江苏省扬中市第二高级中学2025年寒假高一数学自主学习检测训练三

江苏省扬中市第二高级中学2024-2025寒假高一数学自主学习检测训练三 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，当时，取得最小值，则 （ C ） A． B． C． D． 2．设M＝，N＝，P＝(其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是 ( A ) A．P<N<M B．N<P<M C．P<M<N D．M<N<P 3．已知，，，则的最小值是 （ B ） A. 3 B. C. D. 9 4．已知的值域为，当正数，满足时，则的最小值为 （ A ） A． B．5 C． D．9 5．设为实数，若，则的最大值是 （ D ） A． B． C． D． 6．若正实数x，y满足，且存在实数x，y使不等式成立，则实数m的取值范围为 （ C ） A． B． C． D． 7．若正数满足，则的最小值是 （ A ） A. B. C. D. 8．已知正实数满足，则的最小值是 （ B ） A. 2 B. C. D. 【详解】，两边平方得：， ，， ， 当且仅当，等号成立，故的最小值为故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是 （ AC ） A. B. C.的最大值为1 D.的最小值为 10．下列说法正确的有 （ ABD ） A. 若，则的最大值是 B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，，，则的最小值是2 D. 若实数，满足，则的最大值是 11．若，满足，则 （ BCD ） A. B. C. D. 【详解】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，故A错误，B正确； 由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，故C正确；因为变形可得， 设，所以， 因此 ，所以当时，即时， 此时，取到最大值2，故D正确.故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．设，则的最小值为______. 13．已知正实数满足，则的最小值为 . 【详解】因为，所以由，得， 因为，所以 ，当且仅当，即，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故答案为： 14．实数满足，则当__ ____时，的最小值为______. 【详解】实数x、y满足，，， 则= ，当且仅当时取等号，的最小值为. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）已知，均为正数，且，比较与的大小； （2），都为正数， ，求的最小值． 15．解：（1） 因为，均为正数，且， 所以，， 从而，所以 （2）∵，， ∴， ∴， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， 当且仅当时，等号成立， 故．所以最小值为3． 16．已知，. （1）若，求的最小值及此时，的值； （2）若，求的最小值及此时，的值； （3）若，求的最小值及此时，的值. 16．解：（1），，， （当且仅当，即，时取等号）， 当，时，取得最小值； （2）， （当且仅当，即，时取等号），当，时，取得最小值； （3），， （当且仅当，即，时取等号），当，时，取得最小值. 17. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在AB延长线上，N在AD延长线上，且对角线过C点，已知AB＝3米，AD＝2米，设矩形的面积为平方米.(1）请写出矩形的面积关于长度的函数； (2)当AN的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． (3)若的长度米，求矩形的面积最小值？ 17.解：（1）因为，所以＝， （）. (2) ，当且仅当即，取得最小值24㎡． 即矩形的面积取得最小值24（平方米）. (3) 因为，令，，， ①当即时， 由函数的单调性定义可证明在区间上是单调减函数， 所以当时，， ②当即时， 由函数的单调性定义可证明在区间上是单调减函数， 在上是单调增函数，所以，当时，. 18．已知函数. （1）当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 18．解：（1）当时，不等式对恒成立. 整理得：， 因为，所以，所以， 令，则， 因为，所以，当且仅当，即时取等号. 所以. 所以. （2）当时，， 不等式等价于， ①当时，， ②当时，的两根为，，所以； ③时， 当即时，或， 当即时，， 当即时，或. 综上所述：时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了分类讨论法解一元二次不等式，属于中档题. 19．（1）已知正实数满足，求的最大值； （2）若实数满足，求的最大值； （3）若实数、、满足，求 的最大值． 19．解：（1） 的最大值为 （2）， 设，即 的最大值为. （3法一： 即的最大值为 法二： 令 解得， 所以原式 即的最大值为 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省扬中市第二高级中学2024-2025寒假高一数学自主学习检测训练三 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，当时，取得最小值，则 （ ） A． B． C． D． 2．设M＝，N＝，P＝(其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是 ( ) A．P<N<M B．N<P<M C．P<M<N D．M<N<P 3．已知，，，则的最小值是 （ ） A. 3 B. C. D. 9 4．已知的值域为，当正数，满足时，则的最小值为 （ ） A． B．5 C． D．9 5．设为实数，若，则的最大值是 （ ） A． B． C． D． 6．若正实数x，y满足，且存在实数x，y使不等式成立，则实数m的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 7．若正数满足，则的最小值是 （ ） A. B. C. D. 8．已知正实数满足，则的最小值是 （ ） A. 2 B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是 （ ） A. B. C.的最大值为1 D.的最小值为 10．下列说法正确的有 （ ） A. 若，则的最大值是 B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3 C. 若，，，则的最小值是2 D. 若实数，满足，则的最大值是 11．若，满足，则 （ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．设，则的最小值为___ ___. 13．已知正实数满足，则的最小值为 . 14．实数满足，则当_ ___时，的最小值为___ ___. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）已知，均为正数，且，比较与的大小； （2），都为正数， ，求的最小值． 16．已知，. （1）若，求的最小值及此时，的值； （2）若，求的最小值及此时，的值； （3）若，求的最小值及此时，的值. 17. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在AB延长线上，N在AD延长线上，且对角线过C点，已知AB＝3米，AD＝2米，设矩形的面积为平方米.(1）请写出矩形的面积关于长度的函数； (2)当AN的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． (3)若的长度米，求矩形的面积最小值？ 18．已知函数. （1）当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 19．（1）已知正实数满足，求的最大值； （2）若实数满足，求的最大值； （3）若实数、、满足，求 的最大值． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$