精品解析：甘肃省武威市凉州区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末质量检测试卷 九年级 数学 一、单选题(每小题3分，共30分） 1. 下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（ ） A. 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 3. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则度数为（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A B. C. D. 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，半径于点D．已知，则弦的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 9. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共24分） 11. 若点与点是关于原点O对称点，则_______． 12. 圆的内接正五边形的中心角的度数为______°． 13. 若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则a的值是________． 14. 如图，四边形四边形，它们的相似比是，已知，则______． 15. 如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为________． 16. 如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为______． 17. 如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 18. 如图，A、C分别是x轴、y轴上的点，双曲线与矩形的边、分别交于E、F，若，则的面积为_____． 三、解答题 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） 20. 如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角， （1）求的长． （2）求此圆锥高的长． 21. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组． （1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点，，的坐标： ， ， ． 23. 如图，是斜边上高，． （1）求证：； （2）求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． （1）求一次函数的解析式： （2）连接，，求面积． 25. 如图，直线经过点C，且，，交直线于C． （1）求证：直线是的切线； （2）若圆的半径为2，，求阴影部分的面积． 26. 在中，．是任意一点，连接，再将绕点顺时针旋转至，使，连接，． （1）如图（），若点在的内部，则与相等吗？若相等，请给出证明． （2）如图（），若点在的外部，则与相等吗？若相等，请给出证明． 27. 已知抛物线的图象经过，，三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及其对称轴； （2）设点是直线l上的一个动点，当最小时，求点坐标； （3）在抛物线上存在一点，使，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测试卷 九年级 数学 一、单选题(每小题3分，共30分） 1. 下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项不符合题意； 故选：C． 2. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（ ） A. 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据抛掷骰子时，点数为3的面朝上可能发生，也可能不发生，进行判断即可． 【详解】解：∵抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上可能发生，也可能不发生， ∴该事件是随机事件； 故选B． 3. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键．根据平移规律“左加右减针对自变量，上加下减针对函数值”即可求解． 【详解】∵ 原抛物线为 ， 向右平移2个单位，得 ， 再向上平移3个单位，得 ， ∴ 得到的抛物线解析式为 ． 故选：D． 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，通过将各点坐标代入函数关系式 进行验证，满足等式的点即为图象所经过的点. 【详解】解：∵ 点 在反比例函数 图象上当且仅当 ， 对于选项 A：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 B：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 C：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 D：， ∵ ， ∴ 点 在图象上； 故选 ：D. 6. 如图，在中，半径于点D．已知，则弦的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 由，利用垂径定理得到D为的中点，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由，即可求出的长． 【详解】解：∵中，于点D，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：D． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 8. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．需要讨论方程是否为二次方程，当时，方程变为一次方程，有实根；当时，利用判别式求范围． 【详解】解：∵ 方程有实数根， 当时，方程， 解得，有实根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴ ，即； 综上，． 故选：A． 9. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 【详解】解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 10. 如图，在边长为4的正方形中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，分段求出函数解析式，利用解析式判断图象是解题的关键； 本题应分两段进行解答，①点在上运动，点在上运动，②点在上运动，点在上运动，依次得出与的关系式即可得出函数图象． 【详解】解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动， ∴点运动到点的时间为秒， 由题意得， ①当时，即点在上运动，点在上运动时，，，，为开口向上的抛物线的一部分； ②当时，即点在上运动，点在上运动时，，上的高为4，，为直线（一次函数）的一部分； 观察所给图象，选项D函数关系图正确； 故选：D． 二、填空题(每小题3分，共24分） 11. 若点与点是关于原点O的对称点，则_______． 【答案】 6 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标关系，横坐标和纵坐标均互为相反数，由此确定a和b的值，再求和． 【详解】∵点与点是关于原点O的对称点， ∴点B的横坐标与点A的横坐标互为相反数，即， 点B的纵坐标与点A的纵坐标互为相反数，即， 解得， ∴， 故答案为：6． 12. 圆的内接正五边形的中心角的度数为______°． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，掌握圆的内接正n边形的中心角的度数等于除以n是解题的关键． 根据圆的内接正五边形的中心角的定义列式计算即可． 【详解】解：圆的内接正五边形的中心角的度数为． 故答案为：72． 13. 若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义以及性质．根据反比例函数的定义以及性质解答即可． 【详解】解：由反比例函数的定义，得：， 解得：， 又因为函数在所在象限内y随x的增大而增大， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 14. 如图，四边形四边形，它们的相似比是，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，明确对应边的比等于相似比是解题关键． 已知两个四边形的相似比为，即，将代入求值即可． 【详解】解：四边形四边形且相似比为， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，知识点是“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”．解题方法是利用切线长定理将的周长转化为的长度关系；解题关键是识别相等的切线长，易错点是忽略切线长的等量转换．解题思路：根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】由切线长定理： ． 的周长为： 已知周长为，且，故，解得． 故答案为：8． 16. 如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 17. 如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 18. 如图，A、C分别是x轴、y轴上的点，双曲线与矩形的边、分别交于E、F，若，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，不妨设，则，根据反比例函数的意义，矩形的性质解答即可。 本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，分割法表示面积，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键。 【详解】解：根据，不妨设，则， 由矩形得， 由双曲线与矩形的边、分别交于E、F， 得， 故， 解得， 故， 故的面积为：， 故答案为：。 三、解答题 19 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确解一元二次方程的方法． （）利用因式分解法解方程即可； （）先移项，再提取公因式转化为两个一次因式的乘积形式，依据因式乘积为的性质求解． 【小问1详解】 解： ， 则或， 解得：，． 小问2详解】 移项得：， 提取公因式：， 即， 则或， 解得：，． 20. 如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角， （1）求的长． （2）求此圆锥高的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【小问1详解】 解：的长． 【小问2详解】 设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 21. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组． （1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率；能用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）用列举法列出结果，用概率计算公式，即可求解； （2）画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解； 【小问1详解】 解：共有种结果：A．搭豇豆架、B．斩草除根C．趣挖番薯、D．开垦播种， 甲选择“趣挖番薯”小组的概率为； 故答案为； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有种， 甲、乙两人选择同一个小组的概率为， 答：甲、乙两人选择同一个小组的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点，，的坐标： ， ， ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查了中心对称作图，旋转作图，以及写出点的坐标． （1）分别作出点关于原点成中心对称的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转后的点，再顺次连接即可作图，即可写出坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ∴，，， 故答案为：，，． 23. 如图，是斜边上的高，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是斜边上的高，得出，故，即可证明； （2）根据，得，结合，故，再代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：是斜边上的高． ， ， ． ． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ． ． ∴ ． ∴（负值已舍去） 的长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． （1）求一次函数的解析式： （2）连接，，求面积． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先把代入可得，即，再把代入求得，即；然后运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由一次函数可得，即，再运用坐标与图形、三角形面积公式以及割补法求面积即可． 小问1详解】 解：把代入可得，解得：， ∴， 把代入可得，解得：，， ∵一次函数， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵一次函数解析式为， ∴，即， ∴面积为∶． 25. 如图，直线经过点C，且，，交直线于C． （1）求证：直线是的切线； （2）若圆的半径为2，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 26. 在中，．是任意一点，连接，再将绕点顺时针旋转至，使，连接，． （1）如图（），若点在的内部，则与相等吗？若相等，请给出证明． （2）如图（），若点在的外部，则与相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】（1），证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 由旋转可得，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 27. 已知抛物线的图象经过，，三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及其对称轴； （2）设点是直线l上的一个动点，当最小时，求点坐标； （3）在抛物线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与直线围成三角形的面积的相关计算等知识点． （1）根据题意可以得到关于、、的三元一次方程组，从而求得、、的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）根据两点之间线段最短可以求得点的坐标； （3）根据，，求出线段，结合三角形面积公式，求边上的高，即的纵坐标，分情况计算即可． 【小问1详解】 解：因为抛物线的图象经过，，三点， 则，解得， ∴抛物线的函数解析式为， 该函数的对称轴是直线； 【小问2详解】 如图，连接交对称轴l 于点， ∵， ∴、关于对称， ∴点为所求的点． 设直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴ ∵点在对称轴l上， ∴点的横坐标是1， 当时，， ∴点的坐标是； 【小问3详解】 ∵， ∴， 设中边上的高为 ∵即 解得 ∴点的纵坐标的绝对值等于5，即 当时，代入得即，无解； 当时，代入得即 解得或 ∴点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $