第01讲 二次根式的意义（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第01讲 二次根式的意义 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的概念 像这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 注意：(1)被开方数可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须使被开方数大于或等于零，否则就不是二次根式。 (2)二次根式与整式、分式一样，也是一类重要的代数式。从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”,如等都是二次根式。同时注意：识别二次根式时不能对原式进行化简，虽然，，但是是二次根式，3,0.1不是二次根式，此处容易出错。 (3)式子(a≥0)既表示二次根式，也表示非负数a的算术平方根。因此a≥0,≥0。二次根式具有双重非负性。当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即≥0，a≥0. 知识点2：二次根式有意义的条件 二次根式 条件 字母表示 有意义 被开方数为非负数 有意义⇔a≥0 无意义 被开方数为负数 无意义⇔a<0 注意：(1)如果二次根式的被开方数是整式，那么只要满足被开方数是非负数即可。 (2)如果被开方数在分母的位置上，除满足被开方数大于或等于零的条件外，还需满足分母不为零的条件。根据上述条件可列出关于字母的不等式(组),根据不等式(组)的解集确定字母的取值范围。 知识点3：求二次根式的值 二次根式的求值实际上就是求代数式的值，即将字母的值代入二次根式中，一般先算根号内的式子，再求算术平方根。 【题型1 二次根式】 例1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且， ∴ 的取值范围是 ； 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·吉林·期末）下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为2，且，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意 C、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； D、，当时，无意义或为负数，故不一定是二次根式，不符合题意； 故选：B． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 变式3.（25-26八年级上·北京·月考）若分式有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ，同时被开方数 ， ∴， 解得，． 故答案为：． 【题型2 求二次根式的值】 例3．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 例4．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 【答案】3 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 变式1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 变式2．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【题型3 二次根式的双重非负性】 例5．（25-26八年级上·湖南常德·期中）若 ，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：因为 且 ，且 ， 所以 且 ， 解得 ，， 因此 ， 故答案为：． 例6．（25-26八年级上·重庆·期中）若，为实数，，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：实数，满足， ， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：或． 变式1．（25-26八年级上·天津红桥·开学考试）是实数，，则 ． 【答案】 【详解】∵， ∴， 即， ∴ 故答案为： 变式2.（25-26八年级上·湖南永州·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选B． 3．（25-26九年级上·山西晋城·月考）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：当时， ． 故选：B． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 5．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 7．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】1 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 10．（25-26八年级上·四川内江·期中）若，则 ． 【答案】16 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 11．（24-25八年级上·重庆·月考）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 12．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 13．（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【详解】（1）解：要使有意义，则，解得， 即当时，有意义； （2）解：要使有意义，分母，且被开方数， ∴，解得． 即当时，有意义； （3）解：因为，所以， 即无论x取何实数，都大于0，所以对任意实数x都有意义． 即当x为任意实数时，有意义． 14．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 15．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）（1）已知为实数，若满足，求的值． （2）若实数、满足等式，求的算术平方根． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）已知为实数，若满足， ，且， 则； 当时，则； ； （2）实数、满足等式，且、， 且， 解得，， ， 则的算术平方根为． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式的意义 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的概念 像这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 注意：(1)被开方数可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须使被开方数大于或等于零，否则就不是二次根式。 (2)二次根式与整式、分式一样，也是一类重要的代数式。从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”,如等都是二次根式。同时注意：识别二次根式时不能对原式进行化简，虽然，，但是是二次根式，3,0.1不是二次根式，此处容易出错。 (3)式子(a≥0)既表示二次根式，也表示非负数a的算术平方根。因此a≥0,≥0。二次根式具有双重非负性。当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即≥0，a≥0. 知识点2：二次根式有意义的条件 二次根式 条件 字母表示 有意义 被开方数为非负数 有意义⇔a≥0 无意义 被开方数为负数 无意义⇔a<0 注意：(1)如果二次根式的被开方数是整式，那么只要满足被开方数是非负数即可。 (2)如果被开方数在分母的位置上，除满足被开方数大于或等于零的条件外，还需满足分母不为零的条件。根据上述条件可列出关于字母的不等式(组),根据不等式(组)的解集确定字母的取值范围。 知识点3：求二次根式的值 二次根式的求值实际上就是求代数式的值，即将字母的值代入二次根式中，一般先算根号内的式子，再求算术平方根。 【题型1 二次根式】 例1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2．（25-26九年级上·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 变式1．（24-25八年级下·吉林·期末）下列各式一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 变式3.（25-26八年级上·北京·月考）若分式有意义，则的取值范围为 ． 【题型2 求二次根式的值】 例3．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）当时，二次根式的值是 ． 例4．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 变式1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 变式2．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【题型3 二次根式的双重非负性】 例5．（25-26八年级上·湖南常德·期中）若 ，则的值为 ． 例6．（25-26八年级上·重庆·期中）若，为实数，，则的值为 ． 变式1．（25-26八年级上·天津红桥·开学考试）是实数，，则 ． 变式2.（25-26八年级上·湖南永州·期中）若，则 ． 1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西晋城·月考）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 8．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当 时，二次根式的值为0． 9．（24-25八年级下·云南昭通·月考）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 10．（25-26八年级上·四川内江·期中）若，则 ． 11．（24-25八年级上·重庆·月考）已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 12．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 13．（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 14．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 15．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）（1）已知为实数，若满足，求的值． （2）若实数、满足等式，求的算术平方根． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $