精品解析：江西省南昌中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

南昌中学2025—2026学年度上学期12月考试 高一数学试卷 命题：徐晓东 审题：江华平 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 4. 若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（　　） A. B. C. D. 5. 设函数满足，当0≤x<1时，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 6. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（ ）天，（结果保留一位小数，参考数据：） A. B. C. D. 19 7. 已知函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 满足条件，且的一组为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（ ） A. 函数的定义域是 B. 函数是增函数 C. 当时，有最大值 D. 函数的最大值是 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数,令函数，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，函数有2个零点 B. 函数不可能有1个零点 C. 若函数有3个零点，则的取值范围为. D. 方程有5个根 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，若，则___________． 13. 已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围________. 14. 已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为_____． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； （2）若，，求实数a的取值范围． 16. 已知函数. （1）若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 17. 设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． （1）证明是奇函数； （2）解不等式． 18. 设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设. （1）设，将表示成关于的函数，并写出定义域； （2）设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 19. 定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界. （1）判断函数，是否是有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2025—2026学年度上学期12月考试 高一数学试卷 命题：徐晓东 审题：江华平 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合后由交集定义即可得. 【详解】， 又，故. 故选：D. 2. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 3. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，进而得，再根据指数函数性质求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得， 所以， 令得， 所以， 所以的图象过定点. 故选：D. 4. 若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是奇函数可得，因为是的一个零点，代入得，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断可得答案. 【详解】因为是的一个零点，所以， 又因为f（x）为奇函数，所以， 所以，即. 所以， 故一定是的零点. 故选：C. 5. 设函数满足，当0≤x<1时，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先证明函数的周期为2，再化简，再利用函数的周期和已知化简得解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以函数的周期为2. 因为， 所以. 故选：A． 6. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（ ）天，（结果保留一位小数，参考数据：） A. B. C. D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知数据求出的值，设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为，利用，结合对数运算法则可求得结果. 【详解】因为，，解得， 设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为， 则（天）， 所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为天， 故选：C. 7. 已知函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合函数的图象、值域的定义进行求解即可. 【详解】，函数图象如下： 由二次函数的性质，结合函数的图象可知： 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递减，此时有， 当时，函数单调递增，此时有， 而，， 因为该函数区间上的值域为， 所以要想有最大值，只需最小，最大，即时， 有最大值， 故选：C 8. 满足条件，且的一组为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可. 【详解】设，，，， ，， 结合选项，ABC不符合，D符合， 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则下列正确的命题是（ ） A. 函数的定义域是 B. 函数是增函数 C. 当时，有最大值 D. 函数的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得，作图象，结合图象即可求解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以，由解析式可知函数的定义域为，故A正确； 作的图象，如图， 由图可知，函数在上单调递增， 所以当时取得最大值，故B，C错误，D正确. 故选：AD 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABC，可根据已知条件，结合基本不等式等知识，对选项逐一进行分析即可； 对于D，令，则，且将变形为，结合基本不等式等知识， 对选项进行分析即可． 【详解】对于A，由可知，， 当且仅当成立，结合可知，此时，故A错误； 对于B，由，根据基本不等式，可得， 当且仅当成立，结合可知，此时，所以的最小值为，故B正确； 对于C，，由B选项可知，所以， 故，最大值为，当且仅当成立，故C正确； 对于D，令，则， 所以， 结合基本不等式得，当且仅当成立， 结合可知，也即时，，所以最小值为，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数,令函数，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，函数有2个零点 B. 函数不可能有1个零点 C. 若函数有3个零点，则的取值范围为. D. 方程有5个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数解析式画出的图象，函数的零点个数，即与的交点个数，数形结合即可判断A、B，由图可知，再由对数的运算得到，即可判断C，由方程得到或，再数形结合即可判断D. 【详解】因为，则， 画出的图象如下所示： 函数的零点个数，即与的交点个数， 当时，由图可知与有个交点，故函数有个零点，故A正确； 当时与有个交点，即函数有个零点，故B错误； 若函数有3个零点，则， 由图可知，且，即，所以， 则， 所以的取值范围为，故C正确； 由，即， 即或， 由图可得有个实数根，有个实数根， 所以方程有5个根，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，将函数的零点个数问题转化为函数与函数的交点问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，若，则___________． 【答案】e 【解析】 【分析】利用对数运算性质计算可得答案. 【详解】若， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】当时，，对称轴为直线， ∵函数在区间上单调递增， ∴，解得， ∴参数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可. 【详解】记方程的两根为， 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与和共有三个不同的交点， 由图可知，此时有， 即，得； 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与有三个不同的交点， 由图可知，此时，即，得. 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； （2）若，，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得集合，然后根据必要条件以及对进行分类讨论来求得的取值范围. （2）根据全称量词命题的知识以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，集合. 若“”是“”的必要条件，则， 当时，，不符合题意. 当时，， 所以，解得. 当时，， 所以，此不等式组无解. 综上所述，的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，，， 当时，，符合题意. 当时，， 则，解得. 当时，， 则，解得. 综上所述，的取值范围是. 16. 已知函数. （1）若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得函数图象与轴交点的纵坐标即可. （2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可. 【小问1详解】 因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 【小问2详解】 因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 17. 设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． （1）证明是奇函数； （2）解不等式． 【答案】（1） 证明：令，则由，得，即； 令，则由，得， 即得，故是奇函数． （2） 【解析】 【分析】（1）对赋值，利用奇函数的定义进行证明； （2）先化简目标式为，结合函数单调性可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，所以，则， 即， 因为， 所以，所以， 又因为函数是增函数，所以，所以或． 所以x的解集为． 18. 设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设. （1）设，将表示成关于的函数，并写出定义域； （2）设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 【答案】（1） （2）（i）（ii）当时，有最大值 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等定理，结合勾股定理进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合（1）的结论进行求解即可； （ii）运用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，，， 所以，所以， 因为矩形的周长为12，， 所以， 因为，所以，所以， 在中，可得，所以， 整理得. 【小问2详解】 （i）； （ii）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 于是有， 所以当时，有最大值. 19. 定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界. （1）判断函数，是否是有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由. 【答案】（1）是有界函数，理由为： ，由，则， 当且仅当时，等号成立，则， 故恒成立，即该函数是有界函数； （2） （3）存在，当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）结合定义，借助对勾函数性质计算即可得； （2）由题意可将原问题转化为对任意恒成立，在分类讨论并计算即可得； （3）结合换元法可得，再结合定义，分类讨论与的大小关系即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得对任意恒成立， 令，则，即有对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当时，有， 由对勾函数性质可得在上单调递减，故有； 当，有， 由在上单调递增，故； 综上所述：； 【小问3详解】 ，令，则， 令，由，则在上单调递减， 则，故， 故函数在区间上存在上界， 当，即，整理得， 又，即时，； 当，即，整理得， 又，即时，； 故存在，且当时，； 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $