专题07 三角函数（12大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

专题07 三角函数 【苏教版】 【知识清单1 任意角】 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. (3)角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称α=β. (5)角的加、减法 ①角的加法 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 【知识清单2 弧度制】 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【知识清单3 三角函数的定义】 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【知识清单4 同角三角函数的基本关系】 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【知识清单5 诱导公式】 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【知识清单6 三角函数的图象与性质】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【知识清单7 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【知识清单8 函数y=Asin(ωx+φ)】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【知识清单9 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【知识清单10 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【知识清单11 拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【题型1 任意角】 【例1】（25-26高一上·江苏宿迁·月考）下列选项中与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高一上·江苏南京·月考）已知角的大小为，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1.2】（25-26高一上·吉林四平·月考）在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高一上·广东珠海·月考）2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（    ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型2 角度与弧度的互化】 【例2】（24-25高一上·江苏常州·月考）化成弧度制是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高一上·云南昆明·月考）弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高一上·陕西西安·月考）体操中有“前空翻转体390度”这样的动作名称，则化成弧度是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【题型3 弧长与扇形面积的有关计算】 【例3】（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为（   ） A．8 B．4 C． D． 【变式3.1】（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知扇形的弧长是2，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·山西晋城·月考）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【变式3.3】（24-25高一上·山东青岛·月考）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（    ） A．128 B． C． D．192 【题型4 任意角的三角函数的定义】 【例4】（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·河南·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·陕西汉中·月考）若角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 同角三角函数的基本关系】 【例5】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知是第二象限角，， (1)求； (2)求． 【变式5-3】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 【题型6 诱导公式】 【例6】（25-26高一上·北京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·陕西咸阳·月考）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课前预习）（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高三上·广东佛山·月考）（　　） A． B． C． D． 【题型7 三角函数的图象及其应用】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式7-1】（25-26高三上·山东·期中）函数 的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D． 【变式7-2】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【变式7-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【题型8 三角函数的单调性问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高一上·广东茂名·月考）函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【变式8.3】（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知函数（，），，，且在上单调，则的最大值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．18 【题型9 三角函数的图象与性质的综合】 【例9】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【变式9-1】（24-25高一下·北京·期中）关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数；        ②在区间单调递增； ③在有3个零点；    ④的最大值为2． 其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式9-2】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域． 【变式9-3】（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【题型10 三角函数的图象变换】 【例10】（25-26高一上·北京·开学考试）要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式10.1】（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【变式10.3】（24-25高一下·吉林长春·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则函数（   ） A． B． C． D． 【题型11 由部分图象求函数的解析式】 【例11】（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式11.1】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【变式11.2】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及的值； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【变式11.3】（24-25高一下·江西抚州·月考）若函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若当时，，求实数t的取值范围． (3)已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 【题型12 三角函数的应用】 【例12】（24-25高一下·重庆·月考）近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 【变式12.1】（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【变式12.2】（2025高一上·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 【变式12.3】（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 一、单选题 1．（25-26高一上·广东中山·月考）快到2026年元旦假期了，是（    ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东济南·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 8．（25-26高一上·北京通州·月考）设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 二、多选题 9．（25-26高一上·广东江门·月考）下列结论正确的是（   ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 C．240°化成弧度是 D．终边在直线上的角的取值集合可表示为 10．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 三、填空题 12．（25-26高一上·福建莆田·月考） . 13．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 14．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏南京·月考）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 16．（24-25高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 17．（25-26高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 18．（24-25高一下·湖北武汉·月考）摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，，求y关于t的函数解析式； (2)在的（1）条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面的距离； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时，至乙运行一周结束计时，在这过程中，当甲、乙两人距离地面高度差恰为米时，求摩天轮运行时间的值. 19．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角函数 【苏教版】 【知识清单1 任意角】 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. (3)角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向——顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且 旋转量相等，那么就称α=β. (5)角的加、减法 ①角的加法 设α，β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以 转化为角的加法. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α，β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 【知识清单2 弧度制】 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角 度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋 转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【知识清单3 三角函数的定义】 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离 为r.则=，=，=. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【知识清单4 同角三角函数的基本关系】 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【知识清单5 诱导公式】 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【知识清单6 三角函数的图象与性质】 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【知识清单7 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【知识清单8 函数y=Asin(ωx+φ)】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．三角函数的图象变换问题的求解方法 解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 4．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【知识清单9 匀速圆周运动的数学模型】 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【知识清单10 三角函数的简单应用】 1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数 中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 2．三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2)三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【知识清单11 拟合法建立三角函数模型】 1．用拟合法建立三角函数模型 数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化. 【题型1 任意角】 【例1】（25-26高一上·江苏宿迁·月考）下列选项中与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由终边相同的角的定义即可得解. 【解答过程】， 故与角终边相同的角可以是， 故选：C. 【变式1.1】（25-26高一上·江苏南京·月考）已知角的大小为，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解题思路】根据任意角的定义进行求解即可. 【解答过程】已知角的大小为，所以， 故角为第二象限角. 故选：B. 【变式1.2】（25-26高一上·吉林四平·月考）在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出与角终边相同的角的集合，列不等式求结论. 【解答过程】与角终边相同的角的集合为， 令，可得，又， 所以，且， 所以与角终边相同的角中，最大的负角是， 故选：B. 【变式1.3】（25-26高一上·广东珠海·月考）2026年元旦假期到了，祝愿大家元旦启新，数海扬帆，步步精进，前程璀璨！是（    ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】把写成的形式，再利用所在的象限进行判断. 【解答过程】因为，且为第三象限角， 所以为第三象限角. 故选：C. 【题型2 角度与弧度的互化】 【例2】（24-25高一上·江苏常州·月考）化成弧度制是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由角度，弧度转化公式可得答案. 【解答过程】由于， 所以 故选：D. 【变式2.1】（25-26高一上·云南昆明·月考）弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用弧度制与角度制的互化关系进行互化. 【解答过程】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 故选：A. 【变式2.2】（25-26高一上·陕西西安·月考）体操中有“前空翻转体390度”这样的动作名称，则化成弧度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用角度与弧度的换算公式易得. 【解答过程】因. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据角度制与弧度制的互化公式直接求解即可. 【解答过程】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B. 【题型3 弧长与扇形面积的有关计算】 【例3】（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据扇形的弧长公式和面积公式，准确计算，即可求解. 【解答过程】设扇形所在圆的半径为， 因为扇形的圆心角为，其面积是，可得，解得， 又由扇形的弧长公式，可得. 故选：B. 【变式3.1】（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知扇形的弧长是2，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先通过已知的弧长和圆心角弧度数，利用弧长公式求出扇形的半径；再将弧长与半径代入扇形面积公式，计算得到面积． 【解答过程】根据弧度制下的扇形弧长公式， 已知弧长，圆心角弧度，代入得： ，解得半径． 扇形面积 ， 故选：A． 【变式3.2】（25-26高一上·山西晋城·月考）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】D 【解题思路】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【解答过程】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D. 【变式3.3】（24-25高一上·山东青岛·月考）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（    ） A．128 B． C． D．192 【答案】D 【解题思路】由题意可求，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为，利用扇形的弧长公式可得，解得，利用扇形的面积公式即可求解. 【解答过程】因为的长为，的长为，，， 则， 如图，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为， 则，解得， 则扇环的面积. 故选：D. 【题型4 任意角的三角函数的定义】 【例4】（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【解答过程】因为角的终边经过点，所以. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·河南·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由三角函数的定义可求出即可求出答案. 【解答过程】由三角函数的定义可得， ， ， ， 所以. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【解答过程】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一下·陕西汉中·月考）若角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三角函数的定义求解即可. 【解答过程】设，，，则，所以，， 故． 故选：B. 【题型5 同角三角函数的基本关系】 【例5】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用齐次化思想求出，再利用齐次化思想求解即可. 【解答过程】因为，所以， 则. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知是第二象限角，， (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)根据同角三角函数关系，由平方关系求出余弦，再由商数关系求出正切. (2)把分子1转换为,在由弦化切,求出结果. 【解答过程】（1）已知是第二象限角，, ,. （2）, ,. 【变式5-3】（25-26高一上·河南安阳·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【解题思路】（1）利用弦化切可得出所求代数式的值； （2）由已知得出，结合弦化切可得出所求代数式的值； （3）根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解之即可. 【解答过程】（1）因为，所以. （2） . （3）因为为第一象限角，由同角三角函数的基本关系可得， 解得，. 【题型6 诱导公式】 【例6】（25-26高一上·北京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式化简求值. 【解答过程】， 故选：A. 【变式6-1】（25-26高一上·陕西咸阳·月考）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据诱导公式化简求解即可. 【解答过程】， 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·全国·课前预习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【解答过程】． 故选：D． 【变式6-3】（25-26高三上·广东佛山·月考）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用同角三角函数的商数关系与诱导公式计算化简即可. 【解答过程】 . 故选：A. 【题型7 三角函数的图象及其应用】 【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解答过程】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 【变式7-1】（25-26高三上·山东·期中）函数 的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【解题思路】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可. 【解答过程】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D. 【变式7-2】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【解题思路】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解答过程】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 【变式7-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【答案】(1) (2)图象见解析， 【解题思路】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可； （2）利用五点法画图，然后写单调区间即可. 【解答过程】（1）由题意得，又，所以，， 则. （2）因为，所以， 列表如下： 画出函数在区间上的图象如下： 所以图象在上的单调递减区间为. 【题型8 三角函数的单调性问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用诱导公式将原函数变形为，将原函数的单调增区间转化为的单调减区间，再结合正弦函数的单调减区间列不等式求解，得到原函数的单调增区间. 【解答过程】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得，，结合解出即可得. 【解答过程】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 【变式8.2】（25-26高一上·广东茂名·月考）函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】B 【解题思路】由诱导公式得，然后根据余弦函数的单调性判断即可. 【解答过程】因为， 所以在区间上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 【变式8.3】（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知函数（，），，，且在上单调，则的最大值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【解题思路】根据已知得、，进而有，，则，从大到小代入解析式研究函数在上的单调性，即可得. 【解答过程】由题设，，可得， 且，可得， 所以，，则，， 又，所以， 当时，，，，则， 所以，此时，，显然不单调； 当时，，，，则， 所以，此时，，满足题设； 所以的最大值为14. 故选：C. 【题型9 三角函数的图象与性质的综合】 【例9】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【解题思路】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解答过程】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高一下·北京·期中）关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数；        ②在区间单调递增； ③在有3个零点；    ④的最大值为2． 其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解题思路】由奇偶性定义可判断出为偶函数，①正确；分别在和两种情况下求得解析式，结合偶函数的对称性可得图象，结合图象可判断出②③④的正误. 【解答过程】的定义域为，且，为偶函数，①正确； 当时，；当时，； 又为偶函数，图象关于轴对称，则可得图象如下图所示：    由图象可知：在上单调递减，②不正确； 在上有，和三个零点，③正确； ，由图象可知，④正确. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】(1)由最小正周期求出,再由对称轴求出即可; (2)令,解不等式即可; (3) 由，得到，进而求出值域. 【解答过程】（1）由题意得． 因为的图象关于直线对称，所以， 得． 又，所以．故． （2）由， 得， 所以的单调递减区间为． （3）由，得， 由正弦函数的图象得， 故在上的值域为． 【变式9-3】（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3). 【解题思路】（1）运用正弦函数周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由 时，得，结合函数单调性列出m的不等式即可求出； （3）方程有两个不相等的实数根，转化为函数与函数的图象有两个交点，结合图象求解即可. 【解答过程】（1），所以函数的最小正周期为. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，， 因为在区间上单调递减，所以，解得. 所以实数的取值范围是. （3）令，∵，∴， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以函数与函数的图象有两个交点. 结合图象得，，解得，. 所以实数的取值范围是. 【题型10 三角函数的图象变换】 【例10】（25-26高一上·北京·开学考试）要得到函数的图象，需要把函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解题思路】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【解答过程】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C. 【变式10.1】（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【解答过程】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C. 【变式10.2】（24-25高一下·重庆·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】D 【解题思路】利用三角函数的伸缩平移变换规律即得. 【解答过程】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象. 故选：D. 【变式10.3】（24-25高一下·吉林长春·期末）把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则函数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数图象平移、伸缩变换法则即可求解. 【解答过程】把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 故选：B. 【题型11 由部分图象求函数的解析式】 【例11】（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式. 【解答过程】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D. 【变式11.1】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·月考）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【解答过程】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B. 【变式11.2】（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及的值； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据函数图象可求出函数的解析式，利用五点作图法可求得的值； （2）利用图象变换可求的解析式，即可得到值域. 【解答过程】（1）设函数的最小正周期为T，由题意可得，，故． 因为，，所以，． 由，解得． （2）由题意得，． 当时，，所以， 所以，即的值域为． 【变式11.3】（24-25高一下·江西抚州·月考）若函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若当时，，求实数t的取值范围． (3)已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据图象可知，，即可得，再结合最值可得，即可得函数解析式； （2）利用周期得，以为整体，结合正弦函数图象分析求解即可； （3）根据题意结合正项函数值域可得，分类讨论，结合周期性和诱导公式运算求解. 【解答过程】（1）设的最小正周期为T，且， 由题图可得，且， 即，则，可得， 又因为，即， 且，则， 可得，即， 所以， （2）当时，利用周期等价于，则， 若，即， 则，解得， 所以实数t的取值范围为. （3）由题意可知：， 若存在非零常数λ，对任意，有成立， 因为在R上的值域为，则在R上的值域为， 可知，即， 当时，则，可知1为的一个周期， 即1为最小正周期的整数倍， 可得，则（且）， 当时，则， 可得， 由诱导公式可得，可得 综上所述：当时，且； 当时，． 【题型12 三角函数的应用】 【例12】（24-25高一下·重庆·月考）近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求出、，根据周期求出，再由求出，即可得解. 【解答过程】依题意，解得， 又，所以，所以， 所以，又， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：A. 【变式12.1】（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【解答过程】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D. 【变式12.2】（2025高一上·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据低潮和高潮的时间和深度，求出三角函数的解析式，再利用解析式求解问题； 【解答过程】（1）依题意知， 故． 所以． 又因为时，，所以， 所以，所以． （2）时， ． （3）令， 有， 因此． 所以． 所以． 令，得；令，得． 故这一天共有水深低于． 【变式12.3】（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【解答过程】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 一、单选题 1．（25-26高一上·广东中山·月考）快到2026年元旦假期了，是（    ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】利用终边相同角的集合来分析即可判断. 【解答过程】因为，而是第三象限角， 所以是第三象限角， 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由三角函数定义可得，从而计算出答案. 【解答过程】终边过点，故， 所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·山东济南·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据诱导公式对条件和所求式子化简，再根据齐次化为切直接计算可得结果. 【解答过程】由诱导公式得，所以. 再由诱导公式， 所以 . 故选：B. 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将两边平方整理得到，由得到，由得到，从而得到，由和得到，求出利用求出，联立和的等式，解得和，利用求出，从而得到答案. 【解答过程】，， ，， ，， ，，，，故选项A正确； ， ， ，， ，故选项D错误； 联立，解得，则，故选项B和C正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意，利用正弦函数的零点和单调性求出的取值范围 【解答过程】当，， 函数（）在上单调递增， 所以，所以 当，， 且， 在上有且仅有1个零点， 所以或， 所以或， 综上的取值范围为， 故选：C. 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先根据图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【解答过程】由图象可知：， ， 由 ，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由， ，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到 的图象，故④错误． 故选：B． 7．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解题思路】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【解答过程】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 8．（25-26高一上·北京通州·月考）设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 【答案】B 【解题思路】根据在区间上的单调性以及，求得图象的对称中心、对称轴、函数的最小正周期，即可判断各选项. 【解答过程】对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期， 而，且， 所以是图象的一条对称轴. 因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心， 则函数的一个零点是，故D正确. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东江门·月考）下列结论正确的是（   ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 C．240°化成弧度是 D．终边在直线上的角的取值集合可表示为 【答案】BC 【解题思路】根据三角函数值符号、象限角概念、角度与弧度转化及终边相同角的表示逐一判断. 【解答过程】对于A，当时，，但是轴线角不是象限角，故A错误； 对于B，第一象限角满足，则， 当为偶数时在第一象限，为奇数时在第三象限，故B正确； 对于C，由角度转弧度公式得，故C正确； 对于D，终边在直线上的角应表示为，而表述错误，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据同角三角函数关系进行求解. 【解答过程】因为，左右同时平方得，， 由，得，故正确. 同时可知异号，且题中，所以可知，故错误. 对于选项，， 因为，，故， 所以，故正确. 对于选项，计算，需要联立，解得， 所以，故错误. 故选：. 11．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【解题思路】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对； 对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对； 对于C选项，因为，当时，， 因为函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则， 所以，，C错； 对于D选项，若，即， 当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·福建莆田·月考） . 【答案】 【解题思路】先根据诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值计算得到结果. 【解答过程】由诱导公式， 故原式 故答案为：. 13．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【解题思路】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【解答过程】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 . 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】先根据三角函数变换求出，然后令其为0，求出零点，并根据零点的范围列出不等式，得到. 最后分析讨论求出结果即可. 【解答过程】把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 则. 令，则，所以， 因为函数在区间上恰有2个零点，所以， 化简得，因为，所以. 设区间内包含的整数为和需满足. 同时，和不在此区间内. 当时，和需满足，解得； 当时，和需满足，解得； 当时，和需满足，解得； 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏南京·月考）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知可求，利用诱导公式化简所求即可计算得解. （2）将平方得出，再将平方，根据 的范围， 即可得解. 【解答过程】（1） 所以 （2）， 所以， 又，，则，故 而， 所以. 16．（24-25高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【答案】(1)米 (2)元 【解题思路】（1）利用弧长计算公式计算即可； （2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得. 【解答过程】（1）弧的长度，弧的长度， 所以扇形环面展台周长为：米； （2）设，米， 则弧的长度，弧的长度， 因为该扇形环面的周长为米，所以，即， 整理得， 则该扇形环面展台的面积：平方米， 所以布置该扇形环面展台的总费用为：元. 17．（25-26高三上·江苏扬州·期中）函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式及其单调增区间； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【解题思路】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （2）利用根据正弦函数的图象与性质解不等式，结合即可求解. 【解答过程】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 18．（24-25高一下·湖北武汉·月考）摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，，求y关于t的函数解析式； (2)在的（1）条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面的距离； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时，至乙运行一周结束计时，在这过程中，当甲、乙两人距离地面高度差恰为米时，求摩天轮运行时间的值. 【答案】(1) (2)米 (3)或或或 【解题思路】（1）根据周期和最值可求函数解析式； （2）代入时间可得距离地面的距离； （3）先求出两人离地距离的解析式，作差，利用高度差可得的值. 【解答过程】（1）因为摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米， 所以，，且当时，， 又转一周需要48分钟，所以周期， 所以，其中，，， 所以，，，， 所以 （2）由（1）知，， 当时，， 所以游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离为30米. （3）设甲、乙都坐进座舱，并记两人位置为点A，B，则， 结合（1），当乙运行分钟后，乙离地面距离， 甲离地面距离， 所以甲、乙两人距离地面高度差 ， 所以， 所以，于是有或或 或，. 又，解得：或或或， 所以甲、乙两人距离地面高度差恰为米时，运行时间的值为或或或. 19．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【解答过程】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以 ，即， 解得或， 即的取值范围为． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $