山东省菏泽市牡丹区博雅学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

高三数学第二次月考试题答案 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 若复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方、除法化简复数z，结合共轭复数的定义写出，即可得答案. 【详解】由，则， 所以. 故选：B 3. 椭圆上一点 在运动过程中，总满足关系式 ，那么该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义式判断椭圆的焦点位置，求出的值即可求出离心率. 【详解】由题意，可知椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，结合古典概型概率计算公式、独立事件以及互斥事件的概念即可逐一判断各个选项. 【详解】从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，设甲罐中抽取小球的标号为，乙罐中抽取小球的标号为， 则的所有可能为：，共12种可能， 事件“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，共3种可能， 事件“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有： ，共7种可能， 对于A，事件发生的概率为，故A不符合题意； 对于BC，，而不可能同时发生，这意味着事件是互斥事件，即， 故，即事件不相互独立，故B符合题意，C不符合题意； 对于D，事件发生的概率为，故D不符合题意. 故选：B. 5. 已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3 C. 4或5 D. 3或5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知：点P的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且， 因为，可知点P的轨迹为以线段的中点为圆心，半径的圆， 又因为点P在圆上， 可知圆与圆有且仅有一个公共点，则或， 即或，解得或. 故选：D 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再通过令通项中的次数等于，求出对应的值，最后将值代入通项求出系数. 【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数为， 故选：C. 7. 已知则等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差角公式及同角关系式求得的值，然后利用对数的运算法则即得. 【详解】， ，， ， ， ， . 故选：C. 8. 若关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因式分解可得，利用导数可得，从而可得恒成立，因为，在上均单调递增，结合已知可得，计算可求得. 【详解】可化为， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立. 令，则的定义域为，令，得或， 易知函数，在上均单调递增，则，所以， （点拨：因为恒成立，所以与同正同负，又与的单调性一样且都有零点，所以两函数的零点相等） 则，当且仅当，时，取得最小值. 故选：B. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B. 数据的第百分位数为 C. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为 D. 若随机变量，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用方差、极差的意义判断A；计算百分位数判断B；利用相关系数判断C；利用正态分布的概率计算判断D. 【详解】对于A，方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度，A正确； 对于B，计算第百分位数：数据个数为，，为整数，则第百分位数是第个数与第个数的平均值，即，B错误； 对于C，样本点都在直线上，说明变量呈完全正线性相关，相关系数，C错误； 对于D，由知正态曲线关于对称，，结合， 代入得， 又，解得， 则， 由对称性，D正确. 故选：AD. 10．BD 【详解】如图，连交于， 则，即， 所以，所以，所以， 设，因为当时，恒有， 所以， ，所以当时，恒有， 所以，即，又，所以， 所以，所以， 因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确； 因为，即，所以为递减数列，故B正确； 因为不是常数，所以不为等差数列，故C不正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 12. 4名同学到A､B､C三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且同学甲安排在A小区，则共___________有种不同的安排方案. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意分为两类：小区安排2人和小区只安排同学甲1人，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分为两类： （1）小区安排2人，其中一人为甲同学，共有种不同的安排方法； （2）小区只安排同学甲1人，共有种不同的安排方法， 由分类计数原理，可得共有种不同的安排方案. 故答案为：. 13. 已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据的最小正周期不小于，得到，再根据，恒成立，得到的最大值为，可求出的值. 【详解】因为函数（）的最小正周期不小于， 所以，即，解得：， 因为恒成立，故的最大值为， 所以，所以， 因为，当时，. 故答案为：1. 14. 经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求得，，而原不等式等价于，可以利用不等式放缩即可求解. 【详解】， 因为图象的对称中心点为，所以，所以， 由，所以， 原不等式为， 因为，所以， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以其最小值为，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得到恒成立，结合切线放缩不等式即可顺利得解. 15. 已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. （1）分别求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差、公比，根据基本量运算列出方程组，求解即得的值，利用等差、等比数列的通项公式计算即得； （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列的前项和的公式计算即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为， 依题意， 解得， 所以. 小问2详解】 设等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为， 因为， 所以数列的前n项和为. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，． （1）求B； （2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理可得的表示，即可利用三角形的面积公式，即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ∵ ∴, 在中， ∴ ∴， 又在中， ∴，∴ ∵，∴ 【小问2详解】 ∵，∴ ∵，∴ 或 又，所以，故，， 由正弦定理可得,故， 设，其中，则， 在中，由正弦定理可得 则 在中，由正弦定理可得 则． ∴的面积 ∵，则 ∴，即 ∴． 17.某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可. （2）应用古典概型求解事件的概率，即可写出X的分布列. 【小问1详解】 设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； 【小问2详解】 由题意：， ， 所以的分布列为： 0 1 2 18. 在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为． （1）求动点M轨迹W的方程； （2）过点F两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线PQ过定点． 【解析】 【分析】（1）设M，由已知得，进行化简即可. （2）设直线的方程为、，分别与W的方程联立得P的坐标为及Q的坐标为，再求出直线PQ的方程，利用，即可求出直线PQ过定点. 【小问1详解】 设点M的坐标为，由题意可知，， 化简整理得，W的方程为． 【小问2详解】 由题意知，设直线AB的方程为，与W的方程联立可得， ， 设，，由韦达定理得，， 则， 所以，点P的坐标为． 同理可得，Q的坐标为． 所以，直线PQ的斜率为， 所以，直线PQ的方程为， 即， 又，则， 所以直线PQ的方程即为， 所以，直线PQ过定点． 19.已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）若且，有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程； （2）令，分析可知原题意等价于：与有2个交点，结合函数图象分析求解； （3）分析可知在内单调递增，进而可得在内恒成立，构建，利用导数结合零点代入分析最值即可得结果. 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 则，即切点坐标为，斜率， 所以所求切线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得：， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当x趋近于0时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于， 可得的图象如图所示： 令，则 令，可得， 原题意等价于：与有2个交点， 结合函数图象可得，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，令，则，即， 由可得， 可知在内单调递增， 则，可得在内恒成立， 构建，则， 构建，则， 且，可知在内单调递增， 构建，可知在内单调递增， 且， 则在内存在唯一零点， 当时，，，可得，即； 当时，，，可得，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，则，， 可得，即， 可得，所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学第二次月考试题20260106 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆上一动点 ，总满足关系式 ，椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲罐中有四个相同小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A.事件发生的概率为B.事件相互独立C.事件是互斥事件D. 事件发生的概率为 5. 已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3 C. 4或5 D. 3或5 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知则等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 若关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B. 数据第百分位数为 C. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为 D. 若随机变量，且，则 10．在平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（    ） A．为等比数列 B．为递减数列 C．为等差数列 D． 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 4名同学到A､B､C三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且同学甲安排在A小区，则共___________有种不同的安排方案. 13. 已知函数（）的最小正周期不小于，且恒成立，则的值为____________． 14. 经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，是等比数列，且满足. （1）分别求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，． （1）求B； （2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 17.某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 18. 在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为． （1）求动点M轨迹W的方程； （2）过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）若且，有恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $