从课本到奥数：长方体和正方体（综合训练）-2025-2026学年六年级上册数学苏教版

从课本到奥数：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级上册苏教版 一、选择题 1．下面哪幅图是左边正方体的展开图？（    ） A．B． C． D． 2．一件商品的外包装的尺寸是“506×620×1280mm”，这件商品可能是（    ）。 A．橡皮 B．书包 C．冰箱 D．茶杯 3．把一个棱长是3分米的正方体，切成两个完全相同的长方体，表面积增加了（    ）平方分米。 A．6 B．9 C．18 D．27 4．张师傅要做一个无盖长方体玻璃鱼缸，他准备了一块长10分米，宽8分米的长方形玻璃，两块长8分米，宽6分米的长方形玻璃。他还要准备两块（    ）的长方形玻璃。 A．长8分米，宽8分米 B．长10分米，宽6分米 C．长8分米，宽6分米 D．长10分米，宽8分米 5．一个长方体的长、宽、高分别是a分米，b分米，h分米，如果长减少m分米（），宽减少n分米（），它的体积减少（    ）立方分米。 A． B． C． D． 6．如图是由六个正方形组成的一个图形，将它们折叠可以组成一个正方体，在正方体的表面分别标上1、2、3、4、5、6，其中有三个面上的数字漏标了，已知每一组对面上数的和都是7，那么k的值是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．无法确定 7．下图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ）。 A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 二、填空题 8．某品牌的牛奶采用一种无菌纸质的长方体密封包装，这种包装可以百分之百再回收利用。李静从外面量，盒子长5.5cm，宽4.5cm，高10cm。盒子的体积是( )。盒面注明“净含量250mL”，商家的这项说明( )（填“真实”或“不真实”）。 9．一个长方体的长、宽、高分别是4分米、30厘米、2分米，它的棱长总和是( )分米，所占空间是( )立方分米，占地面积最大是( )平方分米。 10．每年的10月16日是“世界粮食日”。为呼吁公众节约粮食，小明所在城市的某广场上设了一个长方体广告箱（如图）。这个广告箱的表面积是( )平方米，体积是( )立方米。 11．工作人员正在制作一批彩灯，先用一根长铁丝制作了一个棱长为8dm的正方体彩灯框架（铁丝正好用完无剩余）。 (1)如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )的灯笼布。 (2)如果用同样长度的铁丝制作一个长方体彩灯框架（铁丝无剩余），长、宽都是6dm，那么这个长方体的高是( )dm。 12．将两个土豆浸没在盛了700mL水的量杯后，水位上升至1000mL。平均每个土豆的体积是( )。 13．一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，变成一个正方体。表面积减少了120平方厘米，则原长方体的体积是( )立方厘米。 三、判断题 14．从里面量长、宽、高都是1分米的正方体容器的容量是1升。( ) 15．如果一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，那么它的表面积和体积也分别扩大到原来的4倍。( ) 16．把一个长方体锯成两个正方体，体积增加了。( ) 17．把一块橡皮泥捏成泥人或正方体，它们的体积一样大。( ) 四、计算题 18．求出下面立体图形的表面积和体积。 19．求体积。（单位：厘米） 五、解答题 20．一个长方体，从高上削去3厘米后就变成一个正方体，表面积比原来少了120平方厘米，那么原来长方体的体积为多少立方厘米？ 21．小军在泥塑课上把棱长6厘米和8厘米的两个正方体彩泥捏成了一个长方体，已知它的长是13厘米，宽是7厘米，它的高是多少厘米？ 22．一个长方体铁皮油箱，长9分米，宽5分米，高2.5分米。 （1）制作这个油箱至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）如果每升汽油重0.8千克（铁皮厚度忽略不计），这个油箱最多能装多少千克汽油？ 23．在一个长25厘米、宽16厘米、高20厘米的长方体玻璃缸中放入一个棱长10厘米的正方体铁块，然后加水，使铁块完全浸没在水中。当取出铁块时，玻璃缸中的水会下降多少厘米？ 24．拥有“不用一颗钉，能用50年”之称的官渡木椅制作技艺入选十堰市非物质文化遗产名录。如图，鲁班木材加工厂将一根2.5米长的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了48平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 25．有一个完全密封的长方体容器，从里面量，长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米。平放时里面水高8厘米，如果把这个容器竖起来放，里面的水高多少厘米？ 26．一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《从课本到奥数：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级上册苏教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C B D C C 1．C 【分析】根据图形可知，黑色正方形与黑色圆点是相邻的两个正方形，据此逐项分析，进行解答。 【详解】 A．，符合正方体展开图的“1－4－1”结构，折叠成正方体，黑色正方形与黑色圆点相对，不符合题意。 B．，符合正方体展开图的“2－3－1”结构，折叠成正方体，黑色正方形与黑色圆点相对，不符合题意。 C．，符合正方体展开图的“1－4－1”结构，折叠成正方体，黑色正方形与黑色圆点相邻，符合题意。 D．，不符合正方体展开图的特征，不能折叠成正方体，不符合题意。 故答案为：C 2．C 【分析】这件商品的外包装的尺寸表示“长×宽×高”，根据1cm＝10mm，换算成以cm为单位的尺寸，手指头的宽度大约是1cm，据此根据长度单位的认识和长方体的特征，结合生活经验进行选择。 【详解】一件商品的外包装的尺寸是“506×620×1280mm”，即“50.6×62×128cm”。 A．橡皮没有这么大，排除； B．书包没有这么大，排除； C．冰箱的尺寸差不多； D．茶杯没有这么大，排除。 这件商品可能是冰箱。 故答案为：C 3．C 【分析】将正方体切成两个长方体，表面积增加的部分是两个截面的面积。正方体每个面的面积为3×3＝9平方分米，切开后新增两个这样的面，故增加9×2＝18平方分米。 【详解】3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方分米） 表面积增加了18平方分米。 故答案为：C 4．B 【分析】无盖长方体鱼缸有5个面：一个底面（长×宽）、两个前面和后面（长×高）、两个左面和右面（宽×高）。已知张师傅准备了一块长10分米、宽8分米的玻璃，作为底面（长＝10分米，宽＝8分米）。两块长8分米、宽6分米的玻璃，作为左、右面（宽×高），因此宽＝8分米，高＝6分米。还需两个前面和后面（长×高＝10分米×6分米），即长10分米、宽6分米的长方形玻璃。 【详解】鱼缸为无盖长方体，需制作5个面： 底面：长×宽＝10分米×8分米（已准备一块）。 左面和右面：宽×高＝8分米×高（需两个相同面）。 前面和后面：长×高＝10分米×高（需两个相同面）。 已知两块玻璃长8分米、宽6分米，用于左、右面（宽×高），因此宽＝8分米，高＝6分米。 前面和后面尺寸为长×高＝10分米×6分米。 还需准备两块长10分米、宽6分米的长方形玻璃。 故答案为：B 5．D 【分析】先根据长方体体积公式（体积＝长×宽×高），算出原长方体的体积为abh立方分米，同时算出长减少m、宽减少n后新长方体的体积为（a－m）（b－n）h立方分米；再根据“体积减少量＝原体积−新体积”的差值关系，将新体积展开并化简，算出体积减少量。 【详解】原体积：a×b×h＝abh（立方分米） 新体积：（a－m）（b－n）h ＝（ab－an－bm＋mn）h ＝（abh－anh－bmh＋mnh）立方分米 体积减少：abh－（abh－anh－bmh＋mnh） ＝abh－abh＋anh＋bmh－mnh ＝（bmh＋anh－mnh）立方分米 故答案为：D 6．C 【分析】先确定数字6的面是前面，分析各面拼成正方体后是那个面，再根据每一组对面上数的和都是7来解决。 【详解】把数字6的面定为正方体的前面，那么k面是上面，数字5的面是左面，和数字6的面相邻的空白面是右面，数字3的面是下面，和数字3的面相邻的空白面是后面。所以k的面和数字3的面相对，它们的和是7，k＝7－3＝4。 故答案为：C 【点睛】本题关键是熟练掌握正方体的展开图，找出三组相对的面。 7．C 【分析】先根据题意，求出杯子的剩余容量是多少：500－300＝200，再结合图2放入四颗玻璃球时，水没有满，可知：四颗玻璃球总体积小于200，和图3放入五颗玻璃球时，水满溢出，可知：五颗玻璃球总体积大于200，从而求出一颗玻璃球的体积范围，据此解答。 【详解】（1）根据图1“将300的水倒进一个容量500的杯子中”可知：杯子剩余容量：500－300＝200（）； （2）根据图2“将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满”可知：四颗玻璃球的总体积小于200，因为200÷4＝50（），因此，一个玻璃球的体积小于50； （3）根据图3“再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出”可知：五颗玻璃球的总体积大于200，因为200÷5＝40（），因此，一个玻璃球的体积大于40。 所以，一个玻璃球的体积在40以上，50以下。 故答案为：C 8． 247.5 不真实 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出盒子的体积；1＝1mL，将标注的净含量与盒子的体积比较，标注的净含量＞盒子的体积，商家的这项说明不真实；标注的净含量＜盒子的体积，商家的这项说明真实。 【详解】5.5×4.5×10＝247.5（） 247.5＝247.5mL 250＞247.5 盒子的体积是247.5。盒面注明“净含量250mL”，商家的这项说明不真实。 9． 36 24 12 【分析】先将30厘米单位换算成3分米。根据棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，体积＝长×宽×高，由长方体的长、宽、高的长度，可知最大的占地面积＝底面积＝长×宽，代入计算即可。 【详解】30厘米＝3分米 （4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（分米） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方分米） 4×3＝12（平方分米） 它的棱长总和是36分米，所占空间是24立方分米，占地面积最大是12平方分米。 10． 49 10 【分析】根据长方体表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh）和体积公式V＝abh（其中长a＝5m、宽b＝0.5m、高h＝4m），计算如下：表面积为2×（5×0.5＋5×4＋0.5×4）＝2×24.5＝49平方米，体积为5×0.5×4＝10立方米。因此，广告箱的表面积是49平方米，体积是10立方米。 【详解】2×（5×0.5＋5×4＋0.5×4） ＝2×（2.5＋20＋2） ＝2×24.5 ＝49（平方米） 5×0.5×4 ＝2.5×4 ＝10（立方米）   故广告箱的表面积是49平方米，体积是10立方米。 11．(1)256 (2)12 【分析】（1）灯笼的四周围上灯笼布的面积＝边长×边长×4，即可求解； （2）根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长和为棱长8dm乘12即为用铁丝的总长，用铁丝的总长除以4再减去长6dm，再减去宽6dm即可求出这个长方体的高。 【详解】（1）8×8×4 ＝64×4 ＝256（dm2） 至少需要256的灯笼布。 （2）8×12÷4－6－6 ＝96÷4－6－6 ＝24－6－6 ＝12（dm） 这个长方体的高是12dm。 12．150 【分析】将两个土豆浸没在盛了700mL水的量杯后，水位上升至1000mL，说明这两个土豆的体积是1000－700＝300（mL），300mL＝300cm3，所以平均每个土豆的体积＝300÷2，据此解答即可。 【详解】1000－700＝300（mL） 300mL＝300cm3 300÷2＝150（cm3） 因此，平均每个土豆的体积是150cm3。 13．396 【分析】把这个长方体上、下分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，表面积减少的部分其实就是以原来长方体底面为底面、高为（3＋2）厘米的长方体的4个侧面的面积；因为截完后变成了一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形，即这4个侧面是完全相同的长方形； 已知表面积减少了120平方厘米，那么可求出一个侧面的面积；又因为这个侧面的高是（3＋2）厘米，根据长方形面积＝长×宽，可得底面正方形的边长（也就是正方体的棱长）；由于截去的部分高为（3＋2）厘米，而剩下部分是正方体，已知棱长，所以可以求出原长方体的高，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原长方体的体积。 【详解】原长方体的底面是一个正方形，棱长： 120÷4÷（2＋3） ＝30÷5 ＝6（厘米） 原长方体的高： 6＋3＋2 ＝9＋2 ＝11（厘米） 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 因此，则原长方体的体积是396立方厘米。 【点睛】本题重点理解表面积减少的部分与原长方体的关系，进而求出正方体的棱长和原长方体的高，最终计算体积。 14．√ 【分析】根据正方体的容积＝棱长×棱长×棱长，计算出容积；再根据1立方分米＝1升，即可解答本题。 【详解】1×1×1 ＝1×1 ＝1（立方分米） 1立方分米＝1升 故答案为：√ 15．× 【详解】假设正方体的棱长是1，扩大到原来的4倍变成4，正方体的表面积＝6×棱长×棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算出变化前后的体积和表面积，做对比即可。 【点睛】原正方体的表面积： 扩大后的表面积： ，即表面积扩大到原来的16倍； 原正方体的体积： 扩大后体的积： ，即体积扩大到原来的64倍； 综上所述，如果一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，则它的表面积扩大到原来的16倍，体积扩大到原来的64倍，所以原题说法错误； 故答案为：× 16．× 【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小就是物体的体积；把一个长方体锯成两个正方体，表面积增加了，但体积没变，据此判断。 【详解】由分析可知，把一个长方体锯成两个正方体，体积不变，所以原题目说法错误； 故答案为：× 17．√ 【分析】物体所占空间的大小，是物体的体积，据此判断。 【详解】把一块橡皮泥捏成泥人或正方体，只是形状发生了变化，所占空间的大小是不变的，所以它们的体积一样大，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了体积的认识，明确体积不会随着形状的变化而改变。 18．216平方厘米，180立方厘米 【分析】长方体的表面积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 19．1512立方厘米 【分析】这个组合体的体积＝正方体的体积＋长方体的体积。 正方体的棱长为8厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积； 长方体的长为25厘米，宽为10厘米，高为4厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体的体积，将二者相加即可。 【详解】8×8×8＋25×10×4 ＝512＋1000 ＝1512（立方厘米） 即这个组合体的体积为1512立方厘米。 20．1300立方厘米 【分析】高削去3厘米，就变成正方体，说明原来长方体的底面是一个正方形，并且底面的边长比高少3厘米。因为上下两个底面为正方形，所以其余4个面（前、后、左、右面）为完全相同的长方形。表面积比原来减少了120平方厘米，减少的是4个相同的长方形的面积，先用120÷4得到每个长方形的面积，计算得30平方厘米。每个长方形的宽为3厘米，根据长方形的长＝面积÷宽，用30÷3得到每个长方形的长，也就是长方体的底面边长，计算得10厘米。原来长方体的高比底面边长多3厘米，用10＋3得到高为13厘米。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算出原来长方体的体积即可。 【详解】120÷4＝30（平方厘米） 30÷3＝10（厘米） 10＋3＝13（厘米） 10×10×13 ＝100×13 ＝1300（立方厘米） 答：原来长方体的体积为1300立方厘米。 【点睛】解题关键在于根据削去部分表面积（120 平方厘米是 4 个以底面边长和3 厘米为边长的长方形面积和）求出长方体底面边长，进而得出原长方体的高，最后算出体积。 21．8厘米 【分析】根据题意，把两个正方体彩泥捏成了一个长方体，则长方体的体积等于两个正方体的体积之和； 先根据正方体的体积公式V＝a3，分别求出两个正方体的体积，再相加即是长方体的体积；再根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出长方体的高。 【详解】6×6×6＋8×8×8 ＝216＋512 ＝728（立方厘米） 728÷（13×7） ＝728÷91 ＝8（厘米） 答：它的高是8厘米。 22．（1） 160平方分米 （2） 90千克 【分析】（1）求制作这个油箱需要的铁皮的平方分米数就是求这个铁皮油箱的表面积。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算出表面积即可； （2）先根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出这个油箱的体积，再乘每升汽油的重量得出这个油箱最多能装汽油的千克数。 【详解】（1）（9×5＋9×2.5＋5×2.5）×2 ＝（45＋22.5＋12.5）×2 ＝80×2 ＝160（平方分米） 答：制作这个油箱至少需要160平方分米的铁皮。 （2）9×5×2.5×0.8 ＝112.5×0.8 ＝90（千克） 答：这个油箱最多能装90千克汽油。 23．2.5厘米 【分析】根据题意可知，水面下降部分体积等于正方体铁块的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积；再根据长方体体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），求出水面下降多少厘米，据此解答。 【详解】10×10×10÷（25×16） ＝10×10×10÷400 ＝100×10÷400 ＝1000÷400 ＝2.5（厘米） 答：当取出铁块时，玻璃缸中的水会下降2.5厘米。 24．300立方分米 【分析】由题意可知，把这根长方体木料锯成3段后，表面积增加了4个截面的面积，先根据增加的表面积求出一个截面的面积，再根据“长方体的体积＝底面积×高”求出原来这根木料的体积，据此解答。 【详解】2.5米＝25分米 2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 48÷4×25 ＝12×25 ＝300（立方分米） 答：原来这根木料的体积是300立方分米。 25．16厘米 【分析】平放时，容器的长为20厘米，宽为16厘米，水高为8厘米，根据长方体体积＝长×宽×高计算出水的体积。竖放时，容器的底面变为宽16厘米和高10厘米组成的面，用宽乘高计算出竖放时的底面积，水的体积不变，根据水的体积÷竖放时的底面积＝水高，计算出水高。据此解答。 【详解】20×16×8÷（16×10） ＝320×8÷160 ＝2560÷160 ＝16（厘米） 答：里面的水高16厘米。 26．182平方分米 【分析】计算与水接触的面积需要分三步：先算原正方体表面积，再减去被挖去的面积，最后加上新增的内部通道侧面积。特别注意两个通道交叉处的重复部分需要扣除。 计算原正方体表面积。正方体有6个面，每个面都是边长为5分米的正方形。根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，即5×5×6； 计算被挖去的面积。从前面和右面各挖穿一个孔，每个孔在入口和出口处各挖去1个1×1的正方形。共挖去4个面：前面、后面、右面、左面各1个，列式为1×1×4； 计算新增内部通道侧面积。每个通道有4个侧面，每个侧面是长5分米、宽1分米的长方形。两个通道一共的面积列式为：4×5×1×2，即40平方分米。但交叉处有4个1×1的面被重复计算，需要扣除，即新增的内部通道侧面积列式为40－1×1×4； 求总接触面积。将原表面积减去被挖去的面积，再加上新增的内部通道侧面积。据此列式计算。 【详解】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：与水接触的区域的面积是182平方分米。 【点睛】解题关键是：分析挖孔后正方体表面积的变化，即原来的表面积减去被挖去部分的面积，再加上孔内部新增的与水接触的面积。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $