包装中的数学问题（知识清单）五年级数学下册北京版

该小学数学知识清单聚焦“包装中的数学问题”，涵盖包装核心原理、两个相同长方体包装方案、多个相同长方体包装优化三大知识范畴，搭建从原理理解到方案分析再到优化应用的递进式学习支架。 清单通过“核心原理-方案分类-优化推理”三级体系呈现知识，如将两个长方体包装按重叠面类型分为最大面、中等面、最小面三类，培养学生的空间观念和推理意识。特别设计“题型分类示例”，结合具体长方体尺寸计算表面积，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师可精准设计教学，学生自主学习时能通过步骤化解析快速掌握要点。

包装中的数学问题 知识清单 知识一、包装中的数学核心原理 1. 包装问题的核心目标与本质 （1） 节省包装材料的核心本质：包装问题的核心诉求是在保护商品的前提下，尽可能节约包装材料，其数学本质是通过改变物体的组合方式，减少包装后整体的表面积，因为包装材料的使用量与包装体的表面积正相关。 （2） 包装与长方体表面积的关联 ① 包装问题主要围绕长方体（或正方体）的表面积展开，单个长方体的表面积公式为：表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)，当多个长方体组合包装时，总表面积等于所有长方体表面积之和减去所有重叠面面积的2倍（每两个面重叠，会减少2个该面的面积）。 ② 重叠面是指两个长方体相互贴合的面，重叠面的面积越大，被抵消的表面积就越多，包装后的总表面积就越小，使用的包装材料也就越少。 知识二、两个相同长方体的包装方案分析 1. 常见包装方案的分类 （1） 按重叠面的类型划分 ① 重叠最大面：将两个长方体的最大面（通常为长×宽的面）相互贴合，此时重叠面的面积最大，是优先考虑的节省材料方案。 ② 重叠中等面：将两个长方体的中等面（通常为长×高的面）相互贴合，重叠面面积次之，总表面积大于重叠最大面的方案。 ③ 重叠最小面：将两个长方体的最小面（通常为宽×高的面）相互贴合，重叠面面积最小，总表面积最大，是最费材料的方案。 （2） 不同方案的总表面积计算逻辑：两个相同长方体包装后的总表面积=2×单个长方体表面积 - 2×重叠面面积，通过该公式可以直接对比不同方案的总表面积大小。 2. 最优包装方案的判断标准 （1） 数学判断依据：对比三种重叠面的面积大小，重叠面面积越大，包装后的总表面积越小，该方案即为最优的节省材料方案。 （2） 直观判断方法：观察包装后的整体形状，越接近正方体的包装方案，其表面积相对越小，因为正方体是相同体积下表面积最小的长方体。 知识三、多个相同长方体的包装方案优化 1. 多个长方体的排列组合方式 （1） 按三维方向的排列分类 ① 一维排列：将所有长方体沿同一方向依次排列，形成一个细长的长方体，此方案重叠面数量最少，总表面积最大。 ② 二维排列：将长方体分成多行多列排列（如2×2、2×3等），重叠面数量增多，总表面积减小。 ③ 三维排列：将长方体分成多层、多行、多列排列（如2×2×2、2×3×2等），重叠面数量最多，总表面积通常最小。 （2） 排列组合的关键原则：优先让最大面尽可能多的重叠，即尽量使长×宽的面相互贴合，其次考虑长×高的面，最后是宽×高的面。 2. 最优方案的推理与选择方法 （1） 列举法：列出所有可能的包装排列方式，计算每种方式下的重叠面总面积，进而得出总表面积，对比后选择总表面积最小的方案。 （2） 核心优化逻辑：当长方体的长、宽、高差距较大时，优先组合差距较大的维度，使包装后的长、宽、高尽可能接近，从而减小总表面积。 题型一、包装中的数学问题 【例1】（24-25五年级下·广东清远·期末）将4个长12厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体盒子包装在一起，以下四种不同的包装方式，图（    ）最节省包装纸。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项减少4个长8厘米、宽5厘米和4个长12厘米、宽5厘米的长方形面积； B选项减少6个长12厘米、宽8厘米的长方形的面积； C选项减少4个长12厘米、宽8厘米和4个长8厘米、宽5厘米的长方形面积； D选项减少4个长12厘米、宽8厘米和4个长12厘米、宽5厘米的长方形面积； 分别计算出各选项减少的表面积，减少的最多的就是最节省包装纸的；据此解答。 【详解】A．8×5×4＋12×5×4 ＝160＋240 ＝400（平方厘米） B．12×8×6＝576（平方厘米） C．12×8×4＋8×5×4 ＝384＋160 ＝544（平方厘米） D．12×8×4＋12×5×4 ＝384＋240 ＝624（平方厘米） 624＞576＞544＞400 D选项组合体的表面积减少的最多，最节省包装纸。 故答案为：D 【练1】（24-25五年级下·河南信阳·期末）一种盒子，长5厘米、宽4厘米、高3厘米，把两个这样相同的盒子包装在一起，你打算怎么包装？写出你的包装方案，并计算需要多少平方厘米的包装纸？（粘接处忽略不计。） 【答案】将上下两个面拼起来进行包装；148平方厘米（答案不唯一） 【分析】 ①将上下两个面拼起来进行包装，如图，长和宽不变，高＝一个盒子的高×2；②将前后两个面拼起来进行包装，如图，长和高不变，宽＝一个盒子的宽×2；③将左右两个面拼起来进行包装，如图，宽和高不变，长＝一个盒子的长×2。选择一种包装方式，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出拼起来的大长方体表面积即可。 【详解】①3×2＝6（厘米） （5×4＋5×6＋4×6）×2 ＝（20＋30＋24）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：将上下两个面拼起来进行包装，需要148平方厘米的包装纸。 ②4×2＝8（厘米） （5×8＋5×3＋8×3）×2 ＝（40＋15＋24）×2 ＝79×2 ＝158（平方厘米） 答：将前后两个面拼起来进行包装，需要158平方厘米的包装纸。 ③5×2＝10（厘米） （10×4＋10×3＋4×3）×2 ＝（40＋30＋12）×2 ＝82×2 ＝164（平方厘米） 答：将左右两个面拼起来进行包装，需要164平方厘米的包装纸。 1．（24-25五年级下·河南信阳·期末）把3个同样的长为，宽为，高为的小长方体盒子包装成一包，下面（    ）最省包装纸。 A．① B．② C．③ D．无法确定 【答案】B 【分析】要判断哪种包装方式最省包装纸，需根据“把小长方体拼在一起，重合的面的面积越大表面积减少得越多，就越省包装纸”这一思路，分别计算三种包装方式下减少的面积，再进行比较即可。 ① 重合的面是宽×高的面，即2×1的面。 ② 重合的面是长×宽的面，即3×2的面。 ③ 重合的面是长×高的面，即3×1的面。 【详解】①减少的面积为2×1×4＝8（）； ②减少的面积为3×2×4＝6×4＝24（）； ③减少的面积为：3×1×4＝12（）。 因为24＞12＞8 所以②减少的面积最多，最省包装纸。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·江西宜春·期中）大寒节气这天吃年糕，有“年高”之意，带着吉祥如意、年年平安的好彩头。年糕师傅将两盒年糕用油纸包起来，年糕的尺寸如图。下面三种包装方式，第（    ）种包装方式最省油纸。（单位：厘米） A．① B．② C．③ D．无法确定 【答案】B 【分析】要想包装用的油纸最省，则两盒拼在一起后减少的面积尽可能大，已知两个长方体拼在一起后减少2个长方形面，据此分别求出每种包装方式减少的面积，再比较即可。 【详解】①6×4×2＝48（平方厘米） ②6×8×2＝96（平方厘米） ③8×4×2＝64（平方厘米） 96＞64＞48 第②种减少的面积最多，所以第②种包装方式最省油纸。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·河北邯郸·期末）现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】包装物体时，重叠的面越大，表面积减少得越多，就越省包装纸。 已知礼盒长8cm、宽7cm、高2cm，8×7＞8×2＞7×2，所以最大的面的面积是8×7＝56cm2。分别分析每个选项中重叠面的大小，进而确定符合题意答案。 【详解】A．将礼盒沿高堆叠，减少了6个长8cm、宽7cm的面，即减少的面积为8×7×6＝336（cm2）。 B．重叠的面是4个长8cm、宽7cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×7×4＋8×2×4＝224＋64＝288（cm2）。 C．重叠的面是4个宽7cm、高2cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为7×2×4＋8×2×4＝56＋64＝120（cm2）。 D．重叠的面是6个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×2×6＝96（cm2）。 336＞288＞120＞96 所以选项A中的最省包装纸。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·广东深圳·期末）在阅读节颁奖典礼上，学校为获奖同学准备了奖品（如图），每盒奖品长8cm、宽7cm、高2cm。要将4盒包装在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A．包装起来的长（8×2）cm，宽7cm，高（2×2）cm； B．包装起来的长（8×4）cm，宽7cm，高2cm； C．包装起来的长（8×2）cm，宽（7×2）cm，高2cm； D．包装起来的长8cm，宽7cm，高（2×4）cm。 据此分别确定包装起来的长宽高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算并比较即可。 【详解】A．8×2＝16（cm）、2×2＝4（cm） （16×7＋16×4＋7×4）×2 ＝（112＋64＋28）×2 ＝204×2 ＝408（cm2） B．8×4＝32（cm） （32×7＋32×2＋7×2）×2 ＝（224＋64＋14）×2 ＝302×2 ＝604（cm2） C．8×2＝16（cm）、7×2＝14（cm） （16×14＋16×2＋14×2）×2 ＝（224＋32＋28）×2 ＝284×2 ＝568（cm2） D．2×4＝8（cm） （8×7＋8×8＋7×8）×2 ＝（56＋64＋56）×2 ＝176×2 ＝352（cm2） 352＜408＜568＜604 最省包装纸的方法是。 故答案为：D 5．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）上杭萝卜干是福建上杭县的传统名菜，属于闽菜系，是闽西八大干之一。上杭某萝卜干厂为了满足顾客的需求，将四个长方体盒装的萝卜干礼品盒（每个长10厘米，宽5厘米，高3厘米）用彩纸全部装成随手礼，下列包装方式最省彩纸的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】礼盒为长方体，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，四个选项中叠加方式不同，可看重合的面大小，重合的面面积越大则越省彩纸。据此可得出答案。 【详解】A．四个长方体礼盒叠加的面是长和高组成的4个面和宽、高组成的4个面，面积为10×3×4＋5×3×4＝180（平方厘米）； B．四个长方体礼盒叠加的面是长和高组成的4个面和长、宽组成的4个面，面积为10×3×4＋10×5×4＝320（平方厘米）； C．四个长方体礼盒叠加的面是长和宽组成的6个面，面积为10×5×6＝300（平方厘米）； D．四个长方体礼盒叠加的面是长和宽组成的4个面和宽、高组成的4个面，面积为10×5×4＋5×3×4＝260（平方厘米）。 四个选项中重叠面积最大的是320平方厘米，即第二个选项的包装方式最省彩纸。 故答案为：B 6．（24-25五年级下·云南曲靖·期末）红红要包装4盒英语磁带送给梅梅，下面最节省包装纸的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，要求最节省包装纸，就把最大的面重合，这样包装纸的表面积最小。重叠一次减少2个重叠面的面积，长和宽所在的面面积最大，长和高所在的面面积最小，据此解答。 【详解】A．减少了4个长和高所在的面和4个长和宽所在的面； B．减少了4个长和高所在的面； C．减少了6个长和宽所在的面； D．减少了4个长和高所在的面和4个宽和高所在的面； 综上所述，选项C减少的面积最多，最节省包装纸。 故答案为：C 7．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）把下图3盒完全相同的礼品包装在一起，要知道哪种包装方法最省包装纸，下面思路最快捷的是（    ）。 A．分析重叠面的情况，不计算也可推出结论 B．分别计算三种方式的重叠面面积总和，再比较 C．分别计算三种方式的包装纸面积，再比较 D．实际动手包装一下，看看哪种用的最少 【答案】A 【分析】A分析重叠面的情况，重叠的面积越多，说明表面积减少的越多。 B找出重叠的面求出其面积，重叠的面积越多，说明表面积减少的越多 C分别计算三种方式的包装纸面积，再比较，分三种情况。 第1种：三个长方体竖直叠放在一起，形成一个长为3厘米、宽为2厘米、高为3厘米的长方体。 第2种：三个长方体平放在一起，形成一个长为9厘米、宽为2厘米、高为1厘米的长方体。 第3种：三个长方体侧放在一起，形成一个长为6厘米、宽为3厘米、高为1厘米的长方体。 D实际动手操作时间较长，不考虑这一情况。 【详解】A．方法1中重叠的面是4个长为3厘米宽、为2厘米的长方形；方法2中重叠的面是4个长为2厘米宽、为1厘米的长方形；方法3中重叠的面是4个长为3厘米宽、为1厘米的长方形。重叠个数相同，3厘米宽、为2厘米的长方形面积最大，方法1最省包装纸。此选项不用计算，最快捷。 B．方法1中重叠的面是4个长为3厘米宽、为2厘米的长方形，减少的面积为：3×2×4＝24（平方厘米）；方法2中重叠的面是4个长为2厘米宽、为1厘米的长方形，减少的面积为：2×1×4＝8（平方厘米）；方法3中重叠的面是4个长为3厘米宽、为1厘米的长方形，减少的面积为：3×1×4＝12（平方厘米）。24＞12＞8，方法1减少的面积最多，最省包装纸，需要计算，没有A快捷，不符合题意。 C．第1种方法：（3×2＋3×3＋2×3）×2 ＝（6＋9＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 第2种方法：（9×2＋9×1＋2×1）×2 ＝（18＋9＋2）×2 ＝29×2 ＝58（平方厘米） 第3种方法：（6×3＋6×1＋3×1）×2 ＝（18＋6＋3）×2 ＝27×2 ＝54（平方厘米） 42＜54＜58，方法1最省包装纸，计算繁琐，不快捷，不符合题意。 D．实际动手包装一下，用时较长，不快捷，不符合题意。 故答案为：A 8．（24-25五年级下·山东滨州·期末）明明用三块同样大的积木拼成了几种不同的长方体（如下图），拼成的长方体表面最小的是( )，表面积最大的是( )。（填序号） 【答案】 ① ③ 【分析】把几个相同的长方体拼接成一个大长方体时，重叠的面的面积越大，拼接后大长方体的表面积就越小；重叠的面的面积越小，拼接后大长方体的表面积就越大。 【详解】①：是把三个积木上下拼接，重叠的面是积木较大的面。 ②：是把三个积木前后拼接，重叠的面是积木中等大小的面。 ③：是把三个积木左右拼接，重叠的面是积木较小的面。 因为图①重叠的面最大，所以拼成的长方体表面积最小；图③重叠的面最小，所以拼成的长方体表面积最大。 拼成的长方体表面最小的是①，表面积最大的是③。 9．（24-25五年级下·四川成都·期末）如图，将4个长是10cm，宽是6cm，高是1cm的长方体盒子包成一包。包装后的表面积是( )cm2，比分别包装节约( )cm2的包装纸。（接口处不计） 【答案】 248 360 【分析】已知4个完全一样的长方体盒子的长、宽、高，先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出包装一个这样的长方体盒子所需包装纸的面积，再乘4，即是分别包装4个这样的长方体所需包装纸的总面积； 把这4个长方体盒子如图中包成一包，则组成新长方体的长是10cm、宽是6cm、高是（1×4）cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出包装后的表面积； 再用分别包装所需包装纸的总面积减去包在一起所需包装纸的面积，即是包在一起比分别包装节约包装纸的面积。 【详解】分别包装的表面积之和： （10×6＋10×1＋6×1）×2×4 ＝（60＋10＋6）×2×4 ＝76×2×4 ＝152×4 ＝608（cm2） 包在一起的高：1×4＝4（cm） 包装后的表面积： （10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 节约：608－248＝360（cm2） 包装后的表面积是（248）cm2，比分别包装节约（360）cm2的包装纸。 10．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）“冬不凝固，夏不走油；水浸不烂，火烧留痕”的龙泉印泥在网上爆火，倾一生心血，凝千年国色，让人再度领略到了国潮顶流的魅力。将4个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体龙泉印泥盒子按下图的方式用彩纸包在一起，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】1024平方厘米 【分析】根据题意，这4个长方体龙泉印泥盒子按图中方式用彩纸包在一起，则组合成一个长（12×2）厘米、宽8厘米、高（5×2）厘米的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出至少需要彩纸的面积。 【详解】长：12×2＝24（厘米） 高：5×2＝10（厘米） （24×8＋24×10＋8×10）×2 ＝（192＋240＋80）×2 ＝512×2 ＝1024（平方厘米） 答：至少需要1024平方厘米的彩纸。 11．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】2000平方厘米 【分析】要想使用的包装纸最少，那么就需要把最大的面拼在一起，这样拼成后的大长方体表面积就最小。长×宽的面的面积：20×15＝300（平方厘米），长×高的面的面积：20×5＝100（平方厘米），宽×高的面的面积：15×5＝75（平方厘米），因为75＜100＜300，所以长×宽的面面积最大，将长×宽的面拼在一起。此时拼成后的大长方体的长为20厘米，宽为15厘米，高为（5×4）厘米。然后根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行计算，即可求出最少需要多少平方厘米的包装纸。 【详解】5×4＝20（厘米） （20×15＋20×20＋15×20）×2 ＝（300＋400＋300）×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 答：最少需要2000平方厘米的包装纸。 12．（24-25五年级下·广东珠海·期中）（1）一个礼盒长10分米，宽7分米，高2分米。它的体积有多大？ （2）小方要包装两个礼盒，如图，有以下三种包装方法，请问哪一种方法最节约包装纸？至少要用多少包装纸？（接口处不计） 【答案】（1）140立方分米 （2）第一种；276平方分米 【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高，求出它的体积； （2）第一种：拼起来的大长方体，长和宽等于原来礼盒的长和宽，高＝原来的高×2；第二种：拼起来的大长方体，长＝原来的长×2，宽和高等于原来礼盒的宽和高；第三种：拼起来的大长方体，长和高等于原来礼盒的长和高，宽＝原来的宽×2。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出三种包装方法的表面积，比较即可。 【详解】（1）10×7×2＝140（立方分米）                 答：它的体积是140立方分米。 （2）第一种：2×2＝4（分米） （10×7＋10×4＋7×4）×2 ＝（70＋40＋28）×2 ＝138×2 ＝276（平方分米）                 第二种：10×2＝20（分米） （20×7＋20×2＋7×2）×2 ＝（140＋40＋14）×2 ＝194×2 ＝388（平方分米） 第三种：7×2＝14（分米） （10×14＋10×2＋14×2）×2 ＝（140＋20＋28）×2 ＝188×2 ＝376（平方分米） 276＜376＜388 答：第一种方法最节约包装纸，至少要用276平方分米包装纸。 13．（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）中国文化中的“节俭哲学” “方匣累叠藏规矩，前后左右露真容，重叠之处需相减，表面积中算分明。”体现了中国文化中的“节俭哲学——物尽其用”的思想。长城城砖、传统木箱制作都是将多余材料的表面积降至最低，减少材料浪费，做到了实用与环保的统一。数学中的图形拼接问题也蕴含了这样的思想。例如：用3个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体进行拼组。 【答案】上下拼更减少材料浪费 【分析】根据立方体的拼接，由图可知上下拼，左右拼，前后拼都减少4个面，分别计算出减少的面积，再比较大小，据此解答即可。 【详解】上下拼表面积减小4个面，减少5×4×4＝80（平方厘米）， 前后拼表面积减小4个面，减少5×3×4＝60（平方厘米） 左右拼表面积减小4个面，减少4×3×4＝48（平方厘米） 80＜60＜48 答：上下拼将表面积降至最低，减少材料浪费。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包装中的数学问题 知识清单 知识一、包装中的数学核心原理 1. 包装问题的核心目标与本质 （1） 节省包装材料的核心本质：包装问题的核心诉求是在保护商品的前提下，尽可能节约包装材料，其数学本质是通过改变物体的组合方式，减少包装后整体的表面积，因为包装材料的使用量与包装体的表面积正相关。 （2） 包装与长方体表面积的关联 ① 包装问题主要围绕长方体（或正方体）的表面积展开，单个长方体的表面积公式为：表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)，当多个长方体组合包装时，总表面积等于所有长方体表面积之和减去所有重叠面面积的2倍（每两个面重叠，会减少2个该面的面积）。 ② 重叠面是指两个长方体相互贴合的面，重叠面的面积越大，被抵消的表面积就越多，包装后的总表面积就越小，使用的包装材料也就越少。 知识二、两个相同长方体的包装方案分析 1. 常见包装方案的分类 （1） 按重叠面的类型划分 ① 重叠最大面：将两个长方体的最大面（通常为长×宽的面）相互贴合，此时重叠面的面积最大，是优先考虑的节省材料方案。 ② 重叠中等面：将两个长方体的中等面（通常为长×高的面）相互贴合，重叠面面积次之，总表面积大于重叠最大面的方案。 ③ 重叠最小面：将两个长方体的最小面（通常为宽×高的面）相互贴合，重叠面面积最小，总表面积最大，是最费材料的方案。 （2） 不同方案的总表面积计算逻辑：两个相同长方体包装后的总表面积=2×单个长方体表面积 - 2×重叠面面积，通过该公式可以直接对比不同方案的总表面积大小。 2. 最优包装方案的判断标准 （1） 数学判断依据：对比三种重叠面的面积大小，重叠面面积越大，包装后的总表面积越小，该方案即为最优的节省材料方案。 （2） 直观判断方法：观察包装后的整体形状，越接近正方体的包装方案，其表面积相对越小，因为正方体是相同体积下表面积最小的长方体。 知识三、多个相同长方体的包装方案优化 1. 多个长方体的排列组合方式 （1） 按三维方向的排列分类 ① 一维排列：将所有长方体沿同一方向依次排列，形成一个细长的长方体，此方案重叠面数量最少，总表面积最大。 ② 二维排列：将长方体分成多行多列排列（如2×2、2×3等），重叠面数量增多，总表面积减小。 ③ 三维排列：将长方体分成多层、多行、多列排列（如2×2×2、2×3×2等），重叠面数量最多，总表面积通常最小。 （2） 排列组合的关键原则：优先让最大面尽可能多的重叠，即尽量使长×宽的面相互贴合，其次考虑长×高的面，最后是宽×高的面。 2. 最优方案的推理与选择方法 （1） 列举法：列出所有可能的包装排列方式，计算每种方式下的重叠面总面积，进而得出总表面积，对比后选择总表面积最小的方案。 （2） 核心优化逻辑：当长方体的长、宽、高差距较大时，优先组合差距较大的维度，使包装后的长、宽、高尽可能接近，从而减小总表面积。 题型一、包装中的数学问题 【例1】（24-25五年级下·广东清远·期末）将4个长12厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体盒子包装在一起，以下四种不同的包装方式，图（    ）最节省包装纸。 A． B． C． D． 【练1】（24-25五年级下·河南信阳·期末）一种盒子，长5厘米、宽4厘米、高3厘米，把两个这样相同的盒子包装在一起，你打算怎么包装？写出你的包装方案，并计算需要多少平方厘米的包装纸？（粘接处忽略不计。） 1．（24-25五年级下·河南信阳·期末）把3个同样的长为，宽为，高为的小长方体盒子包装成一包，下面（    ）最省包装纸。 A．① B．② C．③ D．无法确定 2．（24-25五年级下·江西宜春·期中）大寒节气这天吃年糕，有“年高”之意，带着吉祥如意、年年平安的好彩头。年糕师傅将两盒年糕用油纸包起来，年糕的尺寸如图。下面三种包装方式，第（    ）种包装方式最省油纸。（单位：厘米） A．① B．② C．③ D．无法确定 3．（24-25五年级下·河北邯郸·期末）现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25五年级下·广东深圳·期末）在阅读节颁奖典礼上，学校为获奖同学准备了奖品（如图），每盒奖品长8cm、宽7cm、高2cm。要将4盒包装在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 5．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）上杭萝卜干是福建上杭县的传统名菜，属于闽菜系，是闽西八大干之一。上杭某萝卜干厂为了满足顾客的需求，将四个长方体盒装的萝卜干礼品盒（每个长10厘米，宽5厘米，高3厘米）用彩纸全部装成随手礼，下列包装方式最省彩纸的是（    ）。 A． B． C． D． 6．（24-25五年级下·云南曲靖·期末）红红要包装4盒英语磁带送给梅梅，下面最节省包装纸的是（    ）。 A． B． C． D． 7．（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）把下图3盒完全相同的礼品包装在一起，要知道哪种包装方法最省包装纸，下面思路最快捷的是（    ）。 A．分析重叠面的情况，不计算也可推出结论 B．分别计算三种方式的重叠面面积总和，再比较 C．分别计算三种方式的包装纸面积，再比较 D．实际动手包装一下，看看哪种用的最少 8．（24-25五年级下·山东滨州·期末）明明用三块同样大的积木拼成了几种不同的长方体（如下图），拼成的长方体表面最小的是( )，表面积最大的是( )。（填序号） 9．（24-25五年级下·四川成都·期末）如图，将4个长是10cm，宽是6cm，高是1cm的长方体盒子包成一包。包装后的表面积是( )cm2，比分别包装节约( )cm2的包装纸。（接口处不计） 10．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）“冬不凝固，夏不走油；水浸不烂，火烧留痕”的龙泉印泥在网上爆火，倾一生心血，凝千年国色，让人再度领略到了国潮顶流的魅力。将4个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体龙泉印泥盒子按下图的方式用彩纸包在一起，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 11．（24-25五年级下·陕西渭南·期末）在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 12．（24-25五年级下·广东珠海·期中）（1）一个礼盒长10分米，宽7分米，高2分米。它的体积有多大？ （2）小方要包装两个礼盒，如图，有以下三种包装方法，请问哪一种方法最节约包装纸？至少要用多少包装纸？（接口处不计） 13．（24-25五年级下·贵州六盘水·期末）中国文化中的“节俭哲学” “方匣累叠藏规矩，前后左右露真容，重叠之处需相减，表面积中算分明。”体现了中国文化中的“节俭哲学——物尽其用”的思想。长城城砖、传统木箱制作都是将多余材料的表面积降至最低，减少材料浪费，做到了实用与环保的统一。数学中的图形拼接问题也蕴含了这样的思想。例如：用3个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体进行拼组。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $