寒假作业09 函数的综合应用7类重点必刷题型（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业09 函数的综合应用 1、函数的单调性 （1）单调性的定义 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 2、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 3、函数的对称性 (1)、若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)、若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)、若，则函数关于对称． (4)、若，则函数关于点对称． 4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 函数的单调性的判断与证明 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 2．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·江苏·专题练习）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 4．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知函数． (1)求； (2)判断在上的单调性并用定义法证明； (3)求函数的值域． 题型二 函数的奇偶性的判断与证明 1．（2026·河南开封·一模）已知，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·天津武清·期中）下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数，则 . 4．（25-26高一上·上海·月考）若函数是奇函数，则 . 题型三 函数的单调性与奇偶性的综合应用 1．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 题型四 函数的对称性与周期性 1．（2026·吉林长春·一模）已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 4．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（    ） A．1 B．5 C．9 D．10 题型五 函数的图像 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津武清·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津河北·期中）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·月考）函数（其中e=2.71828…）的大致图像为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东广州·月考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型六 抽象函数 1．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有. (1)求的值，判断的奇偶性并给出证明； (2)解不等式：； (3)记表示中较大的值，若对，都有.求实数的取值范围. 3．（25-26高一上·辽宁·月考）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 题型七 函数的零点与方程的根 1．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西桂林·期中）若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南郑州·月考）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·河北·月考）双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（为自然对数的底数）.下列关于与的说法正确的是（   ） A．与在上均为减函数 B．函数的图象关于轴对称 C．，都有 D．的最小值为2 2．（25-26高一上·山东日照·期中）已知函数为偶函数，且，则（    ） A． B． C．2025 D．0 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东珠海·月考）（多选题）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则下列结论中正确的是（    ） A．设，对任意， B．函数的图象的对称中心为 C．若函数的图象关于点成中心对称图形，则 D．函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 5．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知非空集合A，B满足，，可知使得函数为偶函数的非空集合对的数量为 . 6．（25-26高一上·广东·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有，若对所有，恒成立，则实数的取值范围为 ． 1．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）黎曼函数，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东日照·月考）（多选题）函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（   ） A． B．的值域与函数的值域相同 C．是奇函数 D．对任意实数x，都有 3．（25-26高三上·陕西西安·月考）定义在R上的奇函数满足，当时，．若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为 ． 4．（25-26高一上·吉林长春·月考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数．现已知函数，定义域为的函数关于成中心对称，若与的图象共有2026个交点，记为，则的值为 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业09 函数的综合应用 1、函数的单调性 （1）单调性的定义 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 2、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 3、函数的对称性 (1)、若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)、若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)、若，则函数关于对称． (4)、若，则函数关于点对称． 4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 函数的单调性的判断与证明 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 2．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性、具体函数的定义域 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 3．（2025高一上·江苏·专题练习）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 【答案】函数在上单调递增；证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】通过单调性的定义判断即可. 【详解】函数在上单调递增. 证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，且. 所以，且. 所以，即， 所以函数在上单调递增. 4．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知函数． (1)求； (2)判断在上的单调性并用定义法证明； (3)求函数的值域． 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析 (3). 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、定义法判断或证明函数的单调性、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）通过换元法将转化为的表达式； （2）利用单调性定义作差比较，判断在上的单调性； （3）结合的取值范围推导的取值范围，得到值域. 【详解】（1）将化为，令，则，故. （2）在上单调递减，证明如下： 取任意且， . 因，故,，且， 得，即，故在上单调递减. （3）由，得，故，则的值域为. 题型二 函数的奇偶性的判断与证明 1．（2026·河南开封·一模）已知，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数 【分析】充分性证明：根据，解得代入并根据奇函数定义判断；必要性证明：根据奇函数定义求，再对比题干中的值. 【详解】证明充分性：因为，解得，当时，，则，所以是偶函数； 当时，，则，所以是奇函数，故不充分. 证明必要性：若为奇函数，则，即， 整理得，因为，所以，即，故必要， 综上所述“”是“为奇函数”的必要不充分条件， 故选：B. 2．（25-26高一上·天津武清·期中）下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误； 对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】由，可得，进而将代入函数解析式进行求解即可. 【详解】已知，得：，即：， 由此可得：. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海·月考）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】当时，则，则，解得; 当时，则，则，解得. 故 题型三 函数的单调性与奇偶性的综合应用 1．（25-26高一上·上海闵行·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用函数的奇偶性结合已知条件求解； （2）先确定在上的单调性，再利用单调性结合奇偶性化简不等式，解不等式求出实数的取值范围． 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 当时，，则，是奇函数， ，故， （2）当时，是增函数，且, 又是定义在上的奇函数，奇函数在对称区间上单调性一致， 在上是增函数， ，， ，， ，即，解得或， 的取值范围为． 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在单调递增，证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）求出的定义域，由是奇函数，由奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，利用奇函数的定义检验成立，从而求得的值； （2），且，计算与的大小，与的大小，利用定义得到结论； （3）由题意得到，利用单调性求出，，求出对称轴方程为，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可. 法二：第（3）问也可转化为，设，即恒成立，即转化为求当时m的取值范围. ，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则， 经验证，此时， 故满足题意； （2）函数在单调递增. 证明：，且， 则， 因为，所以，则， 所以， 即，所以， 函数在单调递增. （3）由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 法二：第（3）问也可转化为， 设， 即恒成立， 即转化为求当时m的取值范围. ，对称轴为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 题型四 函数的对称性与周期性 1．（2026·吉林长春·一模）已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用 【分析】根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 用替换，则， 即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 故选：D 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、函数的周期性的定义与求解 【分析】根据已知推得函数的周期为4，再应用周期性求函数值. 【详解】由题意，， 所以4是的周期，故 故选：D 3．（2025·安徽合肥·一模）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】首先根据偶函数的定义可得：，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（    ） A．1 B．5 C．9 D．10 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、求分段函数值 【分析】根据函数为偶函数建立方程求出，然后得出函数的解析式，根据分段函数求出即可. 【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数， 所以定义域关于原点对称， 所以即， 解得：或， 又，所以， 所以函数， 所以， 故选：D. 题型五 函数的图像 1．（2025高一上·全国·专题练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A 2．（25-26高一上·天津武清·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案. 【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D 3．（23-24高一上·天津河北·期中）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】先求出函数定义域，进而得到为奇函数，结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】的定义域为， ，所以为奇函数，排除A； ，，，显然，故， 故BC错误，D正确. 故选：D 4．（25-26高一上·重庆·月考）函数（其中e=2.71828…）的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合零点来分析. 【详解】函数的定义域为，且， 因此是奇函数，其图像关于原点对称，故选项A、B不符合题意； 令，则, 因为，所以或，解得或. 因此，函数有三个零点，C选项正确. 故选：C. 5．（25-26高一上·广东广州·月考）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别 【分析】法一：求出，应用排除法确定图象；法二：由，结合其图象与图象的平移关系确定大致图象. 【详解】法一：，排除A、B、C； 法二：由，该函数的图象是函数向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，只有D符合. 故选：D 题型六 抽象函数 1．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）取特殊值得，再取结合，证明，确定是奇函数. （2）任取，利用函数和式性质将转化为，结合时，得出在上单调递减. （3）先求在的最大值，将恒成立问题转化为关于的一次函数在上恒小于0，解对应不等式组得的范围. 【详解】（1）取，则，则； 取，则， 又定义域为，则是奇函数． （2）任取，则， ， 由时，可知， 即，即， 故在上单调递减． （3）由题知，若对所有的，恒成立， 只需， 结合函数的单调性，时，， 则，即， 将不等式左边视作关于的一次函数， 而时恒成立， 故只需，即， 解得或 2．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有. (1)求的值，判断的奇偶性并给出证明； (2)解不等式：； (3)记表示中较大的值，若对，都有.求实数的取值范围. 【答案】(1)0；为奇函数，证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）赋值后求出，令，再由奇函数的定义得证； （2）根据函数的单调性及奇函数的性质列出不等式组求解； （3）由题意转化为求，分离参数，利用基本不等式求最值得解. 【详解】（1）为奇函数，证明如下: 因为的定义域是，关于原点对称， 令，则，所以， 令，则， 所以，所以为奇函数. （2）不妨设，由，得， 则在上单调递增，又是定义在上的奇函数. 所以在上单调递增. 所以函数在定义域上单调递增. 则可变形为， 则，解得. 故所求不等式解集为. （3）由（1）（2）知当时；当时，. 由，恒成立. 所以，当时，恒成立. 所以. 又，当且仅当即时取等号. 所以. 因为，恒成立， 所以. 所以实数的取值范围为 3．（25-26高一上·辽宁·月考）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数基本性质的综合应用 【分析】（1）根据题意，令，求得，令，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，结合题意，求得，即可证； （3）化简得到，得到原式，结合（1），得到，得到，即可得证. 【详解】（1）证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. （2）证明：设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. （3）证明：由， 所以， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. 题型七 函数的零点与方程的根 1．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 2．（25-26高一上·广西桂林·期中）若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】零点存在性定理的应用 【分析】根据函数的零点存在性定理即可求解. 【详解】令，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，因此函数在上为增函数， 因此，函数在上存在零点的充要条件是且， 所以，即，解得 故选：B 3．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线，与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当，即时，， 当，即时，， 作出函数的图象如下图所示：    由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，所以实数的取值范围是. 故选：B. 5．（25-26高一上·河南郑州·月考）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】先判断的单调性，再利用零点存在定理即可求解. 【详解】由题意有：在单调递增，又， 所以存在，使得， 故选：B 1．（25-26高一上·河北·月考）双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（为自然对数的底数）.下列关于与的说法正确的是（   ） A．与在上均为减函数 B．函数的图象关于轴对称 C．，都有 D．的最小值为2 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、基本不等式的实际应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用单调性的定义，函数的奇偶性，直接计算和基本不等式计算最值判断各个选项. 【详解】选项A，设， 则， ，，，， ，即，在上为增函数， 同理可知在上也为增函数，故选项A不正确； 选项B，两函数定义域均为，且，， 是奇函数，是偶函数，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，故选项B不正确； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，当且仅当时，取等号，故选项D不正确. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东日照·期中）已知函数为偶函数，且，则（    ） A． B． C．2025 D．0 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求参数、求函数值 【分析】根据函数的奇偶性列式求得再根据求出，即得函数解析式，根据函数解析式的特征，化简计算得，将所求式分组求和即得. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 化简得，因不恒为0，则故． 又由，可得，即，则， 又因为， 所以 ． 故选：A. 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数基本性质的综合应用 【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】，定义域为， 所以， 所以，所以为奇函数， 在上单调递增，在上单调递增， 故函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 存在实数a，b（）同时满足，故，且. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故选：. 4．（25-26高一上·广东珠海·月考）（多选题）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则下列结论中正确的是（    ） A．设，对任意， B．函数的图象的对称中心为 C．若函数的图象关于点成中心对称图形，则 D．函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】代入函数解析式化简即可判断A；根据为奇函数，由题干结论即可判断B；根据函数的图象关于点成中心对称图形，则函数为奇函数，即可判断C；由题意，从而利用偶函数定义判断D． 【详解】对于A，因为， 所以，正确； 对于B，，则， 因为为奇函数，结合题干可知函数关于点对称，正确； 对于C，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数， 所以，所以，错误； 对于D，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是， 即函数为偶函数，正确 故选：ABD. 5．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知非空集合A，B满足，，可知使得函数为偶函数的非空集合对的数量为 . 【答案】7 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、分段函数的性质及应用 【分析】根据函数和的图象，结合偶函数的图象特征，即可列举求解. 【详解】令，解得或， 在同一坐标系下画出函数和的图象， ，或， 或或 或或 或都是偶函数. 所以满足条件的数对有7对. 故答案为：7 6．（25-26高一上·广东·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有，若对所有，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的应用、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由奇函数的定义求得，由奇函数的定义整理不等式，得到函数的单调性，从而求得在区间上，函数的最值，又不等式恒成立得到新的不等式，然后分离常数后再利用函数的单调性求得不等式一边的最值，从而得到实数的取值范围. 【详解】由题意可知， ， ∴函数在上单调递增，函数， 要想不等式恒成立，即恒成立，即， ∵，∴恒成立， 由基本不等式得，当且仅当，即取等号， ∴由双勾函数性质可知函数在上单调递减， ∴，即. 故答案为：. 1．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）黎曼函数，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值 【分析】先根据条件判断出的周期性，然后化简并根据黎曼函数的定义计算出结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以且， 又因为，所以，所以， 所以，所以，所以是周期为的周期函数， 所以，， 因为当时，，所以，所以， 所以， 故选：D. 2．（25-26高一上·山东日照·月考）（多选题）函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（   ） A． B．的值域与函数的值域相同 C．是奇函数 D．对任意实数x，都有 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数奇偶性的定义与判断、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数新定义 【分析】利用狄利克雷函数的定义代入计算可得A正确；求出函数的值域为，可知B正确；通过分情况讨论可得，是常函数，再利用奇函数的定义即可判断C错误；分别对和进行分类讨论可知D正确. 【详解】对于A选项，，， ， ， ，故A正确； 对于B选项，由可知的值域为， 函数的定义域为， 当时，；当时，， 则函数可化为， 所以函数的值域为，与的值域相同.故B正确； 对于C选项，若，，则； 若，，则. 因此，是常数函数， 而常数函数不满足奇函数的定义，所以不是奇函数，故C错误； 对于D选项，若，则，所以； 若，则，所以. 故D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高三上·陕西西安·月考）定义在R上的奇函数满足，当时，．若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为 ． 【答案】18 【难度】0.4 【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据已知得出周期为8，且函数的图象关于对称，画出函数图象，结合图象要使取最小值，且要满足，可令时，，此时需要至少18段，即可得出答案. 【详解】定义在R上的奇函数满足， 得且函数关于对称， ， 则， 所以的周期为8， 函数的图象如下： 因为为整数， 则由图可知：当时，， 则要满足，至少需要段， 则的最小值为18. 故答案为：18 4．（25-26高一上·吉林长春·月考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数．现已知函数，定义域为的函数关于成中心对称，若与的图象共有2026个交点，记为，则的值为 ． 【答案】4052 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、函数新定义、函数奇偶性的应用 【分析】由题可知，函数关于成中心对称.因为函数关于成中心对称，所以函数与的图象的交点均关于成中心对称，由此可得的值. 【详解】因为函数，所以. 令，则，. 所以函数为奇函数．所以函数的定义域为，且关于成中心对称. 因为定义域为的函数关于成中心对称，所以函数与的图象的交点均关于成中心对称. . 故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $