安徽省淮北市2025-2026学年高二上学期元月素质检测数学试题

2024级高二年级元月素质检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效。考试结束后只交答题卡。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 经过点，的直线的两点式方程为（     ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，直线的方向向量，点在直线上，点到直线的距离是（     ） A. B. C. D. 4.将直线向上平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（     ） A.5或.或15 C.3或.或17 5. 已知椭圆的焦距为2，则（     ） A.2 B.5或7 C.5 D.2或10 6. 等差数列前项的和为，已知，，则（     ） A.7 B.8 C.9 D.10 7.已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，，，则的离心率为（     ） A. B. C. D. 8. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，两点，过且与抛物线在处的切线平行，交抛物线于另一点，交轴于点，则面积的最小值为（     ） A.4 B.8 C.16 D.32 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列计算正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正方体的体积为8，线段，的中点分别为，，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（     ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 动点的轨迹长度为 C. 不存在点，使得平面 D. 四面体体积的最大值为 11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（     ） A. 的最小值为4 B. 以线段为直径的圆与直线相切 C. 当时，则 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知是的导函数，且，则______. 13. 已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式______. 14. 在平面直角坐标系中，射线，，半圆。现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线，时会发生镜面反射。设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分）已知圆过三点，，。 （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，且，求的最小值。 16.（本题满分15分）如图，在四棱台中，平面，，，。 （1）若，证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值。 17.（本题满分15分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于，两点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； （3）若，求证：直线过定点。 18.（本题满分17分）已知数列的首项，。 （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）令，求数列的最大项。 19.（本题满分17分）已知双曲线过点，且到直线的距离为。 （1）求双曲线的标准方程。 （2）的左、右焦点分别为，，若过的直线与交于，两点，直线与交于点。 （i） 证明：直线过定点； （ii） 当，两点均在的左支上时，直线与交于点，直线与直线交于点，求的面积的最小值。 2024级高二年级元月素质检测 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B D B D A C AC ACD BCD 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。 1.【答案】C 【解答】解：直线的斜率为，由直线的斜率与倾斜角的关系可知，。故选：。 2.【答案】A 【解答】解：因为直线经过点，，所以由方程的两点式可得直线方程为，即。 3.【答案】B 【解答】解：由直线的方向向量为，可得直线的单位方向向量，又，所以点到直线的距离。 4.【答案】D 【解答】解：直线沿轴向上平移1个单位，得，即。 化圆为，得圆心坐标为，半径为。 则，即，得或。 5.【答案】B 【解答】解：因为椭圆的焦距为2，若椭圆的焦点在轴上，则，解得，若椭圆的焦点在轴上，则，解得，综上，或。 6.【答案】D 【解答】解：由等差数列的性质，知，所以或，因为，所以，且。 7.【答案】A 【解答】解：因，且，可得，在直角中，因为，所以，，因，由双曲线的定义，可得， 即，即，所以双曲线的离心率为。 8.【答案】 【解答】解：易知点处的切线方程为，斜率为，所以直线的方程为， 联立，消去并整理得，该方程的解为，， 由韦达定理得，设，因为点在直线上，所以， 因为，所以直线的方程为， 整理得，因为该直线过点，所以， 粗疏直线的方程可化为， 即，则的面积为： ， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为。 二、多项选择题： 本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9.【答案】 【解答】解：，则，故正确； ，则，故错误； ，则 ，故正确； ，则，故错误. 10.【答案】 【解答】解：对于选项，依题意，，而平面，平面， 故平面，则点到平面的距离为定值， 故三棱锥的体积为定值，故选项正确； 对于选项，因为，故，则，而， 故， 故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故选项错误； 对于选项，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，故，， 设为平面的法向量，则， 得，令，故为平面的一个法向量， 设，若平面，可得，故，则， 解得，，但，故选项正确； 对于选项，因为为等腰三角形，故。 面点到平面的距离， 令，则， 则，其中， 则四面体体积的最大值为，故选项正确。 11.【答案】 【解答】解：因为点在抛物线上，所以，解得， 则抛物线的方程为，焦点，设直线的方程为， 联立，消去并整理得，此时， 由韦达定理得，，所以， 当且仅当时，等号成立，故选项错误；由抛物线的定义知， 因为的中点横坐标为，所以的中点与直线的距离为， 即为的一半，所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项正确； 若且，此时，因为，所以，， 所以，解得，此时， 则，故选项正确； 因为，故选项正确． 三、填空题：本大题共\（3 \）小题，每小题\（5 \）分，共\（15 \）分。 12．【答案】． 【解答】解：由已知可得． 13．【答案】． 【解答】解：等差数列的公差为，且满足，， 则，，则，解得（负值舍去）， ． 14．【答案】 【解答】解：将半圆依次沿着，，作对称，如图所示： 光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间， 因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示， 当光线与相切时，光线所在直线斜率为， 由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切， 则入射光线所在直线为与圆相切， 当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时， 此时，所以光线斜率为， 当光线与相切时，光线斜率为， 所以由图可知的取值范围是。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解答】解：（1）设圆的方程为， 由点，，在圆上，可得，解得 4分 则圆的方程为，即 6分 （2）由（1）可得：圆心，半径， 由，即，则直线过定点 8分 由圆心到定点的距离 10分 则定点在圆内，易知当时，最短， 13分 16.【解答】解：（1）证明：在中，，，， 由正弦定理得，得，故，即 2分 因为平面，平面，所以 4分 又，与有交点，，平面 5分 所以平面，又平面，所以，因此 6分 又平面，平面，所以平面 7分 （2）结合（1）可得，根据，，， 可得。连接，因为， 所以，。由题意知，，两两垂直 8分 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(2,0,0)，C1(1,0,32)，D(0,3,0)，B(32,-32,0) 10分 所以，，。 设平面的法向量为，则，则， 即{x−32z=012x+32y=0，取x=3，则m=(3,-1,2) 11分 设平面的法向量为，则，则，即， 取a=3，则n=(3,2,2) 12分 设二面角B-CC1-D的大小为θ，则cosθ=|m·n||m|·|n|=|3-2+4|8×11=52244 14分 因此二面角B-CC1-D的正弦值为1-cos2θ=1-(52244)2=315444 15分 17.【解答】解：（1）由题意可得{ca=633a2+1b2=1a2=b2+c2，解得{a=6b=2c=2，∴椭圆方程为x26+y22=1 3分 （2）弦的中点的纵坐标为，直线斜率存在。 设直线，代入，可得， 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由韦达定理可得{x1+x2=−6km1+3k2x1x2=3m2−61+3k2 5分 ， 弦的中点的纵坐标为，，即， ∵|MN|=1+k2·Δ1+3k2=231+k2·6k2+2-m21+3k2 7分 由点到直线的距离公式可得到直线的距离， ∴S∆MON=12|MN|·dO-MN=34m-m22=3-(m-2)2+42 8分 由，，可得， ∴当m=2即k=±1时，S∆MON取得最大值3 9分 （3）证明：，， 即x1x2-3(x1+x2)+3+y1y2-(y1+y2)+1=0(*) 10分 ，， 代入(*)式，得(1+k2)x1x2+(km-k-3)(x1+x2)+m2-2m+4=0 11分 即，化简得， 即(3k+m-1)(3k+2m+1)=0，∴m=1-3k或m=-1-3k2 12分 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当m=-1-3k2时，则直线l:y=k(x-32)-12，此时直线过定点(32,-12) 13分 当直线斜率不存在时，直线x=32交椭圆于M(32,72)，N(32,-72) 14分 此时，显然成立． ∴直线l过定点(32,-12) 15分 18．【解答】解：（1）证明：数列{an}的首项a1=1，an+an+1=4×3n 2分 可得an+1-3n+1=4×3n-an-3n+1=-(an-3n)，且a1-3=-2 3分 可得{an-3n}是首项为-2，公比为-1的等比数列 4分 （2）由（1）可得，即有，...8分 （3）bn=n3an-2×(-1)n=n33n，则bn+1-bn=(n+1)33n+1-n33n=-2n3+3n2+3n+13n+1 10分 当1≤n≤2时，可得b1<b2<b3 12分 当n≥3时，bn+1−bn<0，即有b3>b4>b5>⋯>bn 14分 则数列{bn}的最大项为b3=1 17分 19.【解答】解：（1）由于，并且到直线的距离为，1分 因此，那么，因此， 根据题意可知……………………………………………………………………2分 将代入上式，可得双曲线方程，所以，那么， 因此………………………………………………………………………………4分 （2）（ⅰ）证明：根据第一问可知，，，． 当直线与轴不重合时，设，，， 联立双曲线方程可得，化简得…………………………………………6分 那么结合根的判别式可得，…………………………………………7分 根据韦达定理可得，，易知直线， 当时，轴，与平行，不相交，不符合题意，因此， 令，得到……………………………………………………………………8分 因此直线………………………………………………………9分 令，得到轴与直线的交点横坐标 …………………………………………10分 因此过定点…………………………………………………………………………………11分 当直线与轴重合时，直线与轴重合，因此过定点． 综上所述，过定点………………………………………………………………………………12分 （ⅱ）结合（ⅰ）可知，过定点， 同理可知， 也过定点， 由于与交于点，因此。 由于，两点均在双曲线的左支上，因此或或，因此。…… 14分 所以三角形面积 。 令，那么，………………… 15分 易知在上单调递增，因此当时，此时…16分 因此最小值为………………………………………………… 17分 学科网（北京）股份有限公司 $