【新课衔接】专题08 数学广角——找次品（思维导图+知识精讲+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级数学寒假学习精讲练人教版

【新课衔接】2025-2026学年五年级数学寒假学习精讲练人教版 专题08 数学广角——找次品 （思维导图+知识精讲+例题讲解+考点练习） 思维导图 知识精讲 知识点一、找次品的基本认识 1.找次品的定义与核心问题 （1）定义：在若干个外观完全相同的物品中，存在一个质量异常的次品（通常为较轻或较重），借助天平等工具，通过称量操作精准找出该次品的过程。 （2）核心目标：以最少的称量次数完成次品定位，部分题目需同时明确次品是较轻还是较重。 2.找次品的核心工具——天平的平衡原理 （1）天平的三种称量结果：①天平两端平衡；②左侧物品轻、右侧重；③左侧物品重、右侧轻。 （2）次品判断逻辑：①若平衡，次品未在称量的两组物品中；②若不平衡，若已知次品轻重属性，可直接锁定次品在较轻或较重的一组中；若未知次品轻重，需通过后续称量进一步判断次品所在组及轻重。 知识点二、找次品的最优策略 1.核心方法：三分法 （1）策略原理：将待检测物品尽可能平均分成3份，若无法完全平均分，使每份数量的差异不超过1（即最多与最少的份数相差1）。 （2）优势分析：每次称量可将次品的可能范围缩小至原来的，有效减少后续称量次数，是效率最高的分组方式。 2.标准化操作步骤 （1）分组规则： ①若物品总数n能被3整除，分为数量相等的3组，即n=3a时，每组a个； ②若n除以3余1，分为（a,a,a+1）三组（a=）； ③若n除以3余2，分为（a,a+1,a+1）三组（a=）。 （2）称量与推导： ①第一次称量：取数量相同的两组放在天平两端。 ②结果判断与后续操作： 若平衡：次品在未称量的第三组中，对第三组重复分组、称量步骤； 若不平衡：已知次品轻重时，锁定次品在较轻/较重的一组，对该组重复操作；未知次品轻重时，需通过补充称量确定次品所在组及轻重属性，再继续推导。 3.特殊场景：未知次品轻重的处理 （1）与已知次品轻重的区别：需额外增加一次称量判断次品是轻还是重，因此相同数量的物品，未知次品轻重时所需的称量次数通常比已知情况多1次。 知识点三、找次品的次数与物品数量的规律总结 1.已知次品轻重时的数量范围 （1）称量1次：可检测物品数量为2~3个（对应3¹=3，最小2个，最大3个）； （2）称量2次：可检测物品数量为4~9个（对应3²=9，最小3¹+1=4，最大9个）； （3）称量3次：可检测物品数量为10~27个（对应3³=27，最小3²+1=10，最大27个）； （4）通用规律：称量n次时，可检测的物品最大数量为3ⁿ，数量范围是3ⁿ⁻¹+1 ~ 3ⁿ个。 2.未知次品轻重时的数量范围 （1）称量1次：仅可检测2个物品（通过比较直接判断次品及轻重）； （2）称量2次：可检测物品数量为3~4个； （3）称量3次：可检测物品数量为5~13个； （4）通用规律：称量n次时，可检测的物品最大数量为(3ⁿ - 1)/2，数量范围是[(3ⁿ⁻¹ - 1)/2]+1 ~ (3ⁿ - 1)/2个。 知识点四、找次品问题的思想方法与实际应用 1.核心思想方法 （1）优化思想：通过合理分组，每次称量排除最多的正品，最小化次品的可能范围，实现称量次数的最优解； （2）逻辑推理：依据天平称量的平衡结果，进行严谨的推导分析，逐步缩小次品的定位范围； （3）归纳建模：通过对不同数量物品的称量分析，归纳出次数与数量的对应规律，建立解决同类问题的模型。 2.实际生活中的拓展应用 （1）工业质检：在流水线生产中，快速检测出重量异常的零件、包装食品等次品； （2）日常场景：识别重量不足的包装商品、配件中的次品； （3）物流仓储：排查重量不符的包裹，避免运输差错。 例题讲解 题型一、找次品 【例题1】（24-25五年级下·江西南昌·期末）有32瓶口香糖，其中31瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称（    ）次一定能找出这瓶少的口香糖。 A．2 B．3 C．4 D．5 【例题2】（24-25五年级下·广西百色·期末）有5个外观相同的球，其中有一个是次品，比其他球要轻些，从下图中可以推断出( )号球是次品球。 【例题3】（24-25五年级下·陕西西安·期末）学校运动会前，体育老师采购了16个实心球，其中有一个质量不达标，比合格的实心球轻。如果用天平称，至少要称( )次才能保证找出这个不达标实心球。 【例题4】（23-24五年级下·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 考点练习 练习一、找次品 1．（24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末）有7个形状、大小完全相同的零件，其中有一个是次品（次品轻一些）。用天平称，至少称（    ）次能保证找到次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25五年级下·河南信阳·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。小明想用天平把次品找出来，他把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，那么下面判断正确的是（    ）。 A．①是次品 B．②是次品 C．③是次品 D．无法判断 3．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）9瓶外观同样的口香糖，其中一瓶被丹丹偷吃了一些，用天平至少称（    ）次能找到被偷吃的那瓶口香糖。 A．1 B．2 C．4 D．3 4．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）王奶奶家的母鸡这个月生了25个鸡蛋，其中24个同样重，另有一个比其他的略轻一些。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找到这个鸡蛋。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25五年级下·云南玉溪·期末）学校食堂买来20袋冰糖，每袋1千克，其中有一袋不足1千克。假如用天平称，至少称( )次能保证把这袋冰糖找出来。 6．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）一批零件有14个，其中有一个是次品（次品轻一些），现在想用天平找到这个次品，保证找出次品的称重次数最少时，最合理的分组是( )，至少称( )次保证能找出次品。 7．（24-25五年级下·内蒙古乌海·期末）端午节姥姥包了10个蜜枣粽子，其中一个忘了放蜜枣，质量轻一些，假如用天平称，至少称( )次能保证把它找出来。 8．（24-25五年级下·甘肃庆阳·期末）镇原县某工艺品厂制作了7个铜制香包摆件，其中有1个是次品（质量较重）。用天平称，至少称( )次就能保证找到次品。 9．（24-25五年级下·甘肃天水·期末）有5瓶钙片，其中一瓶少了4片。如果用天平称，每次称1瓶，至少称( )次才能保证找到少钙片的那瓶。 10．（24-25五年级下·吉林四平·期末）有28瓶外观完全相同的口香糖，其中一瓶少了3粒，属于次品。用没有砝码的天平至少称( )次，就一定能找出这瓶次品。 11．（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有8袋积木，其中有一袋少装了一块，是次品。假如用天平称（不用砝码），下面是第一次称的情况，请分析并填空。 (1)如果不平衡，次品在( )中；如果平衡，次品在( )中。 (2)要找到次品，最少要称( )次。 12．（24-25五年级下·山西晋中·期末）“粽叶飘香五月五，浓情端午共安康”。端午前夕，笑笑一家一共包了16个豆沙粽和24个蜜枣粽。把它们分口味放在包装盒里，要使每盒数量相等并且没有剩余，每盒最多放( )个。在24个蜜枣粽中，其中一个少放了一颗蜜枣，质量稍轻一些。如果用天平称，至少要称( )次才能保证把它找出来。 13．（23-24五年级下·浙江台州·期末）有8枚外观一样的金币，其中1枚是假币，比真币轻一些。假如用天平称，下面的两种方案中，能找到假币且称的次数最少的是方案( )，至少要称( )次。 方案①：      方案②： 14．（23-24五年级下·四川南充·期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 15．（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 16．（23-24五年级下·江西吉安·期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【新课衔接】2025-2026学年五年级数学寒假学习精讲练人教版 专题08 数学广角——找次品 （思维导图+知识精讲+例题讲解+考点练习） 思维导图 知识精讲 知识点一、找次品的基本认识 1.找次品的定义与核心问题 （1）定义：在若干个外观完全相同的物品中，存在一个质量异常的次品（通常为较轻或较重），借助天平等工具，通过称量操作精准找出该次品的过程。 （2）核心目标：以最少的称量次数完成次品定位，部分题目需同时明确次品是较轻还是较重。 2.找次品的核心工具——天平的平衡原理 （1）天平的三种称量结果：①天平两端平衡；②左侧物品轻、右侧重；③左侧物品重、右侧轻。 （2）次品判断逻辑：①若平衡，次品未在称量的两组物品中；②若不平衡，若已知次品轻重属性，可直接锁定次品在较轻或较重的一组中；若未知次品轻重，需通过后续称量进一步判断次品所在组及轻重。 知识点二、找次品的最优策略 1.核心方法：三分法 （1）策略原理：将待检测物品尽可能平均分成3份，若无法完全平均分，使每份数量的差异不超过1（即最多与最少的份数相差1）。 （2）优势分析：每次称量可将次品的可能范围缩小至原来的，有效减少后续称量次数，是效率最高的分组方式。 2.标准化操作步骤 （1）分组规则： ①若物品总数n能被3整除，分为数量相等的3组，即n=3a时，每组a个； ②若n除以3余1，分为（a,a,a+1）三组（a=）； ③若n除以3余2，分为（a,a+1,a+1）三组（a=）。 （2）称量与推导： ①第一次称量：取数量相同的两组放在天平两端。 ②结果判断与后续操作： 若平衡：次品在未称量的第三组中，对第三组重复分组、称量步骤； 若不平衡：已知次品轻重时，锁定次品在较轻/较重的一组，对该组重复操作；未知次品轻重时，需通过补充称量确定次品所在组及轻重属性，再继续推导。 3.特殊场景：未知次品轻重的处理 （1）与已知次品轻重的区别：需额外增加一次称量判断次品是轻还是重，因此相同数量的物品，未知次品轻重时所需的称量次数通常比已知情况多1次。 知识点三、找次品的次数与物品数量的规律总结 1.已知次品轻重时的数量范围 （1）称量1次：可检测物品数量为2~3个（对应3¹=3，最小2个，最大3个）； （2）称量2次：可检测物品数量为4~9个（对应3²=9，最小3¹+1=4，最大9个）； （3）称量3次：可检测物品数量为10~27个（对应3³=27，最小3²+1=10，最大27个）； （4）通用规律：称量n次时，可检测的物品最大数量为3ⁿ，数量范围是3ⁿ⁻¹+1 ~ 3ⁿ个。 2.未知次品轻重时的数量范围 （1）称量1次：仅可检测2个物品（通过比较直接判断次品及轻重）； （2）称量2次：可检测物品数量为3~4个； （3）称量3次：可检测物品数量为5~13个； （4）通用规律：称量n次时，可检测的物品最大数量为(3ⁿ - 1)/2，数量范围是[(3ⁿ⁻¹ - 1)/2]+1 ~ (3ⁿ - 1)/2个。 知识点四、找次品问题的思想方法与实际应用 1.核心思想方法 （1）优化思想：通过合理分组，每次称量排除最多的正品，最小化次品的可能范围，实现称量次数的最优解； （2）逻辑推理：依据天平称量的平衡结果，进行严谨的推导分析，逐步缩小次品的定位范围； （3）归纳建模：通过对不同数量物品的称量分析，归纳出次数与数量的对应规律，建立解决同类问题的模型。 2.实际生活中的拓展应用 （1）工业质检：在流水线生产中，快速检测出重量异常的零件、包装食品等次品； （2）日常场景：识别重量不足的包装商品、配件中的次品； （3）物流仓储：排查重量不符的包裹，避免运输差错。 例题讲解 题型一、找次品 【例题1】（24-25五年级下·江西南昌·期末）有32瓶口香糖，其中31瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称（    ）次一定能找出这瓶少的口香糖。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】把32瓶口香糖分成3份，即（11，11，10），第一次称，天平两边各放11瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的11瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的10瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，然后把有次品的11瓶口香糖分成3份，即（4，4，3），第二次称，天平两边各放4瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的4瓶中，再把有次品的4瓶口香糖分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那个；如果天平平衡，次品就在剩下的2瓶中。最后把有次品的2瓶口香糖分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那个。所以用天平至少称4次一定能找出这瓶少的口香糖。 【详解】 所以用天平至少称4次一定能找出这瓶少的口香糖。 故答案为：C 【例题2】（24-25五年级下·广西百色·期末）有5个外观相同的球，其中有一个是次品，比其他球要轻些，从下图中可以推断出( )号球是次品球。 【答案】④ 【分析】依据天平称重时“轻的一端会翘起”这一特性，通过对比两次天平称重的状态，逐步排除不可能是次品的球，从而确定次品。 【详解】根据题意，第一次称①②和③④，③④一端翘起，因为次品比其他球轻些，说明③④中有一个是次品； 第二次称③和⑤，天平平衡，说明③和⑤一样重，即③是正品，结合第一次称，得出④号球是次品。 有5个外观相同的球，其中有一个是次品，比其他球要轻些，从图中可以推断出④号球是次品球。 【例题3】（24-25五年级下·陕西西安·期末）学校运动会前，体育老师采购了16个实心球，其中有一个质量不达标，比合格的实心球轻。如果用天平称，至少要称( )次才能保证找出这个不达标实心球。 【答案】3 【分析】将16个实心球分成5个、5个、6个，将5、5放到天平两边，平衡则次品在6个这一组；不平衡则次品在较轻的一组。考虑最不利因素，则6个这一组。将6个分成2个、2个、2个，任取两组放到天平两边，平衡则次品在剩余的一组；不平衡则次品在较轻的一组。最后将存在次品的一组分成1个、1个，放到天平两边即可得次品；据此解答。 【详解】根据分析作图如下： 由图可知：至少要称3次才能保证找出这个不达标实心球。 【例题4】（23-24五年级下·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 考点练习 练习一、找次品 1．（24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末）有7个形状、大小完全相同的零件，其中有一个是次品（次品轻一些）。用天平称，至少称（    ）次能保证找到次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将7个零件分成（2、2、3），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（2、2），平衡，次品在3个中；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡与否，都可确定次品，共2次。 用天平称，至少称2次能保证找到次品。 故答案为：A 2．（24-25五年级下·河南信阳·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。小明想用天平把次品找出来，他把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，那么下面判断正确的是（    ）。 A．①是次品 B．②是次品 C．③是次品 D．无法判断 【答案】C 【分析】已知有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（即次品），说明次品比正常的要轻。把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，说明①和②的质量相同，那么少了3片的次品就是③。 【详解】①②分别放在天平的两端，天平平衡，那么少了3片的次品就是③。 所以判断正确的是选项C中的“③是次品”。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）9瓶外观同样的口香糖，其中一瓶被丹丹偷吃了一些，用天平至少称（    ）次能找到被偷吃的那瓶口香糖。 A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用天平找次品的问题，把9瓶口香糖平均分成3份，每份3瓶，通过天平平衡与否逐步缩小被偷吃的口香糖所在范围，直至确定被偷吃的口香糖。 【详解】把9瓶口香糖平均分成3份，每份3瓶。将其中两份分别放在天平两端，如果天平平衡，那么被偷吃的那瓶在没称的那份中；如果天平不平衡，被偷吃的那瓶在较轻的那份中。 把有被偷吃的那瓶的那份3瓶口香糖，任取2瓶分别放在天平两端。如果天平平衡，那么没称的那瓶就是被偷吃的；如果天平不平衡，较轻的那瓶就是被偷吃的。 因此，至少需称量2次即可找到被偷吃的口香糖。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）王奶奶家的母鸡这个月生了25个鸡蛋，其中24个同样重，另有一个比其他的略轻一些。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找到这个鸡蛋。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将25个鸡蛋分成（8、8、9），称（8、8），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，轻的鸡蛋在9个中；将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定轻的鸡蛋在其中3个；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定轻的鸡蛋，共3次。 至少称3次能保证找到这个鸡蛋。 故答案为：B 5．（24-25五年级下·云南玉溪·期末）学校食堂买来20袋冰糖，每袋1千克，其中有一袋不足1千克。假如用天平称，至少称( )次能保证把这袋冰糖找出来。 【答案】3 【分析】本题是找次品问题，找次品时，把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的，要把多的一份与少的一份相差最少，把20袋分成7袋、7袋、6袋进行扥组测量，根据这样的方法进行称重即可。 【详解】把20袋分成7袋、7袋、6袋。把2个7袋的分别放在天平两端，若天平平衡，则较轻的那袋在剩下的6袋中，把6袋分成2袋、2袋、2袋，把2个2袋分别放在天平两端，若天平平衡，则较轻的那袋在剩下的2袋中；若天平不平衡，则较轻的那袋在天平较高的一端，再称一次即可找到；若天平不平衡，则较轻的那袋在天平较高的一端，把较轻的那端的7袋分成3袋、3袋、1袋，取2份3袋的放在天平两端，若天平平衡，则较轻的那袋是剩下的1袋若天平不平衡，则较轻的那袋在天平较高的一端，把这3袋分成3份，取2袋放在天平两端若天平平衡，则较轻的是剩下的1袋，若天平话不平衡，则较轻的在天平较高的一端，即至少称3次能保证把这袋冰糖找出来。 【点睛】键在于利用天平每次称量的三种结果（左重、右重、平衡）将物品分组，逐步缩小范围。一般策略是将物品尽量均分为三组，每次称量后确定次品所在的组，重复此过程直至找到次品。 6．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）一批零件有14个，其中有一个是次品（次品轻一些），现在想用天平找到这个次品，保证找出次品的称重次数最少时，最合理的分组是( )，至少称( )次保证能找出次品。 【答案】 5、5、4 3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将14个零件分成（5、5、4），称（5、5），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在5个中；将5个分成（2、2、1），称（2、2），不平衡，次品在2个中；将2个分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 最合理的分组是（5、5、4），至少称3次保证能找出次品。 7．（24-25五年级下·内蒙古乌海·期末）端午节姥姥包了10个蜜枣粽子，其中一个忘了放蜜枣，质量轻一些，假如用天平称，至少称( )次能保证把它找出来。 【答案】3 【分析】把10个蜜枣粽子分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，质量较轻的在翘起来的3个中；如果天平平衡，质量较轻的在剩下的4个中；考虑最不利原则，质量较轻的在数量多的里面，把有质量较轻的4个蜜枣粽子分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，质量较轻的就是翘起来的那一个；如果天平平衡，质量较轻的在剩下的2个中；最后把有质量较轻的2个蜜枣粽子分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，质量较轻的就是翘起来的那一个。所以至少称3次能保证把它找出来。 【详解】 至少称3次能保证把它找出来。 8．（24-25五年级下·甘肃庆阳·期末）镇原县某工艺品厂制作了7个铜制香包摆件，其中有1个是次品（质量较重）。用天平称，至少称( )次就能保证找到次品。 【答案】2 【分析】将7个铜制香包摆件分成3组，分别是2个、2个、3个。把2个分别放在天平两端称量：若天平平衡，说明次品在3个中；若天平不平衡，次品在较重的那一组中。 次品若在2个的组中，将这2个香包分别放在天平两端，较重的那个就是次品，此时只需2次就能找到次品。次品若在3个的组中，把这3个香包再分成3组（1个、1个、1个），任取其中2个放在天平两端：若天平平衡，未称量的那个就是次品；若天平不平衡，较重的那个就是次品。此时也只需2次就能找到次品。 【详解】把7个香包分成3组，2个、2个、3个。 第1次称：把两组2个的分别放在天平两端。若平衡，次品在3个那份里；再从3个里拿2个称，平衡则剩下的是次品，不平衡重的是次品，共2次。 若不平衡，重的那份有次品；再称这2个，重的是次品，共2次。 用天平称，至少称2次就能保证找到次品。 9．（24-25五年级下·甘肃天水·期末）有5瓶钙片，其中一瓶少了4片。如果用天平称，每次称1瓶，至少称( )次才能保证找到少钙片的那瓶。 【答案】 2 【分析】每次称1瓶：第一次称量：如果左右不等，那么较轻的那个是次品，考虑最差情况，如果左右相等，那么说明次品在剩下的3瓶中；第二次称量：如果左右不等，那么较轻的那个是次品，如果左右相等，那么剩下的那瓶是次品；所以至少需要2次即可找出次品； 【详解】根据分析，将5瓶钙片分成（2，2，1）三组。 第一次称：将一组2瓶放在天平两边。若天平不平衡，次品在较轻的那一瓶中；若天平平衡，说明次品在剩下的3瓶中，共称1次； 第二次称：将第二组中的2瓶分别放在天平两边。如果天平不平衡，那么较轻的那个是次品，如果天平平衡，那么剩下的那瓶是次品。 因此，至少称2次才能保证找到少钙片的那瓶。 10．（24-25五年级下·吉林四平·期末）有28瓶外观完全相同的口香糖，其中一瓶少了3粒，属于次品。用没有砝码的天平至少称( )次，就一定能找出这瓶次品。 【答案】4 【分析】把待称的物品分成三份，能够平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一分只相差1，据此解答。 28个分为9，9，10，把两个9放在天平上，平衡，说明剩下的10有次品， 不平衡，说明轻的那个有次品；考虑最不利条件，次品在10个这一组；把10分成3，3，4，把两个3放在天平上，平衡，说明剩下的4有次品；不平衡，则轻的那个有次品。考虑最不利条件，次品在4个那一组，把4分成2，2，找出轻的两个1放在天平上，找出轻的一组；最后将轻的一组分成1，1，再称一次即可。 【详解】如图： 有28瓶外观完全相同的口香糖，其中一瓶少了3粒，属于次品。用没有砝码的天平至少称4次，就一定能找出这瓶次品。 11．（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有8袋积木，其中有一袋少装了一块，是次品。假如用天平称（不用砝码），下面是第一次称的情况，请分析并填空。 (1)如果不平衡，次品在( )中；如果平衡，次品在( )中。 (2)要找到次品，最少要称( )次。 【答案】(1) 较轻的那3袋 ⑦⑧ (2)2 【分析】（1）分析题目，因为次品比正品轻，所以根据天平可知，如果天平不平衡，则次品在较轻的那边；如果天平平衡，则次品在剩下的2袋中，据此解答； （2）找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】（1）如果不平衡，次品在较轻的那3袋中；如果平衡，次品在⑦⑧中。 （2）有8袋积木，其中有一袋是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（3，3，2），天平两边各放3袋，①若天平平衡，则次品就在剩下的2袋中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3袋中； 第一次天平不平衡时，第二次称重：把3袋分成（1，1，1），天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的那1袋；②若天平不平衡，次品是较轻的1袋； 第一次天平平衡时，第二次称重：把2袋分成（1，1），次品是较轻的那袋。 所以要找到次品，最少要称2次。 12．（24-25五年级下·山西晋中·期末）“粽叶飘香五月五，浓情端午共安康”。端午前夕，笑笑一家一共包了16个豆沙粽和24个蜜枣粽。把它们分口味放在包装盒里，要使每盒数量相等并且没有剩余，每盒最多放( )个。在24个蜜枣粽中，其中一个少放了一颗蜜枣，质量稍轻一些。如果用天平称，至少要称( )次才能保证把它找出来。 【答案】 8 3 【分析】要使每盒数量相等并且没有剩余，求每盒最多放几个粽子就是求16和24的最大公因数，把16和24分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是16和24的最大公因数。 找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。 【详解】16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 16和24的最大公因数：2×2×2，即每盒最多放8个。 第一次称重 把24个蜜枣粽平均分成三份，每份8个。任取两份放在天平两端。如果天平平衡，较轻的蜜枣粽就在未取的那8个中；如果天平不平衡，较轻的蜜枣粽就在天平轻的一端的8个中。 第二次称重 假设较轻的蜜枣粽在某8个中，把这8个再平均分成三份，分别是3个、3个、2个。把两份3个的分别放在天平两端。若天平平衡，较轻的蜜枣粽就在剩下的2个中；若天平不平衡，较轻的蜜枣粽就在天平轻的一端的3个中。 第三次称重 如果较轻的蜜枣粽在剩下的2个中，把这2个分别放在天平两端，轻的一端就是较轻的蜜枣粽；如果较轻的蜜枣粽在某3个中，任取其中2个放在天平两端，若天平平衡，未取的那个就是较轻的蜜枣粽，若天平不平衡，轻的一端就是较轻的蜜枣粽。 因此至少要称3次才能保证把它找出来。 即把它们分口味放在包装盒里，要使每盒数量相等并且没有剩余，每盒最多放3个。在24个蜜枣粽中，其中一个少放了一颗蜜枣，质量稍轻一些。如果用天平称，至少要称3次才能保证把它找出来。 13．（23-24五年级下·浙江台州·期末）有8枚外观一样的金币，其中1枚是假币，比真币轻一些。假如用天平称，下面的两种方案中，能找到假币且称的次数最少的是方案( )，至少要称( )次。 方案①：      方案②： 【答案】 ② 2 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。 【详解】将8枚金币分成三组，分别是三枚、三枚和两枚，如方案②，将两个三枚的组放在天平的两端进行第一次称重。 如果天平平衡，那么假币在剩下的两枚金币中，这时，我们可以将这两枚金币分别放在天平的两端进行第二次称重，较轻的一枚就是假币。 如果天平不平衡，假币在较轻的三枚金币组中，我们再将这三枚金币中任意两枚分别放在天平两端进行第二次称重，如果天平平衡，那么假币是未被称的那枚；如果天平不平衡，那么较轻的一枚就是假币，因此，无论天平第一次称重的结果如何，我们都能在第二次称重后确定假币，至少需要称2次。 能找到假币且称的次数最少的是方案②，至少要称2次。 14．（23-24五年级下·四川南充·期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 【答案】4 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把70个玻璃小球分成3份，一份24个，其余两份23个，即（23，23，24），第一次称，天平两边各放23个，如果天平不平衡，次品就在较轻的23个中。把有次品的23个玻璃小球分成（7，8，8），第二次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那8个中。最后把有次品的8个玻璃小球分成（3，3，2），第三次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的那3个中。把这3个玻璃小球分成（1，1，1），第四次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，次品在剩下的1个中，如果天平不平衡，次品就是轻的那一个。 所以至少要称4次。 15．（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【答案】3次；流程图见详解 【分析】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【详解】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 16．（23-24五年级下·江西吉安·期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】 4次，见详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $