江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度上学期高一数学寒假作业函数的零点和函数的模型

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度上学期高一数学寒假作业函数的零点和函数的模型 【考点梳理】 考点一：函数零点存在定理 考点二：用二分法求函数f(x)零点近似值 考点三：函数的零点所在区间求参数问题 考点四：零点的个数或根个数求参数范围 考点五：零点的分布问题 考点六：函数模型的应用 考点七：函数和方程的综合问题 【知识梳理】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 1.函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值 2.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 题型三：函数的零点所在区间求参数问题 3.函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：零点的个数或根个数求参数范围 5.已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为    (　　) A． B． C． D． 6.若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：零点的分布问题 7.若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：函数模型的应用 9.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 题型七：函数和方程的综合问题 10.已知． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围． 11.已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度上学期高一数学寒假作业函数的零点和函数的模型解析版 作业5：函数的零点和函数的模型 【考点梳理】 考点一：函数零点存在定理 考点二：用二分法求函数f(x)零点近似值 考点三：函数的零点所在区间求参数问题 考点四：零点的个数或根个数求参数范围 考点五：零点的分布问题 考点六：函数模型的应用 考点七：函数和方程的综合问题 【知识梳理】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 1.函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】在上单调递增. 当时，，所以，则在上无零点. 因为， 所以根据零点存在定理可知，在上有零点.故选：C 题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值 2.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值.故选：C. 题型三：函数的零点所在区间求参数问题 3.函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D. 4.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】和在上是增函数，在上是增函数， 只需即可，即，解得．故选：B. 题型四：零点的个数或根个数求参数范围 5.已知函数，若方程仅有两个不同的根，则的取值范围为    (　　) A． B． C． D． 【详解】函数，当时，单调递增，函数值集合为，当时，单调递减，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，方程的根，即为直线与函数图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有且只有两个交点， 即当时，方程仅有两个不同的根， 函数在上单调递增，， 所以的取值范围为.故选：A 6.若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，令，即，即， 因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示，    所以时，函数只有一个零点， 又由函数有4个零点， 所以时，方程有三个零点，如图所示，    因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为.故选：B. 题型五：零点的分布问题 7.若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有，解得.故选：C. 8.已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得.故选：A. 题型六：函数模型的应用 9.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天， 即，则， 所以质量为的锶89经过30天衰减后， 质量大约为．故选：D． 题型七：函数和方程的综合问题 10.已知． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，， ∵在上单调递增，∴， 解之得，∴不等式的解集为． （2）关于的方程在区间恰有一个实数解， 化简方程得， 即方程在区间恰有一个实数解， 即方程在区间恰有一个实数解，且， 即方程区间恰有一个实数解，且， 故有，解得． 11.已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数， 因为，对称轴为，所以在区间上是增函数， 所以，即，解得. 故. （2）由（1）得， 则不等式为在上恒成立， 即在上恒成立， 又时，，则， 所以，则.故实数k的取值范围. （3）方程，代入， 得，， 化简整理得，令，则， 则方程有两个不相等的实数根等价于关于的一元二次方程有两个大于且不相等的实数根， 所以，即或， 解得或.所以的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $