2.7.2 抛物线的几何性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．7.2　抛物线的几何性质 知识点一　抛物线的几何性质 1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：C 解析：y2＝8x的焦点到准线的距离为4. 2．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A． B． C． D．0 答案：B 解析：抛物线y＝4x2的准线方程是y＝－，设M(x，y)，由抛物线的定义知，y＋＝1，所以y＝. 3．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　) A．(－m，－n) B．(m，－n) C．(－m，n) D．(－n，－m) 答案：B 解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上． 知识点二　由抛物线的几何性质求标准方程 4．已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝2y B．x2＝2y或x2＝－2y C．x2＝4y D．x2＝4y或x2＝－4y 答案：D 解析：由题设知抛物线的焦点坐标为(0，1)或(0，－1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－4y.故选D. 5．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 答案：C 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线的方程为y2＝±x.故选C. 知识点三　抛物线性质的应用 6．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A． B．1 C． D． 答案：C 解析：根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|＋|BF|)－＝－＝.故选C. 7．如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨OA长约500米，主塔AB的高约100米．缆悬索OB是以O为顶点并开口向上的抛物线C的一部分，则主塔顶端点B到抛物线C的焦点F的距离为________米． 答案：725 解析：以O为坐标原点，过O且与主塔AB平行 的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(500，100)，设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，则5002＝2p×100，解得p＝1250，所以抛物线C的准线方程为y＝－625，|BF|＝100＋625＝725. 8．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离为69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm) 解：如图，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处． 在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为. 将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0)． 因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处． 一、单项选择题 1．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示(　　) A．F到y轴的距离 B．F到准线l的距离 C．F的横坐标 D．F到抛物线上一点的距离 答案：A 解析：∵焦点到准线的距离为2p，∴p表示点F到y轴的距离．故选A. 2．已知点P在抛物线x2＝－6y上，且A(0，－2)，则|PA|的最小值为(　　) A．2 B． C．3 D．4 答案：A 解析：设点P的坐标为(x，y)，点P在抛物线x2＝－6y上，∴|PA|2＝x2＋(y＋2)2＝y2－2y＋4＝(y－1)2＋3，∵y≤0，∴当y＝0时，|PA|取得最小值2.故选A. 3．一个动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(　　) A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2) 答案：B 解析：由题意得，抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2.因为动圆与直线x＝－2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点(2，0)．故选B. 4．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(x0，1)在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若|PO|＝|PQ|(O为原点)，则F到l的距离为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 答案：C 解析：易知抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义可得|PO|＝|PQ|＝|PF|，所以＝，解得p＝4，因此F到l的距离为4.故选C. 5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　) A．3 B．2 C． D． 答案：A 解析：由于倾斜角α＝60°，则＝＝＝＝3. 二、多项选择题 6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，则m的值可能为(　　) A．2 B．－2 C．2 D．－2 答案：CD 解析：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，∴解得∴m＝±2.故选CD. 7．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，焦点到准线的距离为2，Q为C上的一个动点，则(　　) A．C的焦点坐标为(1，0) B．若M(3，5)，则△QMF周长的最小值为11 C．若M(0，4)，则|QM|的最小值为2 D．在x轴上不存在点E，使得∠QEF为钝角 答案：BCD 解析：对于A，抛物线C：x2＝2py(p>0)，焦点到准线的距离为p＝2，则C：x2＝4y，焦点F(0，1)，故A错误；对于B，∵M(3，5)，F(0，1)，∴|MF|＝＝5，设Q到准线y＝－1的距离为d，M到准线y＝－1的距离为d′＝5－(－1)＝6，则△QMF的周长为|MF|＋|FQ|＋|QM|＝5＋d＋|QM|≥5＋d′＝5＋6＝11，故B正确；对于C，设Q，M(0，4)，则|QM|＝＝＝，当x＝8时，|QM|的最小值为2，故C正确；对于D，设E(t，0)，∵Q，F(0，1)，∴＝(－t，1)，＝，∴·＝(－t，1)·＝－tx0＋t2＋＝≥0，∴cos∠QEF＝≥0，∴∠QEF不可能为钝角，故D正确．故选BCD. 三、填空题 8．已知抛物线的离心率为e，焦点坐标为(0，e)，则抛物线的标准方程为________． 答案：x2＝4y 解析：由e＝1，得焦点坐标为(0，1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y. 9．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝________． 答案：±2 解析：设正三角形的边长为x.36＝x2sin60°，∴x＝12.当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2；当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，故a＝±2. 10．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，|AB|＝________． 答案：6　4 解析：设准线与y轴的交点为D，如图，在正三角形ABF中，|DF|＝p，|BD|＝p，则点B的坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.得A(－2，－3)，B(2，－3)，故|AB|＝4. 四、解答题 11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为1. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上一点A到F的距离是4，求点A的坐标． 解：(1)∵抛物线的焦点为F， 又双曲线的渐近线方程为y＝±x， 即x±y＝0， ∴焦点F到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为＝1，解得p＝4， ∴抛物线C的方程为y2＝8x. (2)设A(x0，y0)，由抛物线的定义可知|AF|＝x0＋＝4， 即x0＋＝4，解得x0＝2， 将x0＝2代入抛物线方程y2＝8x，得y0＝±4， ∴点A的坐标为(2，4)或(2，－4)． 12．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．若行车道总宽度AB的长为8 m. (1)计算车辆通过隧道时的限制高度； (2)现有一辆载重汽车宽3.5 m，高4.2 m，试判断该车能否安全通过隧道？ 解：(1)建立如图所示的坐标系， 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 根据题意，此抛物线经过点(－5，－5)， 代入抛物线方程，解得p＝， 所以抛物线的方程为x2＝－5y. 在此方程中，令x＝－4，得y＝－3.2，7－3.2－0.5＝3.3， 所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3 m. (2)对于抛物线x2＝－5y， 令x＝3.5，得y＝－2.45， 因为7－2.45－0.5＝4.05<4.2， 所以该车不能安全通过隧道． 13．已知△ABC的顶点都在抛物线F：y2＝4x上，若△ABC重心的纵坐标为，则＋＋＝________． 答案： 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∴y＝4x1，y＝4x2，y＝4x3，由y＝4x1，y＝4x2，相减可得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴kAB＝＝，同理可得kAC＝，kBC＝.由题意可得(y1＋y2＋y3)＝，∴y1＋y2＋y3＝1.∴＋＋＝＋＋＝(y1＋y2＋y3)＝. 14．已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； (2)P是抛物线上一点，点Q(4，0)，求|PQ|的取值范围； (3)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 解：(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)设P(x0，y0)，则y＝8x0(x0≥0)， |PQ|＝＝＝≥＝4， 当且仅当x0＝0时，|PQ|min＝4， 所以|PQ|的取值范围是[4，＋∞)． (3)如图所示， 由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴， 设垂足为M， 又焦点F是△OAB的重心， 则|OF|＝|OM|. 因为F(2，0)， 所以|OM|＝|OF|＝3， 所以M(3，0)． 将x＝3代入y2＝8x，得y2＝24， 所以y＝2或y＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以|OA|＝|OB|＝，|AB|＝4， 所以△OAB的周长为2＋4. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$