寒假作业10 不等式与函数结合问题4类重点必刷题型（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业10 不等式与函数结合问题 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 4、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 基本不等式的应用 1．（2026高三·全国·专题练习）《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川遂宁·期末）若 且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 3．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 4．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26高三上·河南·月考）设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 6．（2026高三上·贵州贵阳·专题练习）已知，且，则的最小值为 . 7．（25-26高三上·上海金山·月考）已知，，且，的最小值为 ． 题型二 二次不等式的韦达定理与根的判别式 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南通·月考）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值 ． 题型三 不等式的恒成立问题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（2025高一上·全国·专题练习）不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 6．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型四 不等式的能成立问题 1．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·自主招生）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（） A．或 B．且 C．且 D．或 3．（25-26高一·全国·假期作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是 . 1．（25-26高一上·河南南阳·月考）人工智能的某神经元输出函数可表示为为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南湘潭·月考）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东广州·月考）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是 . 6．（2025高一上·全国·专题练习）若方程的两实根均在区间内，求的取值范围 ． 7．（25-26高一上·上海·月考）已知（），若对于任意的，都存在，使得对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 8．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为 . 9．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知．当时，的两根为，则的最小值为 ；当时，恒成立，则的最小值为 ． 10．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 1．（25-26高一上·天津南开·月考）南开是中国北方话剧的摇篮，今年是话剧《一元钱》在南开首演的一百一十周年．为纪念这一历史，刚刚从我校毕业并仍心系母校的欧阳南德与上官琐艾同学为学校设计了一座“和静庄舞台”，希望新剧的火焰、进步的思潮仍在今日的南开闪耀．下图为“和静庄舞台”的平面示意图，它的设计灵感来自南开中学的校徽，四边形与EFGH为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域（即两个正方形的公共部分）为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积（即五个阴影等腰直角三角形面积总和）为定值时，舞台面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁营口·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南娄底·月考）设为正实数，则的最小值是 ． 4．（25-26高一上·河南·月考）设表示集合中的元素个数.定义，若，则实数的所有可能值之和为 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业10 不等式与函数结合问题 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 4、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 基本不等式的应用 1．（2026高三·全国·专题练习）《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 2．（25-26高一上·四川遂宁·期末）若 且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1”的代换的方法，结合基本不等式即可求的最小值. 【详解】由题可得； 当且仅当，即时等号成立，的最小值为8. 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 4．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将已知等式进行变形得到，然后将目标式变形为，然后根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 那么. 因为，所以. 所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时等号成立. 此时取最小值为1. 故选：C. 5．（25-26高三上·河南·月考）设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 6．（2026高三上·贵州贵阳·专题练习）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由基本不等式有，，可得，再令，解得的值即可求得的最小值. 【详解】，则有，， 可得 令，解得，所以，即， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 7．（25-26高三上·上海金山·月考）已知，，且，的最小值为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 题型二 二次不等式的韦达定理与根的判别式 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可得和1是方程的根，且，然后由根与系数的关系用表示出，，代入中化简后，再解不等式即可 【详解】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·期末）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】此题主要解一元二次不等式，先确定方程的根，由二次项系数为正，抛物线开口向上，进而确定不等式“大于取两侧”得出解集即可. 【详解】由不等式，可得，或， 故不等式的解集为或， 故选：. 3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】含参分类讨论解不等式，再结合解集中恰有3个整数即可求出答案. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 4．（25-26高一上·江苏南通·月考）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值 ． 【答案】（答案不唯一，满足的都可以） 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由全称量词命题为真求出，再取补集即可． 【详解】假设命题“”是真命题， 则恒成立，即恒成立， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 因此若命题“”是假命题，则， 所以所求实数的一个值为． 故答案为：. 题型三 不等式的恒成立问题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】将原不等式常变量分离，通过换元法，结合一元二次方程根的判别式法进行求解即可. 【详解】将不等式变形为，记，则问题转化为求的最大值问题． 中分子、分母同时除以正数，变形得， 令，则，整理得， 将方程看成关于的一元二次方程， 因为，所以方程一定有正实数解， 所以， 由，得，解得， 由，得， 由，得或， 所以， 所以的最大值为9，则，即的最小值为9． 故选：B 2．（2025高一上·全国·专题练习）不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分，两种情况得出，即可得出答案. 【详解】当时，得恒成立， 所以对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【详解】 正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由对恒成立，结合一次函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】因函数的图象过点，则得， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 即对，恒成立，则需使， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 5．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 6．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质，恒成立⇔ 再解不等式即可． 【详解】∵，且, ∴． 当且仅当时取等号． 若恒成立，∴ ∴， 即得解得． 故答案为：． 题型四 不等式的能成立问题 1．（25-26高一上·上海普陀·月考）已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】求得的最小值，进而可得，求解即可. 【详解】由三角不等式可得， 因为存在实数x，使得不等式成立，所以， 两边平方得，所以， 所以，解得或， 可得a的取值范围是. 故选：A 2．（24-25高一上·福建福州·自主招生）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（） A．或 B．且 C．且 D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据分式方程，利用参数表示出解，建立不等式组，可得答案. 【详解】方程两边同乘得： ， 展开整理得： 消去得： 由题意，解为负数： 同时分母不为零：，， 综上的取值范围为. 故选： 3．（25-26高一·全国·假期作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【详解】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：C. 4．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】或. 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得； ②当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或 故答案为：或. 1．（25-26高一上·河南南阳·月考）人工智能的某神经元输出函数可表示为为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】将函数整理为关于权重参数的一次函数，利用一次函数在闭区间上的恒成立条件，通过端点值小于0列不等式，求解交集得到输入特征值的范围. 【详解】将整理为关于的一次函数：， 记为（）. 因对任意，恒成立，故需满足区间端点处的函数值均小于0： 当时，，解得； 当时，， 因式分解得，解得. 综上所述，. 故选：B 2．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、解不含参数的一元二次不等式、条件等式求最值 【分析】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【详解】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 3．（25-26高一上·湖南湘潭·月考）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】将不等式变形为，进而可得，解该不等式可得，继而可得整数解为，根据即可求解. 【详解】由，得，由于该不等式的解集中的整数恰有个，有， 由不等式可得， 又由于，故，解得， 由于，且时，满足不等式， 故该不等式的4个整数解为， 因此，得且， 结合，因此且，解得， 故选：A. 4．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据全称命题的真假求参数 【详解】先分离参数得，再求出为真时，利用基本不等式求最值得的范围，再求补集即可． 【解答】由得， 当为真时，对，不等式恒成立， 则， 而，当且仅当时取等号，满足题意， 所以， 所以为假时，． 故选：A． 5．（25-26高一上·广东广州·月考）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 6．（2025高一上·全国·专题练习）若方程的两实根均在区间内，求的取值范围 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】令 ，由二次函数的图象和性质建立不等式组即可求解. 【详解】令 ，该函数的图象对称轴为，由题意得 ，解得:． 故答案为:． 7．（25-26高一上·上海·月考）已知（），若对于任意的，都存在，使得对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求二次函数的值域或最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】结合的正负及与的大小，分类分析满足且长度为的区间的存在性即可. 【详解】函数的图象对称轴为轴，过点. 因为对于任意的，都存在，使得对于任意的，恒成立， 记，则对于任意的， 都存在实数,使得，显然. ①若，函数的图象开口向上， 当时，则恒成立，不满足条件； ②若，函数的图象开口向下， 当时，因为，所以， 由对称性可知，集合关于原点对称， 若存在实数，使得，则有， 所以对任意恒成立， 故，因此； 当时，，故， 由对称性，不妨设，则在内单调递减， 则，且， 即存在，满足不等式组， 由， 故若存在，满足， 则， 故对任意成立， 设， 由在内单调递减， 故， 要使对任意成立， 所以有， 解得，又，则； 又因为，所以由①②可得； 故的取值范围为. 故答案为：. 8．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据不等式解的形式可用表示，代入新不等式后利用一元二次不等式的解法可求不等式的解. 【详解】因为不等式的解集为，其中， 故， 故不等式可化为， 故，而，故， 故不等式的解为，即解集为， 故答案为：. 9．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知．当时，的两根为，则的最小值为 ；当时，恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 6 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】第一空：由韦达定理结合配方法即可求解；第二空，通过，讨论的符号，得到时，，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，， 则， 当时等号成立， 故的最小值为． 由，可知函数在上单调递增， 易知当时， 当时，． 由在时恒成立， 则当时，； 当时，， 所以当时，，即， 所以有，即， 故， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6． 故答案为：． 10．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理求出，，代入解不等式即可求出答案； （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系利用韦达定理即可求出答案； （3）根据不等式恒成立得到，进而得到，利用换元法借助于基本不等式求的最小值即可求出答案. 【详解】（1）由题意得的两根为和，且， 所以，， 即，， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 因为不等式的解集为， 所以的两根为和， 所以，， 解得. （3）对于成立， 则，得， 设，因为，所以，则， 设，此时， 当且仅当，即，即时，等号成立， 由，即时，取最小值为3． 1．（25-26高一上·天津南开·月考）南开是中国北方话剧的摇篮，今年是话剧《一元钱》在南开首演的一百一十周年．为纪念这一历史，刚刚从我校毕业并仍心系母校的欧阳南德与上官琐艾同学为学校设计了一座“和静庄舞台”，希望新剧的火焰、进步的思潮仍在今日的南开闪耀．下图为“和静庄舞台”的平面示意图，它的设计灵感来自南开中学的校徽，四边形与EFGH为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域（即两个正方形的公共部分）为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积（即五个阴影等腰直角三角形面积总和）为定值时，舞台面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】设、上的贵宾席的等腰直角三角形的边长分别为、，从而有，进而得舞台面积，再应用基本不等式求最大值. 【详解】设上的贵宾席的两个等腰直角三角形的边长，上的贵宾席的三个等腰直角三角形的边长为， 所以，即，且正方形的边长为， 所以舞台面积， 当且仅当，即时，等号成立， 此时. 故选：B 2．（25-26高一上·辽宁营口·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 3．（25-26高一上·湖南娄底·月考）设为正实数，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】设，从而用表达出，从而原式等于，利用基本不等式求出最值，验证取等条件后得到答案. 【详解】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为： 4．（25-26高一上·河南·月考）设表示集合中的元素个数.定义，若，则实数的所有可能值之和为 . 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】分析可知或，对集合的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可. 【详解】，，又， 或， 当时， ，解得； ，解得； ，，解得，无实数根；，解得，有一个实数根；，解得或，有两个实数根； 当时，表示方程只有一个实数根，即方程只有一个根为， 对于，若，原方程，唯一实根，此时，符合题意；若，解得，此时无实根，符合题意； 故实数的可能值为或， 当时，表示方程只有三个不同的实数根，第一个根，第二个根， 若，当时，，解得， 的根为，符合题意； 当时，，解得， 的根为，不符合题意； 若，有两个不同的实根，其中一个根与或重合才可以， 当是的实根，即舍掉； 当是的实根，即，无实数解，舍掉； 故实数的可能值为. 综上所述，实数的所有可能值为.其和为. 故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $