专题29 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质综合应用（六类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题29 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质综合应用 （六类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 类型二、 类型三、根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 类型四、y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 类型六、三角函数图像与性质的综合应用 压轴专练 类型一、y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响: （1）φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （2）对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 （3）对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. 【技巧方法】 每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 例1．已知曲线，，则（  ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【解析】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A. 变式1-1．为了得到的图象，只要把的图象向左平移（  ）个单位长度（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换结合诱导公式逐项分析判断. 【解析】对于选项A：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故A错误； 对于选项B：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 符合题意，故B正确； 对于选项C：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故C错误； 对于选项D：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故D错误； 故选：B. 变式1-2．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得函数的解析式，进而可得函数值. 【解析】函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到函数， 再把所有点的横坐标变为原来的后得到函数， 所以. 故选：A. 变式1-3．（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（  ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】AC 【分析】根据三角函数图象变换逐项分析判断. 【解析】对于A，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故A正确. 对于B，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故B错误. 对于C，将图象上的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式为，再向右平移个单位长度， 所得图象对应的解析式，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故D错误. 故选：AC. 变式1-3．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据函数的性质求的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解. 【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 函数的图象关于直线对称， 所以，得, 所以的最小值是4，则的最小正周期的最大值为. 故选：A 类型二、求y＝Asin(ωx＋φ)图象变化前（后）的解析式 的平移与伸缩： 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 【技巧方法】 三角函数图象变换中的三个注意点: ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 例2．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次由各选择支函数根据平移变换求出的解析式，再代值验证对称性可知. 【解析】对于选项A，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，故图象不关于点中心对称，故A错； 对于选项B，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，故图象不关于点中心对称，故B错； 对于选项C，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，可知图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由， 故图象不关于点中心对称，故D错. 故选：C. 变式2-1．已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移变换的性质即可求解. 【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到， 故， 故选：B 变式2-2．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【解析】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C. 变式2-3．把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换可得到函数的解析式，作出函数以及的图象，数形结合，即可得答案. 【解析】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，再将该图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 即， 作出以及的图象，如图，    由图象可知的图象与直线的交点个数为3， 故选：C 类型三、根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【技巧方法】 确定函数（）的解析式的步骤: （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 例3．下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象求出的解析式即可. 【解析】由图可得：，即，即， 观察各选项可知，本题考虑即可，则， 把点代入中，可得：， 故，即， 所以. 故选：C. 变式3-1．已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【解析】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 变式3-2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质逐一判断即可. 【解析】由图象可知：，周期，故． 由，解得， 故函数，选项A正确； 选项B，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，，D错误． 故选：AC． 变式3-3．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则则_______________ 【答案】 【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质逐一判断即可. 【解析】由图象知：，解得，故①错误； 所以，解得. 将代入得， 所以，即， 又因为，所以，. 故答案为 类型四、y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 1、的单调性 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（以下） （4）单调性 【技巧方法】 （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 例4．函数在的单调递减区间是 【答案】和 【分析】，求得在的单调递增区间即可. 【解析】， 故的单调递增区间即为的减区间， 由，得， 又，所以或， 所以函数在的单调递减区间是和. 故答案为：和. 变式4-1．已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可. 【解析】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 变式4-2．已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图像上相邻最高点的距离为，所以的最小正周期，从而． 又的图像关于直线对称，所以， 因为，所以，所以， 所以，将的图像向右平移个单位后，得到， 所以， 当， 即时，单调递减． 因此的单调递减区间为，故D正确. 故选：D. 变式4-3．已知函数在上单调递增，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简，结合单调性与周期的关系可得，进而可得，由整体法求解函数的单调增区间，对进行取值，即可求解. 【解析】，周期， 因为函数在上单调递增，则解得， 此时， 则. 函数的单调递增区间满足，即， 当时，，不符合，舍去， 当时，，此时，解得. 当时，，不符合题意舍去， 综上可知最大值为 故选：C 变式4-4．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【解析】， 要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 令，解得， 令，又，故函数的单调递增区间为． 故答案为：. 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 1、的对称性和奇偶性 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 2、对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 3、函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 例5．已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（  ） A．3 B．9 C．3或9 D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的的取值为或9，分类讨论验证单调性即可得结论. 【解析】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调递增，所以，得，因此． 由知的图象关于直线对称，则①． 由知的图象关于点对称，则②． ②①得，令，则， 结合可得或9． 当时，代入①得，又，所以， 此时，因为，故在上单调递增，符合题意； 当时，代入①得，，又，所以， 此时，因为， 故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去． 综上，的值为3． 故选：A. 变式5-1．已知函数的部分图象如图所示，，，，则（  ） A． B． C．为奇函数 D．当在上恰有4个零点时， 【答案】ABD 【分析】A选项，由图象可得，从而求出；B选项，由计算出，解得；C选项，求出，根据得到C错误；D选项，得到，数形结合得到，解得，D正确. 【解析】A选项，由图象可知和为相邻的两个最大值点和最小值点， 设的最小正周期为，则，故， 又，故，A正确； B选项，因为，所以， 因为，所以，解得，B正确； C选项，， 故， 由于，故， 显然不为奇函数，C错误； D选项，时，， 在上恰有4个零点，故， 解得，D正确. 故选：ABD 变式5-2．（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（  ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【答案】BC 【解析】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C正确； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：BC. 变式5-3．已知函数的最小正周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ． 【答案】（答案不唯一，符合均为正确答案） 【分析】求出，求出即可求出对称轴方程. 【解析】因为函数的最小正周期为， 所以，所以，所以， 令，所以， 所以. 故答案为：. 变式5-4．已知函数在上有两个不同的零点，则 . 【答案】/ 【分析】由得，令，则，有两个不同的解，易得关于对称，所以，即得，由可得答案. 【解析】由，得， 则在上有两个不同的解. 当时，， 令，则，有两个不同的解. 易得关于对称， 所以，即， 所以，即，所以， 所以 . 故答案为：. 类型六、三角函数图像与性质的综合应用 研究函数性质的基本策略: （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域． 【技巧方法】 1、熟悉三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等基本性质，这是解题的基础． 2、通过绘制或分析三角函数的图象，直观理解函数的性质和变化规律，帮助快速定位问题的关键点． 3、利用三角恒等变换（如诱导公式、和差公式、倍角公式等）将复杂函数化简为基本形式，便于分析性质． 4、对于含参数的三角函数问题，通过讨论参数的取值范围，结合图象或性质，确定函数的特征． 例6．已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】（1）， 因为的最小正周期为，且， 所以即，所以． （2）因为，所以． 所以，令． 又在上有解， 所以在上有解， 所以． （3）由题意可知：， 因为， 所以中有一个为1，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，所以，或， 因此的值为或． 变式6-1．（多选）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，且函数过点，则（  ） A． B． C．在区间上单调递增 D．为奇函数 【答案】BC 【解析】由图象可知：，所以， 由，故A选项错误； 由图象可知：， 即，所以， 解得：， 又，所以，故B选项正确； 因为函数过点，所以， 所以函数， 由，所以， 又在上单调递增， 故在区间上单调递增， 故C选项正确； 因为， 所以， 令， 由的定义域为关于坐标原点对称 但是， 所以不是奇函数，即函数不是奇函数， 故D选项不正确. 故选：BC. 变式6-2．（多选）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．则下列说法正确的是（  ） A.的图象关于点对称；  B.在内恰有5个最值点； C.在内单调递减；          D的取值范围是． 【答案】AD 【分析】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可. 【解析】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象， 所以函数的解析式为：， 当时，， 因为函数在上有且只有5个零点，， 所以，解得， 因为，， 所以当时，，此时解不等式组，得， 当时，，即， 此时不等式组的解集为空集，故D正确； A：因为，所以的图象关于点对称， 故本命题是真命题； B：因为，所以， 又因为，所以，而， 即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题； C：因为，所以， 又因为，所以，而，故本命题是假命题； 故选：AD. 变式6-3．（多选）已知函数，则（  ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有2个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【解析】函数 ． 选项A：，故最大值为2，A正确； 选项B：时，不单调递增，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误. 故选：AC． 变式6-4．已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 【答案】 2 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【解析】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 又，， 综上所述：，. 故答案为：2，. 变式6-5．已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，求的值. 【答案】(1)1；(2)；(3) 【解析】（1）由函数， 因为函数的最小值为，可得，解得. （2）由（1）知：， 因为，可得， 令和，解得和， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则 . 1.要得到函数的图象，可以将函数的图象（  ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【答案】A 【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可. 【解析】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：A. 2.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移过程写出对应解析式. 【解析】函数的图象向左平移个单位长度，即的图象， 再把图象上各点的横坐标放大到原来的2倍，得的图象． 故选：B. 3.已知，则是（  ） A． 奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 B． C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 【答案】A 【分析】利用即可判断奇偶性和周期性. 【解析】因， 故为奇函数，且最小正周期为. 故选：A. 4.已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案. 【解析】由已知相邻两条对称轴的距离为，可得，又，可得， 由函数经过点，则，即， 又，可得，所以， 因为函数的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为， 所以在函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点， 故选：A. 5.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先根据图象的平移变换得到的解析式，再根据在区间上单调递增，即可得到的最大值. 【解析】根据题意得， 又因为函数在区间上单调递增，此时， 所以，解得，所以的最大值为. 故选：B. 6.（多选）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（  ） A．函数为偶函数 B． C． D．函数的图象的对称轴方程为 【答案】ACD 【分析】，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解． 【解析】对于A，由已知， 由，得为偶函数，故A正确； 对于B，C，可得，故C正确； 对于D，令，，可得，故D正确. 故选：ACD. 7.（多选）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（  ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 【答案】BCD 【分析】利用三角函数图象的变换先得的解析式，利用三角函数的性质一一判定选项即可. 【解析】易知， 显然的最小正周期为，故A错误； 而，故B正确； 当时，，显然此时单调递增，故C正确； 当时，，此时取得最大值，即关于直线对称，故D正确. 故选：BCD. 8.（多选） 已知函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】AD 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【解析】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A正确； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：AD. 9.已知函数，则当时的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数性质求解可得. 【解析】， 因为，所以， 所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 10.已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解. 【解析】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有， 则，又，则， 则， 当时，， 由函数在区间上单调递增，则有， 则有，解得， 则当时，，又，故. 故答案为： 11.将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】函数的最小正周期为， 将函数向右平移后的解析式为， 由，可得， 要使得平移后的图象有个最高点和个最低点，则需：，解得． 故答案为：. 12.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则__________ 【答案】 【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解. 【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． 当时，，令，， 则关于t的方程在上有两个不等的实数根，，所以， 即，则，所以． 故答案为： 13.已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值. 【答案】；（2） 【解析】（1）函数的最大值是2，,函数的周期， 即， ，且，或， 当时，，当时，，满足条件； 当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，所以舍去， 所以函数； （2），得， ，解得：， 或，解得：， 函数在区间上只有4个零点， 这四个零点应是，，，， 那么的最大值应是第5个零点，即， 所以的最大值是. 14.已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 【答案】(1)条件选择见解析，;(2) 【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式； （2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案. 【解析】（1）若选①②： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以． 因为，所以，所以函数的解析式为； 若选①③： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以，即，因为，所以． 所以函数的解析式为； 若选②③： 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以， 因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以即， 因为，所以，所以函数的解析式为； （2）把的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到， 即，由得， 因为在区间上的最大值为2， 所以在区间上的最大值为1， 所以，所以，所以的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质综合应用 （六类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 类型二、 类型三、根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 类型四、y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 类型六、三角函数图像与性质的综合应用 压轴专练 类型一、y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响: （1）φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （2）对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 （3）对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. 【技巧方法】 每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 例1．已知曲线，，则（  ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 变式1-1．为了得到的图象，只要把的图象向左平移（  ）个单位长度（  ） A． B． C． D． 变式1-2．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（  ） A． B． C． D．1 变式1-3．（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（  ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 变式1-3．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（  ） A． B． C． D． 类型二、求y＝Asin(ωx＋φ)图象变化前（后）的解析式 的平移与伸缩： 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 【技巧方法】 三角函数图象变换中的三个注意点: ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 例2．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 变式2-2．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（  ） A． B． C． D． 变式2-3．把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型三、根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【技巧方法】 确定函数（）的解析式的步骤: （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 例3．下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（  ）    A． B． C． D． 变式3-1．已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（  ） A． B． C． D． 变式3-2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B． C． D． 变式3-3．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则则_______________ 类型四、y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 1、的单调性 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（以下） （4）单调性 【技巧方法】 （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象． 例4．函数在的单调递减区间是 变式4-1．已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（  ） A． B． C． D． 变式4-2．已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数在上单调递增，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式4-4．函数的单调递增区间为 ． 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 1、的对称性和奇偶性 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 2、对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 3、函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 例5．已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（  ） A．3 B．9 C．3或9 D． 变式5-1．已知函数的部分图象如图所示，，，，则（  ） A． B． C．为奇函数 D．当在上恰有4个零点时， 变式5-2．（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（  ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 变式5-3．已知函数的最小正周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ． 变式5-4．已知函数在上有两个不同的零点，则 . 类型六、三角函数图像与性质的综合应用 研究函数性质的基本策略: （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域． 【技巧方法】 1、熟悉三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等基本性质，这是解题的基础． 2、通过绘制或分析三角函数的图象，直观理解函数的性质和变化规律，帮助快速定位问题的关键点． 3、利用三角恒等变换（如诱导公式、和差公式、倍角公式等）将复杂函数化简为基本形式，便于分析性质． 4、对于含参数的三角函数问题，通过讨论参数的取值范围，结合图象或性质，确定函数的特征． 例6．已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 变式6-1．（多选）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，且函数过点，则（  ） A． B． C．在区间上单调递增 D．为奇函数 变式6-2．（多选）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．则下列说法正确的是（  ） A.的图象关于点对称；  B.在内恰有5个最值点； C.在内单调递减；          D的取值范围是． 变式6-3．（多选）已知函数，则（  ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有2个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 变式6-4．已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 变式6-5．已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，求的值. 1.要得到函数的图象，可以将函数的图象（  ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 2.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 3.已知，则是（  ） A． 奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 B． C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 4.已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 5.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（  ） A． B． C．1 D．3 6.（多选）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（  ） A．函数为偶函数 B． C． D．函数的图象的对称轴方程为 7.（多选）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（  ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 8.（多选） 已知函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 9.已知函数，则当时的最大值为 ． 10.已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是___________ 11.将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 12.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则__________ 13.已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值. 14.已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $