精品解析：湖南省长沙市周南中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

周南中学2025级高二阶段考试数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出全集中的元素（素数（质数）），再利用概念以及补集的运算求解即可. 【详解】由题知全集是小于12的素数， 因为，所以. 故选：B. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3. 在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（ ） A. 或 B. 或与相交 C. 或与相交 D. 或或与相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，根据异面直线的定义和直线与平面的位置关系，即可求解. 【详解】由直线是异面直线，且直线平行于平面， 根据直线与平面的位置关系，可得直线与平面可能平行，相交或在平面内. 4. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 5. 已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得， 所以的面积为. 故选：B. 6. 已知圆和圆，则（ ） A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【解析】 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 7. 已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出的轨迹方程为，设到直线的距离为，由此可得，将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解. 【详解】根据已知有，圆心，半径，因为弦， 所以圆心到所在直线的距离， 又因为为的中点，所以有， 所以的轨迹为圆心为，半径为的圆， 的轨迹方程为； 令直线为，则到直线的距离为， 则，即，所以当最大时， 也取得最大值， 由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍， 设圆心到直线的距离为，则，所以， 所以的最大值为6. 故选：C 8. 已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体外接球的表面积为可得正方体棱长为，建立空间直角坐标系，根据点到直线距离、点到平面距离空间向量法结合计算求解. 【详解】设正方体的棱长为， 由题意可得，解得， 以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设， 因为，所以，所以， 设点到直线的距离为， ，，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 设三棱锥的高为，则， 因为， 所以四面体的体积为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 直线与直线之间的距离是 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 的长为 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过可判断A，通过，可判断B，由可判断C，对于D，法一：过作平面，确定 与平面所成角为，再通过向量的夹角公式可判断，法二：设底面正的中心为，求得，结合直角三角形即可求解. 【详解】A选项：由平行六面体的定义，，平面，平面，由线面平行的判定定理，得平面，所以A正确； B选项： ， 故，，即，， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理，得平面，所以B正确； C选项： ，则，所以C不正确； D选项：法一（向量法）：过作平面，垂足为，连接． 由，且，得为等边三角形，则． 因为平面，所以，，由三角形全等可得， 故在的平分线上，因此与平面所成角为． 由，得，即． ， ， 故直线与平面所成角的正弦值为； 法二（几何法）： 连接，，，由， ，可得， 即四面体为棱长为1的正四面体． 设底面正的中心为，则， 平面，平面，， 在中，． 设与平面所成角为，则，故D正确． 11. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解. 【详解】由圆，得圆心，圆半径， A选项：点C到直线l的距离为，又，即， 所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，， 所以，B选项错误； C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上， 设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 圆的方程为， 即， 又A，B在圆C上，则， 得，则，解得， 所以AB恒过定点，C选项正确； D选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线PC方程为， 即，联立，解得，故，则， 所以，即，D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 【答案】6 【解析】 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 13. 设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线与两圆相切建立关于，的方程组，解方程组即可. 【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径， 即，，所以，所以（舍）或者， 则，代入得， ，化简得， 因为直线与圆相切， 所以， 解得（舍去负值），. 14. 已知的边，且，则的面积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角恒等变形和正弦定理变形得到，再利用三角形面积公式得，再转化为三角函数的性质，求函数的最大值 【详解】由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有， 由可得，整理得， ∴， ∵，∴，∴， 由正弦定理可得， ∴，则有. 故的面积 . ∵，∴，当时，的面积取得最大值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数和解三角形相结合的综合应用，本题的关键是利用三角恒等变形和正弦定理得到，为后面转化为关于的三角函数求最值奠定基础. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 顶点、、. （1）边上的中线所在直线方程及中线的长度； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1）AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； （2）直线的方程为 或 。 【解析】 【小问1详解】 由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16. 在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【小问1详解】 证明： 在平行四边形中，为中点， 又为的中点， 在中，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 ，为中点，， 又，， 平面，平面， 平面， ，， 以为原点，，所在的直线分别为轴，轴， 过且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，，为中点，， 由题意得，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 ，令，解得，， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上， （1）若圆过点､点， 求圆的方程; （2）若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆的面积最小时圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可以直接设圆的方程求解，也可以先设圆心和半径，利用弦的中垂线过圆心求解； （2）先设出圆的方程，利用直线与圆相切得到半径的关系式，利用单调性求出半径最小值即可. 【小问1详解】 如图所示， 法一：设圆的方程为， 由已知可得 ，解得， 故圆的方程为； 法二： 设圆的方程为， 由已知可得，解得， 故圆的方程为； 法三：设圆的方程为 已知点､点，则线段的中点， 所以 ，则线段的中垂线的方程， 即 ，所以，， 故圆的方程为； 【小问2详解】 如图所示， 设圆的方程为， 因为圆与直线相切， 所以， 因为不在圆外，所以， 解得 ，所以， 当时，， 故当圆C的面积最小时圆的方程 18. 已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知点，求的最大值； （3）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）138 （3）存在，点，定值为 【解析】 【分析】（1）设，利用对称关系把点的坐标用表示出来，然后代入圆的方程即可求解； （2）利用两点间距离公式整理从而转化为的最小值，然后利用数形结合思想即可求解； （3）设出直线方程，联立圆的方程消去，利用韦达定理代入化简即可求解. 【小问1详解】 设，因为点是点关于点的对称点， 所以，即，因为点在圆上， 所以，化简得，即为点的轨迹方程. 【小问2详解】 易知 ， 令，则， 可视为直线在轴上的截距， 所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距， 由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，， 所以的最小值为，因此的最大值为138. 【小问3详解】 存在点，使得为定值， 理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 又，， 则 ， 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值. 19. 已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同； （3）若，且、均为函数的“平衡”数对.当时，求的取值范围. 【答案】（1）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使故对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （2）及的定义域均为, 根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, 对于函数而言,, 所以, ,, 即,故,只有,所以函数的“平衡”数对为, 综上可得函数与的“平衡”数对相同. （3） 【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可. (2)根据题意可知,对于任意实数,,再列式利用恒成立问题求解即可. (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ,所以, ,所以, 由于,所以,故,, , 由于,所以时,, ,所以. 【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周南中学2025级高二阶段考试数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（ ） A. 或 B. 或与相交 C. 或与相交 D. 或或与相交 4. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知圆和圆，则（ ） A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 7. 已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 8. 已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 直线与直线之间的距离是 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 的长为 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 13. 设直线：（）与圆和圆均相切，则__________． 14. 已知的边，且，则的面积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 顶点、、. （1）边上的中线所在直线方程及中线的长度； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16. 在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上， （1）若圆过点､点， 求圆的方程; （2）若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆的面积最小时圆的方程. 18. 已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知点，求的最大值； （3）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同； （3）若，且、均为函数的“平衡”数对.当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $