寒假作业02 不等式的解法与证明11类重点必刷题型（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 不等式的解法与证明 1.作差法比较两个实数大小 基本事实：①. ②. ③. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小． 注意：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 （1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①配方；②因式分解；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2.等式的性质 性质 性质内容 对称性 如果，那么. 传递性 如果，，那么. 可加减性 如果，那么. 可乘性 如果，那么. 可除性 如果，，那么. 3．不等式的性质 性质 性质内容 对称性 如果，那么；如果，那么.即. 传递性 如果，，那么.即. 可加减性 如果，那么. 可乘性 如果，，那么；如果，，那么. 可除性 如果，，那么；如果，，那么. 同向相加性 如果，，那么. 同向相乘性 如果，，那么. 如果，那么()． 4. 二次方程、二次函数与二次不等式的关系？ （1）二次方程是二次函数的一种特殊形式，当二次函数函数值（为常数）时，二次函数退化为二次方程，从图像上看，此时二次方程的解就是二次函数与的交点的横坐标. （2）二次不等式是二次函数的一种特殊形式，从图像上看，二次不等式的解是二次函数函数值在某个范围内对应的自变量的范围. 5. 二次不等式的解题步骤：对于二次不等式（或） （1）令，求根. （2）画函数的图像. （3）根据图像，数形结合确定不等式的解集. 6. 二次不等式的常见结论：对于二次不等式（或） 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 7. 分式不等式的求解 求解分式不等式的核心思路，是将分式不等式转化为整式不等式. 不等式 转化思路 且 ， 所以且 8. 绝对值不等式的解法 策略一 几何意义转化为到定点的距离. 策略二 利用，分类讨论去绝对值号. 策略三 平方去绝对值号. 9. 高次不等式的解法（数轴穿根法） （1）因式分解，写出 “根的形式” 将标准形式的高次整式彻底因式分解，统一为“一次因式乘积 × 二次不可约因式”的形式. （2）求“根”，并在数轴上排序标注 ①求根：令每个一次因式等于 0，解出的根即为 “分界点”（二次不可约因式无实根，不产生分界点）。 ②排序标根：将所有根按从小到大的顺序在数轴上标注，并用 “空心圈” 或 “实心点” 区分 （3）“穿根”—— 确定因式乘积的符号规律 “穿根” 的核心规则是：从数轴最右侧的根的上方开始，按照 “奇穿偶不穿” 的原则穿过数轴，具体解释： ① “从右上方开始”：因最高次项系数已化为正，当x趋近于时，高次整式的值为正，故从最右侧根的上方起笔. ② “奇穿偶不穿”：若某个根是 “奇次重根”，则穿过数轴；若为 “偶次重根”，则不穿过数轴. 10. 一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为，对于一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式的解集为∅的条件为 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：恒成立；恒成立. 11. 已知二次不等式解集求参数范围 （1）若二次不等式的解集为，则 （2）若二次不等式的解集为，则 核心：①不等式解集的端点值是不等式等于0的解. ②注意二次函数开口方向 12.二次方程根的分布 （1） 若讨论一元二次方程解的数量，需要讨论的正负性. （2） 若讨论一元二次方程解的正负，需要讨论的正负性和韦达定理的正负性. ①若方程有两个不相等的正根，则且且. ②若方程有两个不相等的负根，则且且. ③若方程有一个正根与一个负根，则且. （3） 已知一元二次方程一个根大于，另一个根小于（）. 若，则且. 若，则且. 13. 基本不等式一般形式（均值不等式） (1)原型：若，则； (2)常见变形：；； (3)使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 14.利用基本不等式求最值----负数型 若，则，此时，当且仅当取等号，所以. ※核心：将两个负数转化为正数之后，即可利用基本不等式进行求解，注意最后再转化为负数. 15.利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 (1)凑项：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. (2)凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式凑系数变形为，则可使用基本不等式. (3)凑项与凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. ※核心：当形式不一致，导致乘积或和无法成为定值时，可通过适当的凑项与凑系数使得式子符合要求. 16.利用基本不等式求最值----分式型 (1)形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. (2)形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. (3)形如，无法直接用基本不等式，分子需要进行分解，得到的形式，再使用基本不等式.（也可利用换元法将（3）转换为（2）） 17.利用基本不等式求最值---- “1”的妙用 (1)直接与“1”相乘：若，求的最值，则. (2)先变形再与“1”相乘：若为非0常数，则，求的最值，则. (3)隐藏的“1”：若求形如的最值，因为，则=. (4)代入消元：若，也可化为或，回代进行求解. (5)为了方便起见，以上提及代数式均视为正数，但实际应用过程中需要注意是否为正数和取等条件. 18.利用基本不等式求最值----联立消元法 (1) 若出现， 其中、、、、，求的最值. 可先利用基本不等式得①式：，再将化为②式：，联立①②即可消元，解不等式得的取值范围. (2) 若出现， 其中、、、、，求的最值. 可先利用基本不等式得①式：，再将化为②式：，联立①②即可消元，解不等式得的取值范围. (3) 可令所求目标为新变量，回代使得原等式变为二次方程，利用判别式求最值 19.利用基本不等式求最值----万能设法 若已知①式：，求的最值. 可设，化简得或，代入①式整理可得二次方程，令二次方程的判别式，即可求的范围，即的最值. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 不等式的性质 1．（25-26高一上·福建莆田·月考·多选）下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（24-25高一上·湖北武汉·期中·多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末·多选），正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广西南宁·期中·多选）如果a，b，c，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型二 利用不等式的性质求参数范围 1．（25-26高一上·安徽·月考）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州遵义·月考）若，则的范围为 ． 4．（25-26高一上·江苏·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 题型三 二次不等式、分式不等式、高次不等式的求解 1．（25-26高一上·江西上饶·月考）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3). 2．（25-26高一上·青海海东·月考）解下列不等式： (1)； (2) 3．（25-26高一上·天津和平·月考）求下列不等式的解集： (1) (2) 4．（25-26高一上·湖南常德·月考）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 题型四 二次不等式恒成立问题 1．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建南平·月考）已知命题，若为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东威海·期中）已知命题“”是假命题，则的取值范围为 ． 4．（25-26高一上·北京·月考）已知命题为假命题，写出的一个值 ． 题型五 由一元二次不等式的解求参数 1．（25-26高一上·广东揭阳·月考·多选）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 2．（25-26高一上·河南信阳·月考·多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 3．（25-26高一上·福建龙岩·月考·多选）已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 4．（25-26高一上·贵州遵义·期中·多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型六 基本不等式的定义与简单应用 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 基本不等式求最值：添项与添系数问题 1．（25-26高一上·海南·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（25-26高一上·广东揭阳·月考）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知，则的最小值为 . 4．（24-25高一下·湖南湘潭·期中）已知，则的最小值为 ． 题型八 基本不等式求最值：商式的最值 1．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 2．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 3．（25-26高一上·辽宁丹东·月考）已知，则的最小值为 ，此时 ． 4．（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 . 题型九 基本不等式求最值：“1”的妙用 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·月考）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 3．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 4．（25-26高一上·天津武清·月考）已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 5．（25-26高一上·广东广州·月考）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是 . 6．（25-26高一上·安徽滁州·月考）设正数，满足，则的最小值为 ． 7．（25-26高三上·河南·月考）设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 8．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 题型十 基本不等式求最值：条件等式求最值 1．（25-26高一上·广西桂林·月考·多选）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 2．（25-26高一上·四川内江·月考·多选）已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为8 3．（25-26高一上·江苏·月考·多选）已知，，则（    ） A．的最大值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4 4．（25-26高一上·广东汕头·期中·多选）已知正实数满足，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 6．（25-26高一上·浙江·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)已知恒成立，求实数的取值范围. 题型十一 基本不等式的实际应用 1．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． (1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； (2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 2．（25-26高一上·四川广安·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 3．（25-26高一上·山东潍坊·期中）某科技公司研发并试生产一款高科技产品，由于精密零部件组装工艺复杂以及芯片性能调试难度较高，生产过程中会有一等品和二等品．根据试生产数据统计，该公司生产这款产品的二等品率与日产量（百台）之间的关系大致满足：，二等品率．已知预计每生产一台一等品可盈利120元，但每生产一台二等品亏损60元． (1)将该公司生产这款产品每天的盈利额（元）表示为日产量（百台）的函数； (2)当日产量为多少百台时，该公司可获得最大日盈利？ 4．（25-26高一上·云南文山·月考）为打好扶贫攻坚战，落实帮扶措施，某村为帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边长为米（），猪圈的总造价为元.    (1)求关于的关系式，并求出的取值范围； (2)当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 1．（25-26高一上·湖北襄阳·月考） （1）比较与的大小； （2），，比较与的大小． （3）已知都是正数，求证：． 2．（25-26高一上·青海·月考）（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 1．（25-26高一上·重庆·月考）19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）. 例如：1.求函数的最小值.可作如下处理： ，当且仅当时，等号成立. 2.已知为正实数，且，求的最大值.可作如下处理： ， 当且仅当且，即时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知. (1)若，证明：. (2)若恒成立，求参数的取值范围. (3)若，求的最小值. 2．（25-26高一上·江苏苏州·月考）（1）已知均为正实数，且满足．请分别证明下列两个不等式： ①；②． （2）已知二次函数（），且满足对于恒成立，求的最小值． 3．（25-26高一上·河北保定·月考）已知均为正实数． (1)证明：． (2)若，求的最小值． (3)若，求的最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 不等式的解法与证明 1.作差法比较两个实数大小 基本事实：①. ②. ③. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小． 注意：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 （1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①配方；②因式分解；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2.等式的性质 性质 性质内容 对称性 如果，那么. 传递性 如果，，那么. 可加减性 如果，那么. 可乘性 如果，那么. 可除性 如果，，那么. 3．不等式的性质 性质 性质内容 对称性 如果，那么；如果，那么.即. 传递性 如果，，那么.即. 可加减性 如果，那么. 可乘性 如果，，那么；如果，，那么. 可除性 如果，，那么；如果，，那么. 同向相加性 如果，，那么. 同向相乘性 如果，，那么. 如果，那么()． 4. 二次方程、二次函数与二次不等式的关系？ （1）二次方程是二次函数的一种特殊形式，当二次函数函数值（为常数）时，二次函数退化为二次方程，从图像上看，此时二次方程的解就是二次函数与的交点的横坐标. （2）二次不等式是二次函数的一种特殊形式，从图像上看，二次不等式的解是二次函数函数值在某个范围内对应的自变量的范围. 5. 二次不等式的解题步骤：对于二次不等式（或） （1）令，求根. （2）画函数的图像. （3）根据图像，数形结合确定不等式的解集. 6. 二次不等式的常见结论：对于二次不等式（或） 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 7. 分式不等式的求解 求解分式不等式的核心思路，是将分式不等式转化为整式不等式. 不等式 转化思路 且 ， 所以且 8. 绝对值不等式的解法 策略一 几何意义转化为到定点的距离. 策略二 利用，分类讨论去绝对值号. 策略三 平方去绝对值号. 9. 高次不等式的解法（数轴穿根法） （1）因式分解，写出 “根的形式” 将标准形式的高次整式彻底因式分解，统一为“一次因式乘积 × 二次不可约因式”的形式. （2）求“根”，并在数轴上排序标注 ①求根：令每个一次因式等于 0，解出的根即为 “分界点”（二次不可约因式无实根，不产生分界点）。 ②排序标根：将所有根按从小到大的顺序在数轴上标注，并用 “空心圈” 或 “实心点” 区分 （3）“穿根”—— 确定因式乘积的符号规律 “穿根” 的核心规则是：从数轴最右侧的根的上方开始，按照 “奇穿偶不穿” 的原则穿过数轴，具体解释： ① “从右上方开始”：因最高次项系数已化为正，当x趋近于时，高次整式的值为正，故从最右侧根的上方起笔. ② “奇穿偶不穿”：若某个根是 “奇次重根”，则穿过数轴；若为 “偶次重根”，则不穿过数轴. 10. 一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为，对于一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式的解集为∅的条件为 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：恒成立；恒成立. 11. 已知二次不等式解集求参数范围 （1）若二次不等式的解集为，则 （2）若二次不等式的解集为，则 核心：①不等式解集的端点值是不等式等于0的解. ②注意二次函数开口方向 12.二次方程根的分布 （1） 若讨论一元二次方程解的数量，需要讨论的正负性. （2） 若讨论一元二次方程解的正负，需要讨论的正负性和韦达定理的正负性. ①若方程有两个不相等的正根，则且且. ②若方程有两个不相等的负根，则且且. ③若方程有一个正根与一个负根，则且. （3） 已知一元二次方程一个根大于，另一个根小于（）. 若，则且. 若，则且. 13. 基本不等式一般形式（均值不等式） (1)原型：若，则； (2)常见变形：；； (3)使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 14.利用基本不等式求最值----负数型 若，则，此时，当且仅当取等号，所以. ※核心：将两个负数转化为正数之后，即可利用基本不等式进行求解，注意最后再转化为负数. 15.利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 (1)凑项：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. (2)凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式凑系数变形为，则可使用基本不等式. (3)凑项与凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. ※核心：当形式不一致，导致乘积或和无法成为定值时，可通过适当的凑项与凑系数使得式子符合要求. 16.利用基本不等式求最值----分式型 (1)形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. (2)形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. (3)形如，无法直接用基本不等式，分子需要进行分解，得到的形式，再使用基本不等式.（也可利用换元法将（3）转换为（2）） 17.利用基本不等式求最值---- “1”的妙用 (1)直接与“1”相乘：若，求的最值，则. (2)先变形再与“1”相乘：若为非0常数，则，求的最值，则. (3)隐藏的“1”：若求形如的最值，因为，则=. (4)代入消元：若，也可化为或，回代进行求解. (5)为了方便起见，以上提及代数式均视为正数，但实际应用过程中需要注意是否为正数和取等条件. 18.利用基本不等式求最值----联立消元法 (1) 若出现， 其中、、、、，求的最值. 可先利用基本不等式得①式：，再将化为②式：，联立①②即可消元，解不等式得的取值范围. (2) 若出现， 其中、、、、，求的最值. 可先利用基本不等式得①式：，再将化为②式：，联立①②即可消元，解不等式得的取值范围. (3) 可令所求目标为新变量，回代使得原等式变为二次方程，利用判别式求最值 19.利用基本不等式求最值----万能设法 若已知①式：，求的最值. 可设，化简得或，代入①式整理可得二次方程，令二次方程的判别式，即可求的范围，即的最值. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 不等式的性质 1．（25-26高一上·福建莆田·月考·多选）下列命题中，一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【详解】A．当时，，，因此不成立； B．取，此时，但因此不成立； C．若，且，则，即正确； D．若，，则，因此不成立． 故选：C． 2．（24-25高一上·湖北武汉·期中·多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末·多选），正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，因为， 则， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，，，， 所以， 即， 两边同时除以， 得，即，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，由B可知，故D错误. 故选：AB. 4．（25-26高一上·广西南宁·期中·多选）如果a，b，c，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】选项A：取，，则，故A错； 选项B：取，则，故B错； 选项C：取，，，，则，，故C错； 选项D：由题意可知. 由于，所以，所以， 则，故D正确． 故选：ABC． 题型二 利用不等式的性质求参数范围 1．（25-26高一上·安徽·月考）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高一上·贵州遵义·月考）若，则的范围为 ． 【答案】 【详解】由于，所以， 而，所以, 所以的取值范围是. 故答案为： 4．（25-26高一上·江苏·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型三 二次不等式、分式不等式、高次不等式的求解 1．（25-26高一上·江西上饶·月考）求下列关于x的不等式的解集． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）不等式等价于，解得， 故不等式的解集为； （3）由，得， 显然，所以不等式解集为. 2．（25-26高一上·青海海东·月考）解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，解得，故原不等式的解集为. （2）由得， 等价于，解得，故原不等式的解集为. 3．（25-26高一上·天津和平·月考）求下列不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1） ， 所以原不等式的解集为； （2） ，或， 所以原不等式的解集为，或. 4．（25-26高一上·湖南常德·月考）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)或. (2)或 (3)或. 【详解】（1）即， 则， ∴原不等式的解集为或. （2）即， 则， ∴原不等式的解集为或 （3）即， ∴， ∴， ∴， ∴原不等式的解集为或. 题型四 二次不等式恒成立问题 1．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26高一上·福建南平·月考）已知命题，若为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 根据对勾函数的性质知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为， 所以. 故选：A 3．（25-26高三上·山东威海·期中）已知命题“”是假命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为命题“”是假命题， 所以其否定形式“”是真命题，即有实数根， 所以，即，解得或. 故答案为： 4．（25-26高一上·北京·月考）已知命题为假命题，写出的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由命题为假命题， 则命题为真命题，即对恒成立， 当时，不等式即为对于不恒成立，不符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为，可得其中一个为. 故答案为：（答案不唯一）. 题型五 由一元二次不等式的解求参数 1．（25-26高一上·广东揭阳·月考·多选）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 【答案】ABD 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. A：由上可知本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法正确； C： ，因此本选项说法不正确； D：因为，所以本选项说法正确， 故选：ABD 2．（25-26高一上·河南信阳·月考·多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【详解】由条件知，，函数的两个零点分别为和， 由函数图象的开口向上，且，所以，故A正确，B错误； 方程的两个根分别为和，则，所以， 不等式，则，故C错误； 不等式，则，得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：AD 3．（25-26高一上·福建龙岩·月考·多选）已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】由不等式的解集为， 可知是方程的两个根， 对于A项，由上可知，故A正确； 对于B项，因为，由基本不等式可知， 所以，当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C项，由，则， 当且仅当，即时取得等号，故C正确； 对于D项，由，则， 所以 ， 当且仅当时取得等号，故D错误. 故选：ABC 4．（25-26高一上·贵州遵义·期中·多选）已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【详解】对于A，由题可知二次函数开口向上则，且对应方程的两根为 、， 代入不等式对应方程可得：，A选项正确； 对于B，解不等式 ，代入 ，： ，两边除以 （负数）需变号： ，B选项正确； 对于C，解不等式 ，代入 ，： 两边除以 可得： 解方程 ： 不等式 的解集为：或，C选项错误； 解不等式 ，代入 ，： 可得：，两边除以 ， ， 解集为：或，D选项错误. 故选：AB 题型六 基本不等式的定义与简单应用 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，则. 故选：C. 4．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 题型七 基本不等式求最值：添项与添系数问题 1．（25-26高一上·海南·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故选：C. 2．（25-26高一上·广东揭阳·月考）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故选：． 3．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：4 4．（24-25高一下·湖南湘潭·期中）已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3 题型八 基本不等式求最值：商式的最值 1．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 2．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 3．（25-26高一上·辽宁丹东·月考）已知，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】因，则，等号成立时， 故当时，有最小值. 故答案为：； 4．（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 . 【答案】 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 题型九 基本不等式求最值：“1”的妙用 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 2．（25-26高三上·重庆·月考）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【详解】因为，所以 ， 因为，所以， 所以根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】A 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 4．（25-26高一上·天津武清·月考）已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设， 则，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 5．（25-26高一上·广东广州·月考）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】9 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 6．（25-26高一上·安徽滁州·月考）设正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，可得, 因,，故,, 则， 其中， 当且仅当即时取等号， 结合，解得，， 故的最小值为． 故答案为：． 7．（25-26高三上·河南·月考）设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】由题意正实数a，b满足， 可得， 当且仅当，即时取等号， 联立，解得，，满足题意，所以的最小值为4. 故答案为：4. 题型十 基本不等式求最值：条件等式求最值 1．（25-26高一上·广西桂林·月考·多选）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【详解】对于A：，， 所以当时，取得最小值，故A正确； 对于B： 即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 2．（25-26高一上·四川内江·月考·多选）已知，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为8 【答案】ABC 【详解】A选项，因为，且，所以， 当且仅当时取等号，A正确； B选项，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，B正确； C选项，， 当且仅当，即时取等号，C正确； D选项， ， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故最小值不可能为8，D错误. 故选：ABC. 3．（25-26高一上·江苏·月考·多选）已知，，则（    ） A．的最大值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4 【答案】ABC 【详解】对于A，由，可得，则， 所以，即的最大值是1，所以A正确； 对于B，由， 由A项知，所以，所以的最小值是，所以B正确； 对于C，由， 当且仅当时，即时，取等号，所以的最小值是，所以C正确； 对于D，由， 当且仅当时，即时，取等号，所以的最小值是，所以D不正确. 故选：ABC. 4．（25-26高一上·广东汕头·期中·多选）已知正实数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】正实数满足， A，，则，解得，即，当且仅当时取等号，A正确； B，，则，即，解得，当且仅当时取等号，B正确； C，由，得，而，则，当时，，C错误； D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 5．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 6．（25-26高一上·浙江·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)已知恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)16； (2). 【详解】（1）因为， 所以，当且仅当即时等号成立， 因为， 所以，解得即， 所以的最小值是16； （2）因为，， 所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9， 又恒成立， 则，化简得，解得或, 所以m的取值范围是. 题型十一 基本不等式的实际应用 1．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． (1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； (2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 【答案】(1)万元 (2)万元 【详解】（1）小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元， 所以A，B两个项目所获得的收益分别为万元，万元， 所以他能获得的收益为万元. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，. 那么总收益为 万元， 当且仅当时，即时，等号成立， 故小王投入B项目万元，投入项目万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为万元. 2．（25-26高一上·四川广安·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)万件 【详解】（1）根据题意得，当时，； 当时，， 故. （2）当时，，由二次函数的性质可知，当时， 取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，故当时，即每年生产万件该芯片时，公司获得的年利润最大，为万元. 3．（25-26高一上·山东潍坊·期中）某科技公司研发并试生产一款高科技产品，由于精密零部件组装工艺复杂以及芯片性能调试难度较高，生产过程中会有一等品和二等品．根据试生产数据统计，该公司生产这款产品的二等品率与日产量（百台）之间的关系大致满足：，二等品率．已知预计每生产一台一等品可盈利120元，但每生产一台二等品亏损60元． (1)将该公司生产这款产品每天的盈利额（元）表示为日产量（百台）的函数； (2)当日产量为多少百台时，该公司可获得最大日盈利？ 【答案】(1)，； (2)日产量为84百台时，该公司可获得最大日盈利. 【详解】（1）由题设， 所以，； （2）当时， 元， 当且仅当，即百台时取等号， 此时，最大日盈利为元，而时， 所以日产量为84百台时，该公司可获得最大日盈利. 4．（25-26高一上·云南文山·月考）为打好扶贫攻坚战，落实帮扶措施，某村为帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边长为米（），猪圈的总造价为元.    (1)求关于的关系式，并求出的取值范围； (2)当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 【答案】(1). (2)当为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低造价为5000元. 【详解】（1）每间猪圈靠墙一边长为米，猪圈的总造价为元， 由题意可得，门面积平方米，墙长米，则， 故，. （2）因为，，故，当且仅当时等号成立， 故，为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低总造价为5000元. 1．（25-26高一上·湖北襄阳·月考） （1）比较与的大小； （2），，比较与的大小． （3）已知都是正数，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解 【详解】（1）因为， 且，则， 即，所以； （2）因为， 且，，则， 可得，所以； （3）因为都是正数，则有： ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 2．（25-26高一上·青海·月考）（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 【答案】（1）8，（2）6，（3）证明见解析. 【详解】（1）由于，则， ， 当且仅当，即时取到等号，此时函数取得最大值为8. （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为6. （3），且，      ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 1．（25-26高一上·重庆·月考）19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）. 例如：1.求函数的最小值.可作如下处理： ，当且仅当时，等号成立. 2.已知为正实数，且，求的最大值.可作如下处理： ， 当且仅当且，即时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知. (1)若，证明：. (2)若恒成立，求参数的取值范围. (3)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意可得,所以, 当且仅当即时等号成立； （2）因为，根据基本不等式,当且仅当时等号成立， 若恒成立，则恒成立，因为, 得到,解得或, 故参数的取值范围为; （3）题干条件可变形为,而, 注意到, 当且仅当时等号成立，故,所以, 即的最小值为. 2．（25-26高一上·江苏苏州·月考）（1）已知均为正实数，且满足．请分别证明下列两个不等式： ①；②． （2）已知二次函数（），且满足对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）①由，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 上式相加得：， 即，当且仅当时，等号成立； ②由柯西不等式有： ， 所以，当，即时，等号成立； （2）由恒成立，所以， 所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，等号成立， 所以的最小值为. 3．（25-26高一上·河北保定·月考）已知均为正实数． (1)证明：． (2)若，求的最小值． (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)2． 【详解】（1）证明：． 因为a，b，c，d均为正实数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以得证． （2）解：（方法一）由，可得． ， 因为a，b均为正实数，所以由（1）的结论可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （方法二）由，可得，则，即，所以， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （3）． 因为a，b，c均为正实数，所以， ，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 故的最小值为2． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $