安徽省蚌埠市2025-2026学年高二上学期期末数学练习B卷

2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习B卷 高二 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷考试内容：人教A版：选择性必修第一册，选择性必修第二册。 5．本试卷总分150分 ，答题时间120分钟。 一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导运算正确的是（▲） A． B． C． D． 2．抛物线的准线方程是（▲） A． B． C． D． 3．设是等差数列的前n项和，若，，则（▲） A． B． C． D． 4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（▲） A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线BM与直线NC所成角的余弦值（▲） A． B．－ C． D．－ 6．已知曲线，直线分别是曲线与直线上的动点，则的最小值为（▲） A．1 B． C． D． 7．已知等差数列的前项和分别为，且，则（▲） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（▲） A．8 B．9 C．32 D．36 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部先对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题中正确的是（▲） A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面 B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 10．在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（▲） A． B． C． D． 11．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（▲） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为 ▲ . 13．海面上有相距4公里的两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里．在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里．若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为 ▲ ． 14．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线过点且与圆相切，求的方程． 16．（15分）在数列中，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列中是否存在不同的三项，，恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，说明理由. 17．（15分）已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 18．（17分）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点，点分别在上（与端点不重合），且.将沿折起至的位置，如图2，使得. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正弦值为，求. 19．（17分）已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线必过定点，并求出该定点坐标； (3)过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习B卷 高二 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷考试内容：人教A版：选择性必修第一册，选择性必修第二册。 5．本试卷总分150分 ，答题时间120分钟。 一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导运算正确的是（▲） A． B． C． D． 2．抛物线的准线方程是（▲） A． B． C． D． 3．设是等差数列的前n项和，若，，则（▲） A． B． C． D． 4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（▲） A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线BM与直线NC所成角的余弦值（▲） A． B．－ C． D．－ 6．已知曲线，直线分别是曲线与直线上的动点，则的最小值为（▲） A．1 B． C． D． 7．已知等差数列的前项和分别为，且，则（▲） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（▲） A．8 B．9 C．32 D．36 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部先对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题中正确的是（▲） A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面 B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 10．在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（▲） A． B． C． D． 11．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（▲） A． B．若，则点处的切线方程为 C．存在点，使得 D．面积的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为 ▲ . 13．海面上有相距4公里的两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里．在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里．若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为 ▲ ． 14．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线过点且与圆相切，求的方程． 16．（15分）在数列中，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列中是否存在不同的三项，，恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，说明理由. 17．（15分）已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 18．（17分）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点，点分别在上（与端点不重合），且.将沿折起至的位置，如图2，使得. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正弦值为，求. 19．（17分）已知椭圆（）的离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线必过定点，并求出该定点坐标； (3)过点作，点为垂足，判断点是否在某个定圆上，并说明理由；若存在，求出该圆方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习B卷 高二数学答题卡 ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） ) 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3 、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 选择题（请用2B铅笔填涂） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习B卷 高二 数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A B C D D D ABD BD ABD 12． 13．公里 14． 15．解：（1）因为点，所以线段的中点为， 所以的中垂线方程为．联立得， 故圆的圆心为点，又圆的半径， 所以所求圆的方程为． （2）由题意及（1）知，圆的圆心为，半径为，直线过点． ①若的斜率不存在，则的方程为，此时，圆心到的距离为3，符合题意； ②若的斜率存在，设的方程为，即， 因为与圆相切，所以，解得，此时，的方程为． 综上，的方程为或． 16．解：（1）解：由，且， 可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，可得，所以， 假设中是否存在不同的三项，， 恰好成等差数列， 不妨设，则，可得，所以， 因为，且，所以是奇数，是偶数， 所以等式不可能成立，所以不存在不同的三项，，成等差数列. 17．解：（1）由，则， 而直线的斜率为3，所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 18．解：（1）如图，过作，垂足为，连接， 由题可得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 在中，，则， 在正方形中，，所以， 因为，所以， 则，，所以. 由，得，所以，即，又，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面平面， 又平面，故平面. （2）平面，所以平面， 故以为原点，所在直线分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，故. 设，则， ，则. 设平面的法向量为， 则，取，则. 因为平面，所以是平面的一个法向量. 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 又， 所以，整理得， 解得或（舍去）.所以， 故. 19．解：（1）由题意可得，又，解得，. 所以椭圆的方程为. （2）如图，设点，，   ，，即，① 当直线的斜率存在时，设方程为， 代入椭圆方程消去并整理得： 由韦达定理得，，② 根据，，代入①整理可得： 将②代入， 整理化简得， 不在直线上，，， 于是的方程为，所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 代入 得，结合，解得或（舍去）， 此时直线过点. （3）点在定圆上，.理由如下： 因为于点，且定点在直线上，所以. 又点为两个定点，线段长度为定值. 故点在以线段为直径的圆上. 由中点坐标公式得圆心坐标为，由两点间距离公式得半径为， 故圆的方程为. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习B卷 高二 数学 解析版 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A B C D D D ABD BD ABD 1．D 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 2．B 【详解】抛物线方程化成标准方程为：， 所以，且抛物线开口向上， 所以抛物线准线为：. 3．A 【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列， 因为，，所以，， 所以，所以，所以. 4．B 【详解】由题意，，可得. 5．C 【详解】由题意以为原点，所在直线分别为为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则， 则， 则， 故直线BM与直线NC所成角的余弦值为. 6．D 【详解】依题意，设曲线上点，而点在直线上， 由消去x得，，即直线与曲线相离， 则，当且仅当，即，且时取等号，所以的最小值为. 7．D 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 8．D 【详解】由函数，若对任意的，不等式恒成立， 作出两个二次函数图象和动直线， 利用数形结合分析： 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 要使得取得最大值，则斜率取最小，轴截距取最大， 此时直线过点A作函数的切线，不妨设切点为， 则求导可得，所以过切点的切线方程为：， 当切线过点时，有，解得或， 因为，所以此时满足题意，故切线方程为：， 此时，故， 9．ABD 【详解】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对； 对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对； 对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错； 对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对； 10．BD 【详解】正项等比数列的公比为，则， 由，得，B正确； 而，于是，即，A错误； 而，则，C错误； 由，得，即，因为， 因此，显然，所以，解得，D正确. 11．ABD 【详解】对于A中，设直线，联立方程组，整理得， 再设，则，所以A正确； 对于B中，由抛物线.可得，则， 则过点的切线斜率为，且，即， 则切线方程为：，即， 若时，则过点的切线方程为：，所以B正确； 对于C中，由选项可得：直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，所以C错误； 对于D中，由选项B可知，过点的切线方程为， 联立直线的方程可得， 所以， ， ， 则，当时，有最小值为，所以D正确. 12． 【详解】由题意有：圆，半径为， 所以四边形的面积为：， 当最小时，四边形的面积最小， 又点到直线的距离为：， 所以， 所以四边形的面积最小值为， 故答案为：. 13．公里 【详解】由题意，船的航行轨迹是在一个长轴长为6、焦距为4的椭圆上，如图建立直角坐标系， 则焦点坐标分别为，，，则， 所以椭圆的标准方程为． 过作的垂线，过作轴垂线，两交线相交于点， 因为，所以， 又，，，． （法一）设椭圆上一点，则 ， ， 又函数的对称轴为，所以函数在上单调递减， 当时，， 所以信号站的信号传播距离至少为公里. （法二）设椭圆上一点， 所以． 因为，所以， 所以， 即． 所以信号站的信号传播距离至少为公里. 故答案为：公里． 14． 【详解】设点在双曲线的第一象限，由轴为线段的中垂线，可得， 因为，所以， 由双曲线定义，可得， 设，，代入可得， 因为，可得，所以是直角三角形，且， 由勾股定理得，即， 即，解得或（舍去）， 所以， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以双曲线的离心率为. 15．【详解】（1）因为点，所以线段的中点为， 所以的中垂线方程为． 联立得，故圆的圆心为点，又圆的半径， 所以所求圆的方程为． （2）由题意及（1）知，圆的圆心为，半径为，直线过点． ①若的斜率不存在，则的方程为，此时，圆心到的距离为3，符合题意； ②若的斜率存在，设的方程为，即， 因为与圆相切，所以，解得， 此时，的方程为．综上，的方程为或． 16．【详解】（1）解：由，且， 可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，可得，所以， 假设中是否存在不同的三项，， 恰好成等差数列， 不妨设，则， 可得，所以， 因为，且，所以是奇数，是偶数， 所以等式不可能成立， 所以不存在不同的三项，，成等差数列. 17．【详解】（1）由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 18．【详解】（1） 如图，过作，垂足为，连接， 由题可得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 在中，，则， 在正方形中，，所以， 因为，所以， 则，，所以. 由，得，所以，即，又，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面平面， 又平面，故平面. （2）平面，所以平面， 故以为原点，所在直线分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，故. 设，则， ，则. 设平面的法向量为， 则，取，则. 因为平面，所以是平面的一个法向量. 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 又， 所以，整理得，解得或（舍去）. 所以，故. 19．【详解】（1）由题意可得，又，解得，. 所以椭圆的方程为. （2）如图，设点，，   ，，即，① 当直线的斜率存在时，设方程为， 代入椭圆方程消去并整理得： 由韦达定理得，，② 根据，，代入①整理可得： 将②代入， 整理化简得， 不在直线上，，， 于是的方程为，所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得，代入 得，结合，解得或（舍去）， 此时直线过点. （3）点在定圆上，.理由如下： 因为于点，且定点在直线上，所以. 又点为两个定点，线段长度为定值. 故点在以线段为直径的圆上. 由中点坐标公式得圆心坐标为，由两点间距离公式得半径为， 故圆的方程为. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $