专题10 三角函数的图象与性质（重点+二级结论+13题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题10 三角函数的图象与性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 无 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 【二级结论1】正弦型函数、余弦型函数及正切型函数的奇偶性 函数 奇偶性 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数. 【二级结论2】正弦型函数、余弦型函数及正切型函数的周期 函数 最小正周期 或 无周期 或（） 或 或（） 【题型1 三角函数的定义域问题】 高妙技法 三角函数的定义域求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，其中有意义， 则满足，其中，即，其中， 解得，即函数的定义域为. 故选：C. 4．（23-24高二下·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据开偶次方被开方数非负以及分母不能为零结合一元二次不等式以及三角不等式即可求解. 【详解】由题得，，或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 5．（22-23高三·全国·中职高考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可. 【详解】有意义满足，即，， 解得， 故选：D 6．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 【题型2 求三角函数的最值或值域】 高妙技法 三角函数的值域求法 （1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值 （2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． （3）和差积换元型：形如sin xcos x±(sin x±cos x)，利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题 （4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法． 7．（22-23高一上·江苏泰州·期末）函数在上的最小值为（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型三角函数在区间上的最值的求解方法得出答案. 【详解】当时，， 则当时，， 故选：B. 8．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的性质，求得函数，进而求得函数在区间上的值域. 【详解】因为的最小正周期为2， 所以，解得：，即， 当时，， 当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为. 故选：A. 9．（24-25高一上·广西柳州·期末）函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】令，将问题转化成函数的值域来解决． 【详解】 令，又，则， 函数可化为：， 由二次函数的性质可得：当时，，当时，. 所以函数在上的值域为. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法（令），将原不等式转化为在上恒成立，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 则原问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又， 所以在上恒成立， 设，则函数在上单调递增， 所以，得， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为在上恒成立问题. 【题型3 由三角函数的值域求参数】 高妙技法 1.定相位范围：由自变量区间，得的取值区间； 2.抓核心条件：根据目标最值（如），结合（或）的有界性，确定相位区间需包含对应最值点（如）； 3.建不等式：分情况讨论最值点与相位区间的位置关系，列不等式求解参数范围； 4.取最优值：结合参数约束（如），筛选出最小/最大值。 12．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 14．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出最大值、最小值并建立方程求出，进而求出其最小正周期. 【详解】依题意，，又，则的最大值为，最小值为， 则，解得，， 所以函数的最小正周期. 故答案为： 15．（25-26高三上·山东青岛·月考）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，计算即可得. 【详解】由题意可得，则有， 解得，则的最小值为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用换元法转化为在上有且仅有一个最大值，结合正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】令，当时，， 由函数在上有且仅有一个最大值，可转化为在上有且仅有一个最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为： . 17．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】数形结合，分在区间上的最大值是和1两种情况讨论. 【详解】如图：    当时，函数在区间上的最大值为，最小值为； 当时，函数在区间上的最大值为1，最小值为. 综上可知：实数的取值范围为． 故答案为： 18．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得的范围，因此在这个范围内，从而可得的范围. 【详解】由题意，在区间上的最小值为， 当时，； 当时，. 则的取值范围为或. 故答案为：. 【题型4 求三角函数的单调区间】 高妙技法 求三角函数的单调区间 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 19．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 20．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体代换法求正弦型函数的增区间. 【详解】令， 解得， 所以函数的增区间是. 故选：C. 21．（25-26高三上·福建泉州·月考）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数关于直线对称，可得的解析式，再根据复合函数的单调性，在定义域内可求得函数的递增区间. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以，所以，因为在上为减函数， 所以的递增区间为内层函数在定义域内的递减区间， 即，故函数的递增区间是． 故答案为：． 【题型5 由三角函数的单调性求参数】 高妙技法 已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 22．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整体代入法表示出函数的单调区间，结合已知列不等式组求解可得. 【详解】由，， 得， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，结合得. 故选：A 23．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为 . 【答案】/0.75 【分析】根据函数图象过的点，求出，再结合函数的单调性推出，二者联立即可确定答案. 【详解】由题意知函数（）的图象过点， 故，则， 故， 又在区间上单调递增，则， 解得，结合，， 可得时，， 故答案为： 24．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解. 【详解】因为函数的图象过点，所以， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以，， 即且，， 则，， 因为，得， 因为，所以时，，则； 当时，， 综上，，即的最大值为. 故选：C. 25．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可求得答案. 【详解】若恒成立，则， 所以，即，又在区间上单调递增， 所以，故，， 解得，令得，又，所以， 令得；当时，，不合题意； 综上可得或. 故答案为：. 26．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 【答案】C 【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解. 【详解】由条件可知，，得， 当时，， 由条件可知，，得，，且， 综上可知，的最小值为13. 故选：C 27．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 【题型6 三角函数的奇偶性及应用】 高妙技法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 28．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解， 【详解】函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数，故B符合题意， 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故D不符合题意． 故选：B 29．（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，且，即，故为奇函数，故选项A正确； 对于B，函数的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故选项B错误； 对于C，函数的定义域为，，均不恒为0，故为非奇非偶函数，故选项C错误； 对于D，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故选项D错误. 故选：A． 30．【多选】（24-25高一上·广东·期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据三角函数的性质及复合函数的性质判断． 【详解】在区间上单调递增，但是奇函数，故A错误； 在上单调递增，且是偶函数，故B正确； 在上单调递减，是偶函数，故C错误； 在上单调递增，是偶函数，故D正确. 故选：BD. 31．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】设与相加可得答案. 【详解】因为，所以， 设， 可得 ，解得. 故选：C. 32．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）函数在上的最大值和最小值之和为（   ） A．2 B．4 C．8 D．4050 【答案】C 【分析】由题意得即可得解. 【详解】因为，所以在关于原点对称的区间上恒有意义， 且 ， 所以在上的图象关于原点对称， 所以函数在上的最大值和最小值之和为8. 故选：C. 33．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】在原函数的基础上，构造一个函数，通过构造函数的奇偶性说明最值之间的关系，进而求出原函数的最值之间的关系. 【详解】设函数，易知定义域为， 由，可知为奇函数， 所以在区间的最大值与最小值互为相反数，即， 即， 可得，解得； 故选：D. 34．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 35．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据奇偶函数的性质可得函数是偶函数，再根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是奇函数，是奇函数， 所以函数是偶函数，则，所以． 故答案为：1． 36．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，验证可得答案. 【详解】根据题意，是奇函数，其定义域为， 则有，必有， 当时，，其定义域为， ， 为奇函数，符合题意. 故答案为：. 37．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的性质，列式求解并赋值得答案. 【详解】由函数为上的奇函数，得， 解得，当时，，所给其他均不存在整数使其成立. 故选：C 38．（24-25高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性得到方程，求出，从而得到答案. 【详解】因为函数为上的奇函数， 所以， 即， 当时，，其他选项均不正确.. 故选：B 39．（24-25高三上·新疆·月考）已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质可得，进而利用整体法求解函数的单调增区间，根据关于原点对称，即可求解. 【详解】为偶函数， 故，故， 由于，故，则， 令, 解得， 故的一个单调递增区间为， 由于区间关于原点对称，要使在区间上不单调，故， 故选：A 【题型7 三角函数的周期性及应用】 高妙技法 （1） 定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题； （2） 公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期； （3） 图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为. 函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． (4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变. 40．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由图有，即可求函数的最小正周期. 【详解】由图可知，则，即的最小正周期为. 故选：B 41．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦型函数的周期公式可求得的最小正周期. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为. 故选：A. 42．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 43．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数满足．当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以是以6为周期的函数， 所以， 故选：C. 44．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数的最小正周期为，由题意可得，可得出关于的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则该函数的最大值为，最小值为， 且， 所以，、中一个为函数的最大值，一个为函数的最小值， 设函数的最小正周期为，则， 即，可得，所以，的可能取值为. 故选：C. 45．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的值域，可得与的取值，利用三角函数周期与最值的关系，可得答案. 【详解】由题意可知函数的最小正周期， 由，且， 则与分别为函数的最大(小)，小(大)值，所以. 故选：A. 【题型8 三角函数的对称性及应用】 高妙技法 三角函数对称轴和对称中心的求解方法 (1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． (2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z.　 46．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象和性质即得. 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 47．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 48．（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象： ①关于点对称； ②关于直线对称； ③关于点对称； ④关于直线对称． 正确的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】由条件根据正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】关于函数的图象， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故①正确； 令，求得，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故②不正确； 令，求得，可得它的图象不关于点对称，故③不正确； 令，求得，可得它的图象关于直线对称，故④正确， 故答案为：①④． 49．（2023·四川雅安·一模）“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的对称性结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则当，可得，为最大值， 所以函数的图象关于直线对称，即充分性成立； 若函数的图象关于直线对称， 则，解得， 不一定成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件. 故选：A. 50．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， . 【答案】 2 / 【分析】先根据与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求. 【详解】已知A，B是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则. 且，则，则， 同理，则，则， 因此，解得. 因为及，则函数的图象过点，可得， 所以，，则，. 由于，则，那么. 将代入可得：. 故答案为：2； . 51．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解. 【详解】函数的对称中心为：， 即，因为为函数的对称中心， 令，解得， 当时，. 故选：D 52．（24-25高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 53．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则 . 【答案】8 【分析】由三角函数的对称性求出，再由有且只有两条对称轴求出，最后结合三角函数的性质即可求出答案. 【详解】函数关于点对称， 所以，所以， 要使函数在区间上有且只有两条对称轴，所以, 因为，所以，所以，所以或或； 当时，，则函数只有一个对称轴不合题意； 当时，，则函数有且只有两条对称轴符合题意； 当时，，则函数有三条对称轴不符合题意； 所以. 故答案为：. 54．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 . 【答案】10 【分析】分析函数的性质，再确定交点个数，进而求得答案. 【详解】函数在上单调递减，当时，， ，则的图象关于点对称， 的最小正周期为2，，的图象关于点对称， 因此函数与的图象有相同的对称中心，它们的交点关于点对称， 当时，，即当时，函数与的图象没有交点， 根据对称性，时两者没有交点， 当时，在上递增，在上递减，， ，， 当时，，因此当时，函数与的图象有2个交点， 根据对称性，时，两图像也有交点. 所以函数与的图象共有5个交点，. 故答案为：10 【点睛】关键点点睛：探讨函数性质，确定交点个数是求得正确答案的关键. 55．（21-22高一下·陕西咸阳·月考）已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出对称轴方程，由已知可得，进而可得，分别研究，，，时各对称轴的范围与选项中的区间的关系依次判断即可. 【详解】令，即，所以，，解得，， 分别取得，，， 因为的图象在区间上有且仅有两条对称轴， 所以，，解得， 对于A项，当时，的一个对称轴为，且， ，故A项不成立； 对于B项，当时，的一个对称轴为，且， ，故B项不成立； 对于C项，当时，的一个对称轴为，且， ，故C项不成立； 对于D项，当时，的一个对称轴为，且， 由C项知，当时，的一个对称轴为，且， 所以介于和时的相邻的对称轴之间， 故在上一定单调，故D项正确. 故选：D. 56．（2025高三·全国·专题练习）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整体代入法计算，.求解，给赋值可得结果. 【详解】正切函数的对称中心为，,所以有，因此. 又因为，所以最小值为时，. 故选：B． 57．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 【题型9 三角函数的图象识别问题】 高妙技法 含三角式的函数图象识别通用策略 1. 奇偶性初筛：代入判断与的关系，确定图象对称性（奇→原点对称，偶→y轴对称），排除不符选项； 2. 特殊点验证：计算等特殊点的函数值，确定图象过点（如是否为0）； 3.符号分析：取趋近于0、正/负无穷或特殊角，分析分子分母的符号组合，确定局部区间内函数值的正负，匹配图象趋势； 58．（24-25高一下·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性与零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除BC选项， 由可得或，解得， 故函数有无数个零点，排除A选项. 故选：D. 59．（24-25高二下·江苏扬州·期末）函数，的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域关于原点对称， 因为，即函数为奇函数，排除BD选项， 当时，，则，，可得，排除C选项. 故选：A. 60．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B. 【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 61．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断奇偶性，再由区间上的函数值，利用排除法判断即可. 【详解】根据题意，函数，其定义域为， 由，函数为偶函数， 函数图象关于轴对称，故排除C、D； 当时，，，则，排除B. 故选：A． 62．（2023·湖北武汉·三模）函数的部分图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据奇偶性排除D；根据特殊区间上函数值的符号排除BC可得答案. 【详解】的定义域为，关于原点对称，又因为， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确； 当时，，，则，故B不正确； 当时，，，故，故C不正确. 故选：A 【题型10 比较三角函数值的大小】 高妙技法 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 63．（2025·云南·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性即可逐一判断. 【详解】对于A，因为是减函数，且，所以，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，因为是增函数，且，所以，故C正确； 对于D，因为是增函数，且，所以，故D错误. 故选：C. 64．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可得，利用的单调性得，利用在区间上的单调性得，即可求解. 【详解】因为是增函数，则， 又在上单调递增，所以， 因为在区间上单调递减，所以，且，所以， 故选：D. 65．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值域及指对数运算比较大小. 【详解】，；，； 又，所以，， 故选:A． 66．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质判断，，的范围，即可比较，，的大小. 【详解】由题可知， ， ， 故， 故选：B. 67．（24-25高一上·江苏南通·期末）定义在R上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的单调性结合对数的运算和三角函数的单调性可得. 【详解】由题意，在上单调递减， 又，而，即 故. 故选：B 【题型11 三角函数的零点问题】 高妙技法 1.化方程：令，转化为三角方程（如）； 2.求通解：利用三角函数零点性质，得通解，解出； 3.定范围：结合的区间（如），代入的整数值，筛选出符合区间的； 4.数个数：统计满足条件的对应的的数量，即零点个数。 68．（22-23高三上·江苏镇江·期末）若函数在上没有零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在上没有零点，所以，求得，整体代换求出区间，列出不等式组，解得，取不同的k值，解出符合条件的范围即可. 【详解】解：由题意知，所以， 因为函数在上没有零点，所以， 即，得， 又因为，满足在此区间上没有零点， 则需，解得， 由于，当时，解得， 当时，解得， 所以的取值范围是， 故选：A. 69．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由图像的两条对称轴距离的最小值得周期，根据周期公式求得，再由的零点求得，进而得到的解析式，结合正弦函数的图像即可得求得不等式的解集. 【详解】因为函数图象的两条对称轴间距离的最小值为， 所以,. 所以. 因为为的一个零点，所以， 即，所以 因为，所以，所以 由，得 所以 所以 不等式的解集为. 故答案为： 70．（22-23高一上·江苏徐州·期末）若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出3个相邻的对称点，由在内仅有一个零点可得，解之即可. 【详解】由题意知， 令，解得， 得函数的3个相邻的对称点分别为， 因为函数在内仅有一个零点， 所以，， 解得，，当时，，得. 故选：C. 71．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 【答案】18 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的对称性列式求出及的表达式，再利用零点个数求出范围，求出值并验证得解. 【详解】依题意，，解得， ，而，则， ，由，得， 由在区间上有且仅有两个零点，得，解得， 于是，或，当时，，，不符合要求， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：18 【点睛】易错点睛：本题利用给定的信息求出的值，不注意验证即可得出错误答案，在不只一个结果时，验证是必须的. 72．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到，再由范围求出的范围，即可得到，即可求出的取值范围. 【详解】因为恒成立，则， 所以，则， 当时，， 因为，则， 因为在区间上恰有个零点，则， 即，，解得，， 因为，由题意可知. 所以，可得； 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再结合零点个数得到. 73．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知，满足，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的周期性和对称性分析可得为函数的对称轴，再根据周期性分析零点即可. 【详解】由题意可知：函数的最小正周期， 因为，则为函数的对称轴， 则函数在之后的零点依次为， 若函数在区间上有且只有三个零点，则. 故选：D. 【题型12 三角函数中ω的取值范围】 高妙技法 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值． 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值． （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定的取值． 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围． 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等． 74．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】根据题意可知若，则可得； 显然当时，可得， 由的值域为，利用三角函数图像性质可得， 解得，即的取值范围是. 故选：D 75．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得. 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 76．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为， 所以由图象可得， 解得. 故选：D 77．（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质求解出对称轴，再结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】令，解得， 若函数在区间上有且仅有5条对称轴， 则函数在上由小到大的第1条对称轴为， 第2条对称轴为，第3条对称轴为， 第4条对称轴为，第5条对称轴为， 第6条对称轴为，由题意知，， 解得，故D正确. 故选：D 78．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案. 【详解】因为，， 所以， 又 上恰有两个最大值， 所以，解得. 故答案为： 79．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，若存在，使得，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，解出即可得. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，即. 故答案为：. 80．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析，得到 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 【详解】因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是. 故选：C. 【题型13 三角函数性质的综合】 高妙技法 探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x，x∈R(y＝tan x)的性质求解．若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式． 81．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数的图象关于点成中心对称，则（    ） A．在区间上单调递减 B．函数在区间上的最大值为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．若在上有两个不相等的实根，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据对称可得，即可根据三角函数的性质逐一求解. 【详解】由于的图象关于点成中心对称， 所以,故，由于，所以，， 对于A，当，则，故在区间上单调递减，A正确， 对于B，，则，故当时，即时，取最大值2，B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，，要使在上有两个不相等的实根，则在上有两个不相等的实根， 因此，解得，故D正确， 故选：ACD 82．【多选】（22-23高一上·江苏南京·期末）设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若函数的最大值为2，则 B．若对于任意的，都有成立，则 C．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是 D．当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对A：根据正弦函数的有界性分析判断；对B：利用函数的周期的定义分析判断；对C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D：以为整体，结合正弦函数的性质分析判断. 【详解】A选项，由题意，则，A正确； B选项，若，则的周期为， 设的最小正周期为，则， 解得，B错误； C选项，当时， ∵，则， 若在区间上单调递增，则， 解得，C正确； 选项，由题意可得，对，在上至少两个零点， ∵，则， 若对，在上至少两个零点，则，解得，D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识 (1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解． ①令ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，可求得对称轴方程． ②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标． ③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0. 83．【多选】（22-23高三上·江苏盐城·月考）已知函数 在区间上有且仅有个零点，则（   ） A．在区间上有且仅有个对称轴 B．的最小正周期可能是 C．的取值范围是 D．在区间上单调减 【答案】BD 【分析】根据题意求出的范围，然后再一一求解. 【详解】因为且 所以 又因为函数 在区间上有且仅有个零点， 所以满足，即，所以C不正确，A不正确； 的最小正周期为，所以B正确； 因为且 所以，又因为，即 所以在区间上单调减，即D正确. 故选：BD. 84．【多选】（22-23高三上·湖南长沙·月考）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（    ） A．在区间上有且仅有3个不同的零点 B．的最小正周期可能是 C．的取值范围是 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】先根据在区间上对称轴的情况求得的取值范围，然后结合函数的零点、最小正周期、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由函数，令，，则，， 函数在区间上有且仅有4条对称轴， 即有4个整数k符合， 由，得， 则，即，，故C正确； 对于A，，，∴， 当时，在区间上有且仅有3个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误； 对于B，周期，由，则， ∴，又，所以的最小正周期可能是，故B正确； 对于D，，∴，又， ∴，又， 所以在区间上不一定单调递增，故D错误． 故选：BC 85．【多选】（21-22高三上·山东烟台·期中）设函数，若在有且仅有5个最值点，则（    ） A．在有且仅有3个最大值点 B．在有且仅有4个零点 C． 的取值范围是 D．在上单调递增 【答案】CD 【分析】令，利用图像逐项分析最值点、零点个数，单调性即可. 【详解】， ，， 令，， 画出图像进行分析: 对于A选项：由图像可知：在上有3个或2个最大值点，故A选项错误； 对于B选项：当，即时，在有且仅有个零点； 当，即时，在有且仅有个零点，故B选项不正确； 对于C选项：在有且仅有个最值点， ，， 的取值范围是，故C选项正确； 对于D选项：，，， 由C选项可知，， ，在上单调递增，故D选项正确. 故选：CD. 86．【多选】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【分析】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对； 对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对； 对于C选项，因为，当时，， 因为函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则， 所以，，C错； 对于D选项，若，即， 当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对. 故选：ABD. 87．【多选】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设，定义运算已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据新定义求出，作出函数的图象，画出的图象，根据余弦函数的单调性可判断A；由图可判断BD；举反例即可判断C. 【详解】由题意函数， 当时，， 当时，， 故作出函数的图象（图中实线）如下图所示：    对于A：当时，，则， 而在上单调递减，A正确； 对于B：由图可知的一个周期为，B正确； 对于C：，即，所以不是偶函数，C错误； 对于D：由图可知，的最小值为，D正确. 故选：ABD . 88．【多选】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．在上有2个零点 【答案】AD 【分析】由题可化简.对于A，由化简式及三角函数值域知识可判断选项正误；对于B，通过特殊值验证可判断选项正误；对于C，由题可得在区间上的解析式，据此可得单调区间；对于D，由题可得在上的解析式，据此可得零点. 【详解】 ； 又，； ，，. 则，. 对于A，，， ，. 其中，则，故A正确； 对于B，注意到，， 则B错误； 对于C，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C错误. 对于D，， 则，即有2个零点，故D正确. 故选：AD 89．【多选】（24-25高二下·福建泉州·期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 【答案】BC 【分析】根据正切型函数的性质及奇偶性定义判断各项的正误即可. 【详解】令，则，A错； 由，则，故在上单调递增，B对； 由，显然是的一个对称中心，C对； 由正切型函数的性质知，的最小正周期为，D错. 故选：BC 90．【多选】（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】AB 【分析】A选项根据周期公式求解，B选项根据正切函数的对称中心坐标公式求解，C选项直接代入求解，D选项根据正切函数的单调区间代入求解. 【详解】A选项，当的最小正周期是时，，则,故正确 B选项，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故正确. C选项，当时，，，故错误. D选项， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以由，得，由，得， 所以的取值范围是，故错误. 故选：AB 一、单选题 1．（24-25高一上·福建莆田·期末）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的最小正周期公式计算可得. 【详解】由正切函数的最小正周期公式可得函数的最小正周期为. 故选：D. 2．（2024·安徽淮北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性和特殊点的函数值符号，可排除干扰项. 【详解】由可知，，即，，显然该函数定义域关于原点对称， 由可知，函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除BD两项； 又，所以排除A. 又C选项的图象满足函数的性质． 故选：C 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数的性质，利用函数的奇偶性及函数取值情况判断即可. 【详解】函数中， ，，即函数定义域为， ， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除BD； 当时，，即，排除A. 故选：C 4．（24-25高三上·江苏·期末）已知曲线与只有唯一交点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性，结合函数图象的性质来求解的值. 【详解】函数与，定义域均为，且都是偶函数，图象关于轴对称， 若两曲线在时有交点，根据对称性，在时，则有其关于轴对称的另一交点， 由于两曲线只有唯一交点，所以唯一交点必在处. 则有，即，解得. 故选：A. 5．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据，化简求得的值即可. 【详解】函数，定义域为， 由于为偶函数，即， 则， 化简为, 即，则， 因为不恒为0，所以. 故选：B 6．（25-26高一上·山西·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果. 【详解】因为，所以的周期为． 当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减． 因为，且 所以． 故． 故选：A. 7．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 8．（24-25高一上·江苏南通·期末）若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用正弦函数对称轴的性质求出的表达式，再结合函数在给定区间上的单调性确定的值，进而得到函数的表达式，最后求出的表达式. 【详解】函数图像关于对称，说明在时成立，解得：， 函数在上单调递增，说明在该区间内满足正弦函数的单调递增条件， 所以且， 则当时，解得：， 结合和，得到； 将代入原函数，得到， 则. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：当时，，所以， 但是在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误； 对于B：函数的最小正周期， 当时，，又在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：函数的最小正周期且在上单调递增，故C正确； 对于D：函数的最小正周期，故D错误. 故选：BC 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，其中，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】AC 【分析】首先根据已知条件求出，然后根据正弦函数的对称中心公式和单调性以及平移规则判断选项即可. 【详解】因为函数的两个相邻对称轴之间的距离为， 所以，所以，所以A正确； 所以函数的解析式为. 令，解得. 当时，，所以B错误； 因为，所以， 根据正弦函数的性质可知此时函数单调递增，C正确； 将的图象向右平移个单位后得， 与不一致，所以D错误. 故选：AC. 11．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，则该函数的（    ） A．值域为 B．减区间是 C．图象的对称中心为 D．图象的对称轴方程为 【答案】ABC 【分析】将看成一整体，利用的图象与性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，易知值域为，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 所以的减区间为，故选项B正确， 对于选项C，由，得到， 所以的对称中心为，故选项C正确， 对于选项D，由，得到，所以选项D错误， 故选：ABC. 12．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，），若，是的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法正确的有（    ） A． B．若是的一个对称中心，则 C．若在区间内有最小值，则 D．当时，在区间上的值域为 【答案】AB 【分析】对于A选项，据题意，结合函数正弦形函数的周期性知，即得的值；对于B选项，将代入解析式，即可解得的值；对于C选项，求出范围，若在区间内有最小值，则必在该范围内，解不等式即可；对于D选项，求出范围在该范围为找出最值即可. 【详解】对于A选项，函数，若，是的不同解，且的最小值为， 所以，即，故A选项正确； 对于B选项，若是的一个对称中心，则， 故，因为， 所以只有当时，满足条件，故B选项正确； 对于C选项, 时，， 若在区间内有最小值，则， 即，解得，故C选项错误； 对于D选项, 当时，，， 而时，，所以， 又 因此在上的值域为，故D选项错误. 故选：AB. 13．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（   ） A．函数在区间上单调递增 B．直线是函数的一条对称轴 C．函数的图象关于点中心对称 D．若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由求出的范围，再结合正弦函数的性质分析判断即可，对于BC，代入验证即可，对于D，由题意可得为偶函数，则，从而可求出结果. 【详解】对于A，由，得，得， 因为在上不单调，所以在上不单调，所以A错误； 对于B，因为，所以直线是函数的一条对称轴，所以B正确； 对于C，因为，所以函数的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，因为，所以， 因为的图像关于轴对称，所以为偶函数， 所以，得， 所以正数的最小值为，所以D正确. 故选：BCD 14．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】求出函数的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可判断A选项；由结合的取值范围可求出的值，可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为， 则该函数的最小正周期为，则，A对； 对于B选项，因为，可得， 所以，，则， 因为，故，B错； 对于C选项，由AB选项可知， 当时，， 所以，函数在上单调递增，C对； 对于D选项，因为，所以，函数的图象关于点对称，D对. 故选：ACD. 15．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．的最小正周期是 C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 【答案】ACD 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，利用函数周期性的定义可判断；对于C，利用正弦型函数的对称性可判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：，，得，或， 因为，所以， 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以，所以，故A正确； 对B，， 因为， ， 故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误； 对C，， 由可得， 因此，函数的对称中心为，故C正确； 对D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第个根为，，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 16．（24-25高一上·江苏盐城·期末）的对称中心为 ． 【答案】（） 【分析】由正切函数图象的对称性可得答案. 【详解】令，解得，所以函数的对称中心为. 故答案为：. 17．（24-25高一上·江苏泰州·期末）求函数的对称中心为 ． 【答案】， 【分析】根据正弦函数对称中心通式即可得到答案. 【详解】令，解得， 则其对称中心为，. 故答案为：， 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数，，则 ． 【答案】0 【分析】由推得，将其看成整体，代入的表达式中，即可求得. 【详解】由可得，即， 则. 故答案为：0. 19．（9-10高一下·江苏·期末）关于函数，其中，有下列命题： ①由可得必是π的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图像关于对称； ④的图像关于对称． 其中正确的命题的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据函数求出最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，判断正误；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答． 【详解】函数的最小正周期，由相邻两个零点的横坐标间的距离是知①错， 利用诱导公式得知②正确， 由于曲线与x轴的每个交点都是它的对称中心， 将代入得， 因此点是图像的一个对称中心，故命题③正确． 曲线的对称轴必经过图像的最高点或最低点，且与y轴平行， 而时，点不是最高点，也不是最低点， 故直线不是图像的对称轴，因此命题④不正确， 故答案为：②③． 20．（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】由，所以， 依题意可得，解得，所以的最小值为. 故答案为： 21．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数.甲：当时，函数单调递减；乙：函数的图象关于直线对称；丙：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙三人对函数的论述中有且只有一人正确，则 . 【答案】 【分析】根据正切函数的性质可判断甲乙的论述是错误的，则根据丙的说法正确，结合正切函数的对称性即可求解. 【详解】由于，故没有对称轴，因此乙的论述是错误的， 当时，，由于，故函数不能在单调递减，故甲的论述错误， 故丙的论述是正确的，即函数的图象关于对称，则，故，结合，则 故答案为： 22．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，若的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】由题意得或，结合题意可得，然后代入求值即可. 【详解】，， 所以，或， ， 所以． 故答案为：. 23．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，. 若对于任意，总存在唯一的，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，分析可知在上有唯一解，结合正弦函数图像分析求解即可. 【详解】由，可得 当时，则，此时， 令，则， 因为时，则， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 由图可知，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 24．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且经过点，又.若对于任意，都有，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】结合条件求出函数的解析式，由此可求，再求函数在的范围，由此可求的范围，由此可得结论. 【详解】因为函数，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期为，又， 所以，故， 又的图象经过点， 所以， 又，故， 所以，故， 所以， 所以， 当时，， 所以， 所以当时，， 因为对于任意，都有， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 25．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点. (1)求的取值范围; (2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; (3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法可得函数在区间上有且仅有4个零点，然后结合余弦函数的图象与性质即可得结果； （2）求出，问题转化为在上恒成立，进而求得结果； （3）问题转化为函数与的图象在区间内有两个不同的交点，可得t的不等式，计算可得结果. 【详解】（1）因为，则，， 因为函数在区间上有且仅有4个零点， 所以函数在区间上有且仅有4个零点， 结合余弦函数的图象与性质可得：， 解得：， 所以的取值范围为 （2）当时，由可得：，所以， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立，又因为当时，， 所以，所以， 即，所以，故实数m的取值范围为 （3）因为函数在区间内有两个不同的零点，所以在区间内有两个不同的零点， 即在区间内有两个不同的零点， 即函数与的图象在区间内有两个不同的交点， 由余弦函数的图象与性质可得：或，即或， 故实数t的取值范围为 26．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为，则，则， 因为，则， 由题意可得，解得，因此，. （2）由题意可得， 因为，所以，，则，故， 因为，则， 由题意可得，即， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 27．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数． (1)求在上的值域； (2)设，若对，，使得．求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形得到，，求出值域； （2）在区间上单调递增，从而得到的值域，由题意得的值域包含的值域，结合（1）得到不等式，求出答案. 【详解】（1） 因为，所以 所以当时，取最大值； 当或1时，取最小值1； 所以的值域是 （2）由复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的值域为， 对，，使得，故的值域包含的值域， 其中， 所以，解得 28．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上m的取值范围是. 29．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先解方程得出，或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围． 【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称． 又，所以的图象关于点对称， 则有，即， 又因为，所以． （2）因为，即在处取得最大值2，所以， 则，即，又，所以， 所以．令，可得， 由，可得，则， 所以在区间上的单调递减区间为． （3）方程可化为， 则，或． 由（2）可知，在区间上的图象如图所示， 因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解， 所以或 解得或． 所以实数的取值范围是． 30．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． （2）， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． （3），设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 31．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数单调递增区间为，. (2)① ② 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. （2）①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角函数的图象与性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 无 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 【二级结论1】正弦型函数、余弦型函数及正切型函数的奇偶性 函数 奇偶性 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数. 【二级结论2】正弦型函数、余弦型函数及正切型函数的周期 函数 最小正周期 或 无周期 或（） 或 或（） 【题型1 三角函数的定义域问题】 三角函数的定义域求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高三·全国·中职高考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求三角函数的最值或值域】 三角函数的值域求法 （1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值 （2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． （3）和差积换元型：形如sin xcos x±(sin x±cos x)，利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题 （4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法． 7．（22-23高一上·江苏泰州·期末）函数在上的最小值为（    ） A．－1 B． C． D． 8．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·广西柳州·期末）函数在上的值域为 . 10．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 11．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 由三角函数的值域求参数】 1.定相位范围：由自变量区间，得的取值区间； 2.抓核心条件：根据目标最值（如），结合（或）的有界性，确定相位区间需包含对应最值点（如）； 3.建不等式：分情况讨论最值点与相位区间的位置关系，列不等式求解参数范围； 4.取最优值：结合参数约束（如），筛选出最小/最大值。 12．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为 . 13．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 14．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为 . 15．（25-26高三上·山东青岛·月考）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为 ． 16．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为 ． 17．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ． 18．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 【题型4 求三角函数的单调区间】 求三角函数的单调区间 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 19．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·福建泉州·月考）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是 ． 【题型5 由三角函数的单调性求参数】 已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 22．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为 . 24．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 25．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为 . 26．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 27．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 三角函数的奇偶性及应用】 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 28．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 30．【多选】（24-25高一上·广东·期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 32．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）函数在上的最大值和最小值之和为（   ） A．2 B．4 C．8 D．4050 33．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 34．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 35．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则 ． 36．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知是奇函数，则 . 37．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 38．（24-25高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高三上·新疆·月考）已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（   ） A． B． C． D． 【题型7 三角函数的周期性及应用】 （1） 定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题； （2） 公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝·sin(ωx＋φ)的形式再求周期； （3） 图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为. 函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． (4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变. 40．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D．2 41．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 42．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则 ． 43．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数满足．当时，，则（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型8 三角函数的对称性及应用】 三角函数对称轴和对称中心的求解方法 (1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． (2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z.　 46．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象： ①关于点对称； ②关于直线对称； ③关于点对称； ④关于直线对称． 正确的序号为 ． 49．（2023·四川雅安·一模）“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 50．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， . 51．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 53．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则 . 54．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 . 55．（21-22高一下·陕西咸阳·月考）已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（    ） A． B． C． D． 56．（2025高三·全国·专题练习）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 57．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【题型9 三角函数的图象识别问题】 含三角式的函数图象识别通用策略 1. 奇偶性初筛：代入判断与的关系，确定图象对称性（奇→原点对称，偶→y轴对称），排除不符选项； 2. 特殊点验证：计算等特殊点的函数值，确定图象过点（如是否为0）； 3.符号分析：取趋近于0、正/负无穷或特殊角，分析分子分母的符号组合，确定局部区间内函数值的正负，匹配图象趋势； 58．（24-25高一下·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高二下·江苏扬州·期末）函数，的大致图象是（    ） A． B． C． D． 60．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 61．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   62．（2023·湖北武汉·三模）函数的部分图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【题型10 比较三角函数值的大小】 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 63．（2025·云南·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 65．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 66．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 67．（24-25高一上·江苏南通·期末）定义在R上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型11 三角函数的零点问题】 1.化方程：令，转化为三角方程（如）； 2.求通解：利用三角函数零点性质，得通解，解出； 3.定范围：结合的区间（如），代入的整数值，筛选出符合区间的； 4.数个数：统计满足条件的对应的的数量，即零点个数。 68．（22-23高三上·江苏镇江·期末）若函数在上没有零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 69．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为 ． 70．（22-23高一上·江苏徐州·期末）若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 71．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 72．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 73．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知，满足，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【题型12 三角函数中ω的取值范围】 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值． 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值． （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定的取值． 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围． 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等． 74．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 75．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 76．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 77．（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 78．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 79．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，若存在，使得，则正实数的取值范围是 . 80．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型13 三角函数性质的综合】 探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x，x∈R(y＝tan x)的性质求解．若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式． 81．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数的图象关于点成中心对称，则（    ） A．在区间上单调递减 B．函数在区间上的最大值为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．若在上有两个不相等的实根，则的取值范围是 82．【多选】（22-23高一上·江苏南京·期末）设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若函数的最大值为2，则 B．若对于任意的，都有成立，则 C．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是 D．当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是 83．【多选】（22-23高三上·江苏盐城·月考）已知函数 在区间上有且仅有个零点，则（   ） A．在区间上有且仅有个对称轴 B．的最小正周期可能是 C．的取值范围是 D．在区间上单调减 84．【多选】（22-23高三上·湖南长沙·月考）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（    ） A．在区间上有且仅有3个不同的零点 B．的最小正周期可能是 C．的取值范围是 D．在区间上单调递增 85．【多选】（21-22高三上·山东烟台·期中）设函数，若在有且仅有5个最值点，则（    ） A．在有且仅有3个最大值点 B．在有且仅有4个零点 C． 的取值范围是 D．在上单调递增 86．【多选】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 87．【多选】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设，定义运算已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 88．【多选】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．在上有2个零点 89．【多选】（24-25高二下·福建泉州·期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 90．【多选】（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 一、单选题 1．（24-25高一上·福建莆田·期末）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽淮北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏·期末）已知曲线与只有唯一交点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 6．（25-26高一上·山西·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 8．（24-25高一上·江苏南通·期末）若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，其中，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到 11．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，则该函数的（    ） A．值域为 B．减区间是 C．图象的对称中心为 D．图象的对称轴方程为 12．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，），若，是的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法正确的有（    ） A． B．若是的一个对称中心，则 C．若在区间内有最小值，则 D．当时，在区间上的值域为 13．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（   ） A．函数在区间上单调递增 B．直线是函数的一条对称轴 C．函数的图象关于点中心对称 D．若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 14．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 15．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．的最小正周期是 C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 三、填空题 16．（24-25高一上·江苏盐城·期末）的对称中心为 ． 17．（24-25高一上·江苏泰州·期末）求函数的对称中心为 ． 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数，，则 ． 19．（9-10高一下·江苏·期末）关于函数，其中，有下列命题： ①由可得必是π的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图像关于对称； ④的图像关于对称． 其中正确的命题的序号是 ． 20．（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 . 21．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数.甲：当时，函数单调递减；乙：函数的图象关于直线对称；丙：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙三人对函数的论述中有且只有一人正确，则 . 22．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，若的最小值为，则 ． 23．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，. 若对于任意，总存在唯一的，使得，则的取值范围为 . 24．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且经过点，又.若对于任意，都有，则的最小值为 . 四、解答题 25．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点. (1)求的取值范围; (2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; (3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 26．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 27．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数． (1)求在上的值域； (2)设，若对，，使得．求实数的取值范围． 28．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 29．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 30．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 31．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $