专题09 函数与方程的综合应用与深度解析（11大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题09 函数与方程的综合应用与深度解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 题型一：求解根的分布问题 题型二：指数函数零点：水平线法应用 题型三：对数绝对值函数零点：水平线法求解 题型四：幂、指、对函数零点：水平线综合法 题型五：切线法求解函数零点 题型六：绝对值折线型函数零点问题 题型七：双函数内外复合零点求解 题型八：自复合函数零点问题 题型九：可因式分解的复合二次函数零点 题型十：根的分布与复合二次函数零点 题型十一：周期函数零点求解 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 首先，要熟练掌握各种函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等．这些性质是解题的基础，能够帮助我们快速判断函数的图像和变化趋势． 其次，要学会将方程问题转化为函数问题．通过构造函数，利用函数的零点存在性定理或图像法，可以直观地找到方程的解． 此外，还要注意函数与方程之间的相互转化．有时，将函数问题转化为方程问题，或者将方程问题转化为不等式问题，能够找到更简洁的解题途径． 求解根的分布问题 1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 4．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 指数函数零点：水平线法应用 1．若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 对数绝对值函数零点：水平线法求解 1．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若关于x的方程有四个不同实数解，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（    ） A． B．23 C． D．24 幂、指、对函数零点：水平线综合法 1．已知函数若总存在实数t，使得函数有三个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．已知函数（且），若存在实数使得函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若存在实数m，使函数有两个零点，则a的取值范围 A． B． C． D． 切线法求解函数零点 1．已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 3．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线所过定点恰好落在函数的图象上，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 绝对值折线型函数零点问题 1．已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数且在上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 双函数内外复合零点求解 1．如图，偶函数的图像形如字母，奇函数的图像形如字母．若方程，，，的实根个数分别为、、、，则（ ）． A．27 B．30 C．33 D．36 2．如图，偶函数的图象形如字母M（图1），奇函数的图象形如字母N（图2），若方程，的实根个数分别为a，b，则（    ）    A．18 B．21 C．24 D．27 3．已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根； ③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根； 其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，，则函数的所有零点之和是（    ） A． B． C． D． 自复合函数零点问题 1．已知函数则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知函数则函数的零点个数为. A． B． C． D． 3．已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或或 D．或 4．已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 可因式分解的复合二次函数零点 1．已知函数，记，若有6个零点，则实数的取值范围是 . 2．已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 . 3．已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是 4．已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是 ． 根的分布与复合二次函数零点 1．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有8个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．已知函数，，若，则零点的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 周期函数零点求解 1．已知函数，，则方程的解的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则函数的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为 A．4 B．6 C．8 D．12 4．定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为（    ） A．0 B．8 C．16 D．32 1．若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的零点为，的零点为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与的图象恰好有三个交点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 5．设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是 ． 6．已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 7．已知函数，若关于的方程有四个不同的实根、、、，且则的取值范围为 ． 8．已知函数方程有六个不同的实数根，则的取值范围为 . 9．关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有4个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足，，，试判断方程根的个数． 1．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（多选题）已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与且的图象恰好有三个交点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知函数，下面关于的方程的实数根的个数，说法正确的是（    ） A．当时，原方程有6个根 B．当时，原方程有6个根 C．当时，原方程有4个根 D．不论取何值，原方程都不可能有7个根 5．已知函数若关于x的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为 . 6．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”;若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”. (1)试问函数与是否互为“和幂函数”?说明你的理由. (2)已知函数与互为“积幂函数”. ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一. ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）. 7．已知函数. (1)若，求关于的方程的解； (2)若关于的方程有三个不同的正实数根且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 8．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 9．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”. (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？说明你的理由. (2)已知函数与互为“积幂函数”. ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一； ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）. 1．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））关于的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2003 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．若，则函数的图象关于原点对称 B．若，，则方程有大于2的实根 C．若，，则方程有两个实根 D．若，，则方程有三个实根 3．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 4．（2022年新高考天津数学高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 5．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（广东卷））已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 函数与方程的综合应用与深度解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 题型一：求解根的分布问题 题型二：指数函数零点：水平线法应用 题型三：对数绝对值函数零点：水平线法求解 题型四：幂、指、对函数零点：水平线综合法 题型五：切线法求解函数零点 题型六：绝对值折线型函数零点问题 题型七：双函数内外复合零点求解 题型八：自复合函数零点问题 题型九：可因式分解的复合二次函数零点 题型十：根的分布与复合二次函数零点 题型十一：周期函数零点求解 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 首先，要熟练掌握各种函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等．这些性质是解题的基础，能够帮助我们快速判断函数的图像和变化趋势． 其次，要学会将方程问题转化为函数问题．通过构造函数，利用函数的零点存在性定理或图像法，可以直观地找到方程的解． 此外，还要注意函数与方程之间的相互转化．有时，将函数问题转化为方程问题，或者将方程问题转化为不等式问题，能够找到更简洁的解题途径． 求解根的分布问题 1．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 2．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 3．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解析】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 4．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【解析】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 指数函数零点：水平线法应用 1．若关于x的方程有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于x的方程有两个不等的实数解， 即与的图象有两个交点，画出的图象如图， 由图象可得：. 故选：A. 2．已知，且，函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】（1）时， ①，无实数根； ②，有一个实数根； 故与题意矛盾，不成立； （2）时， ①若，有一个实数根，则，解得：， 若，无实数根，则； ②，在上必有一个实数根； 若，即，或，则在上有一个实数根， 若，即，则在上无实数根； 综上，的取值范围是. 故选：D. 3．已知，且，函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，则， 则， 即，，可得的大致图像如图： 由图可知，此时的图像与直线仅有一个交点， 故关于x的方程仅有一个实数根，不满足题意； 当时，，则， 又，的大致图像如图： 因为关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以的图像与直线有两个交点， 结合图象可知，解得． 故选：B． 4．已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和 因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令， 则有，是方程的两个根，必有， ，是方程的两个不等根，则，， 整理得，即，由得：或，因此有，， 则有，，而函数在上单调递减，从而得， 于是得， 所以的取值范围是. 故选：D 对数绝对值函数零点：水平线法求解 1．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意作函数与的图象， ∵方程有四个不同的解且， ∴关于对称，即， 当得或，则， 由题知，，故， 所以， 故， 因为， 设，则由对勾函数的性质可知， 在单调递增，所以， 的取值范围是 故选：B. 2．已知函数，若关于x的方程有四个不同实数解，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象，如图，作直线，当时，直线与函数图象有四个交点，由图象知，，即，， ，，所以， 所以，由对勾函数性质知函数在上是减函数，所以时，． 故选：A． 3．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作函数和的图象，如图所示： 当时，，即，解得，此时，故A错误； 结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误； 当时，，即， 故，即，所以， 故，即，所以，故D正确. 故选：D. 4．设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（    ） A． B．23 C． D．24 【答案】B 【解析】做出函数的图象如图所示， 由图可知，当时，的对称轴为， 所以， 若关于的方程有四个实根， 则， 由，可得或， 所以，又因为， 所以，故，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 幂、指、对函数零点：水平线综合法 1．已知函数若总存在实数t，使得函数有三个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】对于函数，易知该函数在和上单调递减， ； 对于函数， 易知该函数在上单调递增，上单调递减，； 有三个零点等价于函数与有三个交点， 若要符合题意，需与有两个交点， 且交点的纵坐标在区间内，如下图所示， 故或. 故选：C 2．已知函数（且），若存在实数使得函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当时，单调递增，且零点为. 当时，令，得， 若，画出（）与的图象如下图所示， 则， 所以或， 这两个方程组无解，所以不符合题意. 若，画出（）与的图象如下图所示， 此时，由图可知与有两个交点. 综上所述，的取值范围是. 故选：A 3．设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画出函数的图象，如下图： 因为关于的方程恰有3个不同的实数根， 则， 又关于对称，所以， 又，且， 所以. 故选：A. 4．已知，若存在实数m，使函数有两个零点，则a的取值范围 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由有两个零点，可得有两个零点，即与的图像有两个交点，由，可得或， ①    当时，函数的图像如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意； ②    当时，函数单调递增，故不符合题意； ③    当时，函数单调递增，故不符合题意； ④    当时，函数单调递增，故不符合题意； ⑤    当时，函数的图像如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意； 综上可得，或， 故选：B. 切线法求解函数零点 1．已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函数的图象和的图象 关于x的方程恰有两个互异的实数解，等价于与的图象由两个不同的交点 平移，考虑直线经过点和时有两个交点，可得或 考虑直线在时与相切，可得， 由，得或（舍） 综上所述，m的取值范围是 故选：B 2．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求． 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是． 故选D． 3．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数,为奇函数,所以 ,即周期为4 由与相切得;由与相切得;由图可知有三个零点时实数的取值范围是， 故选：C. 4．已知直线所过定点恰好落在函数的图象上，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 由解得，即直线过定点， ∴，∴， 令，得，     在同一坐标系中作出与的图象，如图所示， 函数有三个不同的零点，等价于与的图象有三个不同的交点； 由图像可得，只需，即. 故选：B. 绝对值折线型函数零点问题 1．已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，因为在上为单调函数，且时，单调递减， 所以，解得， 在同一坐标系中画出和的图象，如图所示： 由图象可知当时，若，和的图象有一个交点，不合题意； 若，和的图象有两个交点， 故只需当时，和的图象有且只有一个交点， 当，即，即时，满足题意； 当，即时，只需与相切， 联立可得，则，解得， 综上，的取值范围是 故选：D 2．已知函数且在上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在区间上为单调函数， 且当时，在上单调递增， ，解得， 又函数有两个不同的零点等价于有两个不同的实数根， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 作出函数与直线的图象， 当时，由得， 由于，故， 易知函数与直线的图象在上有唯一交点， 则函数与直线的图象在上有唯一交点， 故或与的图象相切，即有唯一解， 或或， 综上，实数的取值范围为，结合选项可知A符合题意， 故选：A. 3．已知函数，在上有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上有个不同的零点， 所以，关于的方程在上有个不同的实数根， 作出函数的图象如下图所示： 函数的图象恒过点， 当时，函数的图象与轴的交点为， ①当时，即当时，函数与的图象在上仅有个不同的交点，如下图所示： ②当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示： ③当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示： ④当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，如下图所示： ⑤当时，要使得函数与的图象在上有个交点， 则与的图象在上有个交点， 则与函数在上的图象有两个交点， 即方程在上有两个不等的实根， 设，则在上有两个零点， 可得，解得，此时. 且与的图象在上有一个交点，则，解得. 由上可知，； ⑥当时，，如下图所示： 直线与函数在上的图象有三个交点. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 4．已知函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：因为函数在（0，+∞）上有3个不同的零点， 所以，和的图像在（0，+∞）上有3个交点，代入，不合题意，排除A、C，又k取+∞显然不合题意，排除B； 解法二：因为函数在上有3个不同的零点， 所以|和的图像在上有3个交点， 画出函数g（x）的图像，如图. 的图像恒过点（0，2），且当时与x轴的交点为（，0）， 当时，与g（x）的图像在上有3个不同的交点，如图. 当，即时， 与g（x）的图像在上仅有2个不同的交点，如图. 当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有1个交点，在（，∞）上有2个交点，如图. 当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有3个交点，在上有0个交点，如图， 当，即时，与g（x）的图像在（0，+∞）上有2个交点，如图. 当时，的左支与g（x）的图像无交点， 当直线与相切时，联立方程得 令，得舍去）， 所以 当，即时，与g（x）的图像在上有3个交点. 综上，可得k的取值范围为 故选：D. 双函数内外复合零点求解 1．如图，偶函数的图像形如字母，奇函数的图像形如字母．若方程，，，的实根个数分别为、、、，则（ ）． A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】B 【解析】由，结合的图象知有三个根，其中一个根为0，另两个根的绝对值大于1小于2， 又无解，有三个根，所以有三个根，故.由，同上有三个根，从小到大依次设为，其中，又均有三个根，则有九个根，故.由，有3个根，从小到大依次记为，其中，又分别有三个根，共有9个根，故. 由，由上得的三个根为，又分别有三个根，共有9个根，故.所以. 故选：B. 2．如图，偶函数的图象形如字母M（图1），奇函数的图象形如字母N（图2），若方程，的实根个数分别为a，b，则（    ）    A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】A 【解析】由图象知，有3个根，0，，其中， 有3个根，0，，其中， 由，得或， 由图象可知所对每一个值都能有3个根，因而； 由，知或， 由图象可以看出，有3个根， 有4个根， 有2个根，加在一起也是9个， 即，， 故选：A. 3．已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根； ③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根； 其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据图象，当时，即，，，其中，， 结合图象，可以看出共有个交点，所以方程有个根，故①正确； 时，，，其中，， 结合图象，可观察共有个交点，所以方程有个根，故②错误； 同理方程有且仅有个根，故③正确；方程有且仅有个根，故④正确； 故选：B. 4．已知函数，，则函数的所有零点之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，且， 分情况讨论：①或时，由，可解得：或（小于0，舍去）； ②时，由，可解得：． ③当时，由，无解． 函数的所有零点之和是． 故选：． 自复合函数零点问题 1．已知函数则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】作出的图象，如图所示： 则的值域为，求的零点，即求，即，对应方程的根. 设，则，则等价于， 如图所示： 有3个交点，则有三个解， 当时，有，解得或， 当时，有，解得或（舍） 故的值分别为，，，则对应解如下图 对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T， 综上所述：的零点个数为个. 故选：D 2．已知函数则函数的零点个数为. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，令，得， 令,由，得或， 作出函数的图象，如图所示， 结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B. 3．已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或或 D．或 【答案】D 【解析】依题意函数的零点即为方程的根， ①当时函数的函数图象如下所示： 所以有两个根，（，）， 而对应2个根，所以需要对应3个根， 所以，即，解得； ②当时函数的函数图象如下所示： 所以有两个根，（，），而对应2个根， 对应2个根，即共四个根，所以不满足题意； ③当时函数的函数图象如下所示： 所以有三个根，，， 从而，，，所对应2、2、1个根， 即共5个根，所以满足题意； ④当时函数的函数图象如下所示： 所以有三个根，，，（，，）， 而，，分别对应2、2、0个根，即共四个根， 所以不满足题意； 综上可得实数的取值范围为或； 故选：D 4．已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，画出函数图像： 有4个零点，则有四个解. 当时，根据图像，则和 有两个解，有两个解，满足条件； 当时，根据图像，则，和 . 有两个解，有两个解， 有两个解，共有6个解，不满足； 当时，同理可得有6个零点.不满足； 当时，根据图像，，. 有两个解，有两个解，满足条件. 当时，则，. 有两个解，有三个解，共有5个解，不满足； 当时，，有三个零点，不满足； 综上所述： 故选： 可因式分解的复合二次函数零点 1．已知函数，记，若有6个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 令， 可得， 可得或， 由的图像如上图所示， 若要有6个零点，可得： 或或，解得或， 故的取值范围为. 故答案为：. 2．已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 . 【答案】 / 【解析】令， 解得或. 作出的图象如图. 要使有3个不同的零点， 则的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当即时，的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合条件. 易得，所以，即， 不妨设，由，得， 由，得， 所以. 故答案为： 3．已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是 【答案】 【解析】函数的图象如图，且， 令，则，可得或，， 当时，有3个不等的实根， 又函数有6个零点，所以方程有6个不等实根， 则有3不等实根，所以，解得. 故答案为：. 4．已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是 ． 【答案】8 【解析】函数的图象, 如图所示, 关于 的不等式 ， 当 时, , 由于关于 的不等式 恰有 1 个整数解, 因此其整数解为 3 , 又 , 所以 , 则 , 所以实数 的最大值为 8 , 故答案为：8. 根的分布与复合二次函数零点 1．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，为偶函数 画出函数图像，如图所示： 根据图像知： 当时：无解； 当时：有2个根； 当时：有4个根； 当时：有2个根； 当时：有1个根； 当时：无解； 有且仅有6个不等的实数根 和满足： 或 则满足： 则满足： 综上所述： 故选 2．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有8个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，因为是定义域为的偶函数，画出的图象如下： 由图象可知：当时，有4个根， 要想有且仅有8个不同的实数根， 则要有两个不相等的实数根，且， 令， 则，解得：. 故选：A 3．已知函数，，若，则零点的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】函数的图象如下， 令，则求在零点的个数， 由得，所以， 即方程有两个不相等正根， 令，可得，不成立， 所以，即求与的图象在交点的个数， 因为，所以，即， 解得，且，可得与的图象有2个交点， 当，且时， 与有8个交点，则零点的个数为8. 故选：D. 4．已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出的函数图象如下： 设， 则当或时，方程只有1解， 当时，方程有2解， 当时，方程有3解， 当时，方程无解. 因为关于的函数有6个不同的零点， 所以关于的方程在上有两解， 所以，解得. 故选：B． 周期函数零点求解 1．已知函数，，则方程的解的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】当时，是增函数，且， 是上的减函数，经过点和， 又因为当时，，所以在、、……上的图象与上的图象相同， 在同一平面直角坐标系下作出的图象如图所示： 由图象可知，的图象共有个交点，所以方程的解的个数是， 故选：B. 2．已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则函数的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，即，可知的周期为. 因为是定义在上的偶函数，所以，可得的图象关于点对称. 作出函数的大致图象，如图所示，则的零点，即为函数与图象的交点的横坐标. 由图可知，，即零点之和为. 故选：D. 3．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解析】由于，故是函数的对称轴，由于为奇函数，故函数是周期为的周期函数，当时，，由此画出的图像如下图所示.令，注意到，故上述方程可化为，画出的图像，由图可知与图像都关于点对称，它们两个函数图像的个交点也关于点对称，所以函数在区间上所有零点之和为. 故选:C. 4．定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为（    ） A．0 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】因为，， 即，， 所以函数是以4为周期的周期函数. 又，即， 则函数的图象关于直线对称. ， ， 则函数的图象关于点对称， 函数的图象也关于点对称， 如图所示，共有4个公共点， 且这些公共点呈现2对关于点对称， 因此，方程在上所有根的和为. 故选:B. 1．若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 因为二次方程在上有两个不相等的实根， 所以函数在上有两个不同的零点， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 2．已知函数的零点为，的零点为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由和得， 函数与关于直线对称， 在同一坐标系中分别作出的图象如图所示， 联立得两直线交点坐标为， 则且关于点对称， 所以， 又，所以，故选项A、B、D正确； 因为在R上单调递增，且， 所以，所以，故C错误. 故选：C. 3．（多选题）已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与的图象恰好有三个交点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为函数的定义域为，满足， 所以为以为周期的周期函数， 当时，， 函数的图像为开口向下、顶点为的抛物线的一部分， 因为，所以，则， 作出函数的图像，如图所示， 要使函数的图像和的图像恰好有三个交点， 则有 ，即，解得， 即实数a的取值范围是，选项中BC符合. 故选：BC. 4．（多选题）已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】令，则， 可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标， 如图，作出函数的图象， 则， 对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，因为，即， 且，则， 可得， 即，整理得， 即，解得， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 且，则，， 可得， 整理得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确； 对于D，方程，即， 令，则，注意到， ①若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； ②若，则方程有个不相等的实根和， 且有个不相等的实根； 有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ③若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根； 有个不相等的实根； 或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ④若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根；或或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ⑤若，则方程有个不相等的实根， 且无实根；或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； 综上所述：方程最多有个不同的实根，故D正确. 故选：ACD. 5．设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】方程有且仅有1个实数根， 即函数与直线的图象有且只有一个交点， 作出函数的图象，如图： 结合图象可得. 故答案为：. 6．已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】令， 解得或. 函数的图象如下： 要使有3个不同的零点，则函数的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当，即时，函数的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合题意. 故答案为：. 7．已知函数，若关于的方程有四个不同的实根、、、，且则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为， 当时，，所 以，且在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又， 作出函数和函数的图象如下图所示，则两个函数的图象共有4个交点，且横坐标分别为x1、、、，且， 则，由，得， 则有，所以， ，化简得，，. 由于二次函数图象对称轴为直线， 则点两点关于直线对称，所以，且由图象可知， 所以，又， 由二次函数的性质可得， 所以， 故答案为：. 8．已知函数方程有六个不同的实数根，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题可得，， 作出函数图象如下， 不妨设的6个实数根， 根据图象可知，关于对称，所以， 关于对称，所以， 又由图可知，，且， 因为，所以，即， 所以，所以，所以， 所以，， 因为双勾函数在单调递增，所以， 所以， 故答案为：. 9．关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有4个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足，，，试判断方程根的个数． 【解析】（1）令，则， 原方程转化为（*）， 原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零， 令，函数的图象的对称轴方程为， ①若（*）式无实根，则， 故， 解得， ②两根均为负，则，解得， 综合①②，可知的取值范围是； （2）作函数的图象， 可知或时，方程有个不同的解， 时，方程有个不同的解，， 时，方程有个不同的解， 要使原方程有四个不等实根， ①（*）式一根为零，另一根大于1， 若为方程的根，则，此时方程的另一根为，矛盾， ②（*）有两不等根且两根均大于1，则，解得； ④（*）式有一个实根在之间，另一根小于零则；解得； 综上所述，的取值范围为； （3）因， 所以， 因为为正实数，所以 可得，即， 所以，即， 当且仅当即，时等号成立， 故，此时有， 故（*）式有两不等实根且一根在之间，另一根大于1， 故原方程有6个实根 1．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则化为， 又， 所以，， 作出函数的大致图象，如图 由图可得，当时，有两个根，， 即或，此时方程最多有5个根； 当时，有三个根， 即或或， 此时方程最多有6个根； 当时，有两个根，即或， 此时方程有4个根； 当时，有一个根，即， 此时方程有2个根； 综上，方程的实数解的个数至多是6个. 故选：B. 2．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 3．（多选题）已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与且的图象恰好有三个交点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，所以函数的周期为2， 又因为当时，. 作出与的图象， 易知，且， 数形结合可知必须满足 即解得， 故选：BC. 4．（多选题）已知函数，下面关于的方程的实数根的个数，说法正确的是（    ） A．当时，原方程有6个根 B．当时，原方程有6个根 C．当时，原方程有4个根 D．不论取何值，原方程都不可能有7个根 【答案】ABC 【解析】令，则方程实数根的个数等价于函数的图象与直线交点的个数， 由于，所以作出函数的图象如下， 当时，函数的图象与直线交点只有1个，故方程实数根的个数为1个； 当或时，函数的图象与直线交点有2个，故方程实数根的个数为2个； 当时，函数的图象与直线交点有3个，故方程实数根的个数为3个； 方程，可化为， 对AB，当时，， 方程有3个不等实数根，分别记为，且， 从而有1个实数根，有3个不等实数根，有2个不等实数根， 所以方程有6个不等实数根，AB正确； 当时，有2个实数根，分别为， 从而方程有1个实数根，方程有3个不等实数根， 所以方程有4个不等实数根，C正确； 当时，，方程有3个不等实数根，分别为， 方程有2个不等实数根，方程有3个不等实数根，方程有2个不等实数根， 则方程有7个不等实数根，D错误； 故选:ABC. 5．已知函数若关于x的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，开口向上，对称轴为， 且，， 画出与的图象，如下： 则，， 所以， 故，即， 令，解得或6， 故， 其中， 因为，所以. 故答案为： 6．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”;若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”. (1)试问函数与是否互为“和幂函数”?说明你的理由. (2)已知函数与互为“积幂函数”. ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一. ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）. 【解析】（1）与互为“和幂函数”，理由如下：     因为， 所以与的定义域均为 因为， 且为幂函数，所以与互为“和幂函数” （2）①证明：，                    则，即                          设，则为增函数. 因为，所以         令，得                     设函数. 因为，         易知的图象是连续不断的曲线，所以在上存在零点， 即存在负零点. 因为为减函数，所以的零点唯一，即存在负零点，且负零点唯一    ②当时，，   则     因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以        令，得. 因为，         且在上有两个零点，所以的取值范围为 7．已知函数. (1)若，求关于的方程的解； (2)若关于的方程有三个不同的正实数根且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）当时，， 则由，得， 当时，则，即，解得或（舍去）； 当时，则，即，无实数解， 综上，. （2）（i）因为， 当时，， 当时，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 易知在上单调递增， 当时，则在上单调递增，在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 故方程不可能存在3个不同正实根， 所以，则在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故，解得， 即的取值范围为； （ii）是方程，即的两个根，故， 是方程的较大根，即的较大根， 则且在区间上单调递减， 所以. 8．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以，解得或， 所以函数的不动点为和. （2）函数恒有两个相异的不动点，即方程有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根， 恒成立，即恒成立， 所以，解得， 故当时，函数恒有两个相异的不动点，则的取值范围为. （3）∵ ， 所以， 因为，所以， 由于对勾函数在单调递增， 所以， 所以.故的取值范围为. 9．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”. (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？说明你的理由. (2)已知函数与互为“积幂函数”. ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一； ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）. 【解析】（1）对任意的，，所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； （2）①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根，故. 1．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））关于的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】令，则， 作出这两个函数的图象，如图： 由图可知， 当时，只有一个大于的根，则方程恰有两个实根；故①为真命题； 当时，由得或， 当时，，当时，或，此时原方程恰有5个实根，故③为真命题； 当时，有两个实根，两个实根在内，此时原方程有8个实根，故④为真命题； 当时，由得，则方程恰有4个实根；此时原方程恰有4个实根，故②为真命题. 故选：A 2．（2003 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．若，则函数的图象关于原点对称 B．若，，则方程有大于2的实根 C．若，，则方程有两个实根 D．若，，则方程有三个实根 【答案】B 【解析】A.若，，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误； B.当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加b，，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，故正确； C.若，，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么只有1个零点，所以只有1个实根，故错误； D.若，，则的图象由的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即只有一个实根，故错误. 故选：B. 3．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 4．（2022年新高考天津数学高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（广东卷））已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围． 【解析】当时，，由可得，不合乎题意； 当时，分以下几种情况讨论： ①若在上两个相等的实根，则，解得； ②若函数在上只有一个零点（不是两个相等的实根）， 则，即，解得， 当时，由，解得或（舍），合乎题意， 当时，由，解得或，不合乎题意， 此时，； ③若函数在有两个不等的零点， 则或，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$