焦点，直线：经过，且与相交于，两点，过点的动直线与相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线与方程9大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 知识点2：抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点3：通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 知识点4：直线与抛物线 1．直线与抛物线的位置关系 设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程. （1）若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. （2）若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 注:（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. （2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 2．弦长问题 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,那么线段叫做焦点弦, 如图:设AB是过抛物线焦点的弦,若,则. 注:（1）；（2）；（3）是直线AB的倾斜角) （4）为定值是抛物线的焦点). 3.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 【题型01 求抛物线的方程】 1．方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 2．已知圆与抛物线交于A，B两点，若为正三角形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设直线与轴交于点， 因为为正三角形，所以，则，，则， 由，得． 故选：C 3．若抛物线的准线方程为，则 . 【答案】4 【详解】因为准线方程为，故，所以. 故答案为：4. 4．双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的焦距为， 由双曲线的方程可得：，解得：， 所以双曲线的焦点坐标为：， 因为抛物线的准线方程为：，且，所以， 故双曲线的焦点在抛物线的准线上， 由题意可得，解得：， 所以抛物线的方程为：， 故答案为：． 5．已知顶点在坐标原点且开口向上的抛物线C过点，则C的准线方程为 ． 【答案】 【详解】因为抛物线开口向上，所以设抛物线标准方程为， 又抛物线过点，则， 所以准线方程为. 故答案为：. 【题型02 抛物线的简单几何性质】 6．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 7．已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记点，，则， 所以， 由，所以，当且仅当时，取最小值. 即点到点的距离的最小值为. 故选：C. 8．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为 . 【答案】或 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 9．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 10．已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由题可知：抛物线的焦点为，准线方程为， 假设等边三角形的边长为，如图： 由于，根据抛物线关于轴对称可知：与也关于轴对称，且满足垂直于轴. 设，所以，即， 又或， 得：或， 解得：或. 故选：A 11．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 【题型03 抛物线的定义及应用】 12．已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的焦点为，则，则， 又，则，所以的最小值为， 故选：A. 13．（多选）已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意可知的坐标为，因为，故， 当且仅当，，共线时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； 设在的准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线时等号成立，此时，，故B正确； 故，当且仅当，，共线时等号成立，故C错误； 由A，B选项可知， 当且仅当的坐标为时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 14．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．4 【答案】B 【详解】抛物线方程为，根据抛物线的标准形式，其焦点为，准线方程为. 因与垂直，故存在且不为0，直线过焦点， 设直线的斜率为，方程为. 将直线方程代入抛物线方程，联立得： 设、，由韦达定理得： 因，，故： 因，故直线的斜率为，直线的方程为. 同理可得. 根据题设，将、代入得， 即，解得，故抛物线方程为， 此时焦点，准线方程为. 设点到准线的垂线段为（为垂足）， 则，因此， 表示点到准线的距离与到点的距离之和. 根据几何最短路径原理，当、、三点共线（且该直线垂直于准线）时，距离和最小. 此时的坐标为，则，即. 综上，的最小值为. 故选：B 15．抛物线上一点与焦点的距离等于5，且在第一象限内，则的坐标是 . 【答案】 【详解】由题意设，， 抛物线准线方程为， 由抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，可得：， 即，代入抛物线方程可得， 所以， 故的坐标是， 故答案为： 16．已知抛物线：，圆：，若点、分别在、上运动，直线过定点，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】 如图，由题意知是抛物线：的焦点， 圆：的圆心，半径为1， 因为点、分别在、上运动，所以， 直线即， 由得，所以定点， 过点作准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为：6 【题型04 抛物线的弦长问题】 17．设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以. 故选：A. 18．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 . 【答案】（或12.5）. 【详解】由题知：，则抛物线方程为， 所以焦点的坐标为，准线方程为， 设，则，解得， 将代入抛物线方程，得，即，故或， 因为直线过和，则斜率（取 为例，符号不影响结果）， 所以直线方程为，即， 联立直线与抛物线方程得， 代入得 ，化简为 ， 由韦达定理得， 因为，则， 根据抛物线定义，， 因此（或12.5）， 故答案为：（或12.5）. 19．抛物线的焦点为F过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【详解】，， 抛物线的方程为. 故答案为：. 20．已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】设直线的斜率为，， 由，得，解得， 又，则，由都在第一象限，得， 而，且，则， 所以抛物线方程为， 故答案为： 21．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是 ． 【答案】 【详解】设点的横坐标分别为，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以此抛物线方程是. 故答案为： 22．直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】联立方程组，整理得， 设直线与曲线的交点为， 可得，解得，且， 由弦长公式， 可得 ， 解得. 故答案为：. 【题型05 抛物线的中点弦问题】 23．已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 24．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为 ． 【答案】 【详解】由抛物线，得焦点为，准线方程为， 设， 因为线段的中点为，所以，且到轴的距离为， 由抛物线定义及三角形三边关系定理，可知， 当且仅当三点共线时等号成立， 则，即到轴的最小距离为. 故答案为：. 25．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 26．已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则 . 【答案】1 【详解】设， 因为两点在抛物线上， 所以，① ，② ②①得：， 即， 由题意知， 又的中点坐标为，所以， 所以， 此时，抛物线方程为，直线与抛物线的交点为， 点在抛物线内，直线和抛物线相交. 故答案为：1. 27．已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且弦AB的中点的横坐标为，求直线l的斜率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由双曲线的一个焦点为，得，解得， 抛物线的焦点为，依题意，，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）设，由弦AB的中点的横坐标为，得， 所以直线l的斜率. 28．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【题型06 抛物线的面积问题】 29．已知抛物线过其中两点，为的焦点. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）若点在上，则，解得， 此时，点B不在E上； 若点在E上，则，无解； 若点在E上，则，无解. 综上，E的方程为. （2）如图，可知直线的斜率可能不存在，但不为0， 设 联立l及E的方程得，则 此时，，解得. 故直线的方程为或. 30．已知抛物线方程为，求抛物线焦点的坐标 ，已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则的面积为 ． 【答案】 【详解】①将方程化为标准形式，对应抛物线的形式，得，即. 焦点坐标为，故焦点的坐标为. ②抛物线的焦点为，设点的坐标为. 在中，，利用向量数量积公式：. 其中，，； ，，代入得，解得. 的纵坐标绝对值为，的面积为. 故答案为：； 31．设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为 . 【答案】 【详解】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为， 由题意得，， 当过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不符合要求，舍去， 设过点的直线方程为，， 与抛物线联立得， 设，， 则，， 因为，设， 则，即， 将代入，中，解得， 如图所示，可知，，. 因为∽，所以，故， 即，解得， 则到抛物线准线的距离为， 假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为 同理可得，故到抛物线准线的距离为， 综上，到抛物线准线的距离为. 故答案为：. 32．已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 对于直线，令，可得， 可知焦点，即，可得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0， 设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，可得，， 则， 可得的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为8. 33．已知抛物线的焦点到其准线的距离为. (1)求抛物线的准线方程； (2)设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）抛物线焦点为，准线为， 由题意得，故准线方程为. （2）由（1）可得抛物线的方程为，焦点， 显然直线的斜率不可能为零，故可设直线的方程为， 代入抛物线方程整理得，， 设，则， ， ， 由，得，解得， ∴直线的方程为或. 【题型07 抛物线的最值范围问题】 34．已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即， 所以，因为当时，最小， 所以，故的最小值是. 故选：B.    35．已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，点在准线上的投影分别为，线段的中点在上的投影为 则，，， 由，即，得， 而，即，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 36．已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作，垂足为， 由题意可知，直线的方程为，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可知，， 则，等号成立时三点共线， 点到直线的距离为， 故的最小值为. 故选：C 37．已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故选：A． 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解. 38．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心为，由题意作图如图，由与圆相切， 则，且， 故. 设，则，可得 故当取最小值，且最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用和将问题转化成求的最小值. 39．如图所示，双曲线与抛物线围成封闭曲线，若对于轴上一定点，上恰有3对不同的点关于点对称，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】过点与轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点对称，且这两个点在同一曲线上， 则另外两对对称点必不在y轴上，且这两对对称点关于y轴对称，每对对称点所在直线与x轴不平行，如下图所示， 当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为在双曲线上， 联立可得， 所以，即， 该点关于点的对称点为，由题意可知这个点在曲线上， 则，所以， 当时，，点在轴上，不合题意， 当时，，对称点所在直线与x轴平行，不合题意， 所以，且当时，有两个与之对应（如图中所示）， 所以只需方程在时只有一解即可， 因为函数在上单调递减， 所以在上至多有一解， 当时，，故，此时在时只有一解． 故答案为：． 40．若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】不妨设点，则点到直线的距离为， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【题型08 抛物线的定点问题】 41．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点． (1)求线段的长度； (2)若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，所以的方程为， 设，， 联立方程，得， 所以，， 由抛物线的定义，得.    （2）易知直线的斜率不为，设直线，，， 联立方程，所以， 所以，，， 因为直线的斜率之积等于，即，即， 又，， 所以，即， 所以，解得， 所以直线过定点．    42．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点，当直线垂直于轴时，.    (1)求的方程； (2)设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率为，，求的值； (3)证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）当直线垂直于轴时，， ，解得， 则的方程为； （2）由（1）知的方程为，， 设， 直线， 联立，得， ， 由题意可得， 直线的方程为， 联立，得， ， ∴，同理可得， 由斜率公式可得，， ∴， 即； （3）由题可知直线斜率不为，可设直线方程为， 联立，得， ，， 由（2）知，，，， ，解得， 所以直线方程为，过定点． 43．已知抛物线（），焦点为，对于抛物线上一点，记，已知的最小值为1，将点向上平移个单位长度，得到点. (1)求抛物线的方程； (2)若为坐标原点，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为，，求的值； (3)记点到直线的距离为，证明：以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）如下图所示： 设点，则， 因为，所以最小值为，则， 故抛物线的方程为. （2）由题意可知，直线斜率不为0， 设直线， 联立方程，则. 又， 所以. （3）设，则，故，所以， 得圆. 化简得， 令， 解得， 所以以为圆心，为半径的圆始终经过定点. 44．已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，得，， 则①，②， ②-①，得，即， 所以的标准方程为. （2）将点代入的方程，得，所以，即点. 设，，其中，，且. 因为，所以， 即， 整理，得，所以. 直线的方程为， 即， 所以当时，，所以直线恒过定点. 45．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且． (1)求的值； (2)求面积的最小值； (3)求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)4 (3)证明见解析 【详解】（1）设直线的方程为，则由，得， 所以． 由，得，所以． 因为，所以， 又因为，所以． 方法二：设，，由题可知，. 因为，所以，所以. 又，所以. （2）设直线的方程为，，，，， 则由得，所以． 因为，所以的面积是的面积的2倍． 因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是2， 所以的面积的最小值是4． （3）由（1），，可得． 设直线的方程为，则由，得， 由，得，所以． 所以． 设直线的方程为，又因为抛物线， 可得，得，所以． 所以，所以，所以直线的方程为， 所以直线过定点． 【题型09 抛物线的定值问题】 46．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 47．已知直线l：与抛物线C：相切于点P. (1)求C的方程以及点P的坐标. (2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由可得（*）， 由题意知，解得（舍去）， 所以C的方程为. 将代入（*）式可得，解得， 将代入C的方程可得：，即. （2）（i）易知L的斜率存在且不为0，设， 与C的方程联立，得. 由及点P不在L上，得或或. 设，，则，. 当轴时，，即，满足题意， 所以L的方程为. （ii）由（i）可得， . 所以， 即为定值. 48．已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. (1)当点为坐标原点，时，求的面积； (2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率； (3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）当时，圆与轴不相切， 设过原点与圆相切的直线方程为， 联立消去得：， 由得， 不妨记直线的方程为，代入得：， 解得或，所以，由对称性可知，， 所以. （2）由题知，所以与轴垂直，故直线的斜率存在，且互为相反数， 设直线的方程为，即，， 联立得， 则，，即， 同理可得，又， 所以直线的斜率. （3）设，由题意可知，圆与抛物线没有交点， 当的一边所在直线斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则关于轴对称， 若直线始终与圆相切，则由对称性可知点必在轴上，即与原点重合， 此时直线方程为，直线的方程为，即， 依题意，，得 又，所以，解得或（舍去）， 所以. 所以，当点在抛物线E上运动时，若存在实数，使得直线始终与圆相切，则， 下证时，直线始终与圆相切： 如图，由上可知，三点的横坐标各不相等， 设点、、， 则直线的方程为，即， 同理可得直线的方程为， 所以直线的方程为， 因为直线与圆相切，则，即， 同理由直线与圆相切得， 则、为方程的两个不等的实根， 则，， 点到直线的距离为， 即直线与圆相切， 综上所述，存在，使得当点在抛物线上运动时，直线总与圆相切. 49．过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设直线与轴交于，由几何性质得 因为直线为抛物线的准线，直线为圆的切线， 所以， 在与中，为公共角， 所以，， 即，即，解得： 故抛物线的标准方程为; （2）解法一：依题意：，则，设， 则， 因为直线经过坐标原点，所以， 又，在抛物线上，，两式作差得，化简得， 因为，所以， 化简可得，即， 联立，得： ， 将代入得，为定值. 故. 解法二：向左平移4个单位后，新抛物线为， 则与轴的交点为， 因为直线经过原点，所以设其方程为， 设直线方程为，设直线方程为， 点和是直线与抛物线的交点，代入中得： ， 设该方程的两根为和，根据韦达定理：① 点在直线上，满足：② 点在直线上，满足：③ 联立方程： 由②和③得：， 利用①中的韦达定理结果：， 所以，即点的横坐标恒为， 故. 50．已知为抛物线的焦点，点在拋物线上，且点的纵坐标为3，以线段为直径的圆与直线相切． (1)求抛物线的方程； (2)直线交抛物线于两点，作于点，若直线的斜率之和为3，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意得点的坐标为，焦点的坐标为， 根据抛物线的定义得，即以线段为直径的圆的直径为． 记线段的中点为，则点的坐标为， 因为以线段为直径的圆与直线相切， 所以有，解得， 所以抛物线的方程为． （2）设直线的方程为，易验证必存在且不为0． 与抛物线方程联立得， 不妨设，则可得， 由（1）得点的坐标为， ， 化简得所以直线的方程为， 所以直线恒过定点． 因为于点所以在直角三角形中， 令为线段的中点，坐标为， 此时． 51．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点. (1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点； (2)若上存在点，使得，证明：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设. 设，与抛物线联立，得， 则，即，同理可得. 又因为，令，得，同理， 将代入得，所以为的中点. （2）方法1：设，因为，得①， 由，得， ①②， 得， 即， 即. 因为，所以， 则，即为定值-4. 方法2：设，因为，所以， 即，同理得， 所以， 由，得①， 同理②，③， 由①-②，得④， 由①+②+③，得， 即， 而 故结合④可得， 则 ， 所以为定值-4. 52．已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. (1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. (2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)，曲线是抛物线 (2)①32；②存在， 【详解】（1）由题意，点到定点的距离与它到定直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即曲线是抛物线.由题意知，抛物线开口向右，且，所以 ， 所以抛物线的标准方程为. （2）①设. 由题意知，直线的倾斜角不为0，设直线的方程为. 由消去，化简得 . ，则， 所以 . 因为， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是32. ②假设存在直线满足题意.设以为直径的圆为圆，则 . 如图，过点作，垂足为. 设圆与直线的一个交点为，连接，则. 又，所以 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值. 因此存在直线满足题意 一、单选题 1．抛物线的焦点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为抛物线变形得. 易知，所以，抛物线开口向上，所以焦点坐标为. 故选：C. 2．已知为坐标原点，为抛物线 的焦点，为上一点，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以，解得， 因为为上一点，所以，故. 故选：B 3．设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由题可知的坐标为的准线的方程为， 由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离， 所以的最小值为到的距离，即最小值为. 故选：D 4．如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 5．已知抛物线的焦点为,是抛物线上一动点，为坐标原点，在线段上，且满足，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知抛物线的焦点为， 设点，因为在线段上，且满足，则， 设点，可得， 所以，解得，即点， 因为点在抛物线上，所以，所以， 所以，要求的最大值，只需考虑， 此时， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故直线斜率的最大值为. 故选：D. 6．手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】抛物线的焦点， 设过点的抛物线弦所在直线方程为， 由消去得， 设弦的两个端点坐标为， 则，当时，；当时，， 因此两条光线第二次反射的反射点的纵坐标分别为， 所以两次反射后，两条反射光线之间的宽度为. 故选：D 7．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 点为抛物线上一点， ， 抛物线方程为， 圆的圆心为，半径， 设过的切线方程为，即， 圆心到切线的距离等于半径， ， 设两条切线的斜率为，满足， 联立切线与抛物线方程得， 由韦达定理得切线与抛物线的另一交点或的纵坐标为，则， 设点， 则，， ，故A正确． 故选：A． 二、多选题 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．准线为 B．若，则 C．若，则 D．到距离最小为3 【答案】AC 【详解】抛物线，则准线方程为：，故A正确； 若，则，故，代入抛物线方程可得：，故，故B错误； 由B选项可知，，则，故C正确； 到的距离为，当时，距离有最小值，故D不正确. 故选：AC 9．已知抛物线的焦点为F，过F作直线l与C相交于A，B两点，则（   ） A．焦点F与C的准线的距离为1 B．的最小值为2 C．存在直线l，使得 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，抛物线，其标准方程为， 其焦点到准线的距离为，A正确； 对于B，由题意知直线l的斜率必存在，设过焦点的直线l的方程为，设，将代入，可得，， 由韦达定理可知， ，又， 则，所以， 因为，所以当时，取得最小值2，选项B正确； 对于C，若，则， 由于，故， 故，故不存在直线l，使得，C错误； 对于D，因为，故点在抛物线内，如图， 设点A到准线的距离为d，根据抛物线的定义知， 则，其最小值为点到准线的距离，    此时过点M向准线作垂线，和抛物线的交点即为A点， 故点到准线的距离为， 即得的最小值为，所以选项D正确， 故选：ABD 三、填空题 10．抛物线的焦点到准线的距离为，则 ． 【答案】 【详解】由题设，抛物线的标准形式为，则，可得， 故答案为：． 11．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，若与相交于，两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 . 【答案】 【详解】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由， 消去得，设， 则，线段中点， ，则以为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 12．已知点在抛物线：（上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以， 则表示点到轴的距离与到直线：的距离之和的倍， 点到轴的距离等于点到准线的距离减1， 设抛物线的焦点为，则点到轴的距离等于， 故， 设点到直线：的距离为，如图， 由图知， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知抛物线经过点. (1)求的方程； (2)若是上异于的一点，且直线的倾斜角为，求线段的长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由抛物线经过点，得，解得， 所以的方程为. （2）因为直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即. 由，得，解得或， 所以的坐标为 所以，即线段的长为. 14．设抛物线的准线被圆所截得的弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)设点是抛物线的焦点，过的直线交于，两点，已知的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 把代入中，得， 因为抛物线的准线被圆所截得的弦长为， 所以， 因此抛物线的方程为； （2）由（1）可知抛物线的方程为，焦点， 由题意可知该直线存在斜率，因此设直线的方程为， ， 显然， 设，， ， 点到直线的距离为， 因为的面积为， 所以， 所以直线的方程为，或.    15．已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2．    (1)求抛物线的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为焦点到抛物线准线距离为2． 所以，因此抛物线的标准方程为； （2）当直线的斜率为零时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 设直线的方程为，将直线的方程和抛物线方程联立，得 ， 由题意可知， 设，于是有， 焦点的坐标为， 因为重心恰好是抛物线的焦点，所以有 ， 此时， 所以所在的直线方程为. 16．已知为抛物线：的焦点，直线：经过，且与相交于，两点，过点的动直线与相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明见详解 【详解】（1）抛物线的焦点为，由题意可知， ，解得，故抛物线C的方程为． （2）将代入，得， 设，，则，， 由抛物线的定义可知，，， 故． （3）易知动直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，整理得， 则，，， 所以的面积为， 由题意得，，解得， 所以直线的方程为，则，故． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $