第04讲 一元一次不等式（2个知识点+12个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪科版

第04讲 一元一次不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 知识点2 ：一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·安徽宣城·月考）不等式的解集为 ． 4．（25-26九年级上·安徽六安·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【题型1 一元一次不等式的定义】 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 4．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 5．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【题型2 求一元一次不等式的解集】 6．解下列不等式． (1) (2) 7．解不等式：． 8．不等式的解集为 ． 9．不等式的解集为 ． 10．解下列不等式： (1)； (2)． 【题型3 求一元一次不等式的整数解】 11．满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 12．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．若关于x的不等式的负整数解有三个，则实数a满足的条件是 ． 14．不等式的正整数解的和为 ． 15．已知关于的方程，解决下面的问题： (1)若，求的值； (2)若满足上面方程的不小于，求的取值范围； (3)求适合上面方程并满足的最小整数的值． 【题型4 在数轴上表示不等式的解集】 16．解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 17．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 18．解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 19．解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． 20．解不等式，并在数轴上表示解集． (1)         (2) 【题型5 求一元一次不等式解的最值】 21．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 22．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 23．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 24．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 25．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【题型6 解|x|≥a型的不等式】 26．若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 27．不等式的解集是 ． 28．已知不等式的解是，则a＝ ． 29．能够使不等式成立的x的取值范围 ． 30．解不等式： 【题型7 列一元一次不等式】 31．某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 32．杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． 33．根据数量关系“x的2倍减去3是负数”列不等式为 ． 34．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是10克，则天平左盘中，物体的质量的取值范围是 ． 35．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【题型8 用一元一次不等式解决实际问题】 36．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只元，茶杯每只元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买只茶壶，只（不少于只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要购买多少只茶杯？ 37．近年来，我国新能源汽车产业已形成“研发－制造－消费－出海”的全链条优势，成为全球电动化转型的核心引擎．某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件的质量是1.2吨，1个B型部件的质量是0.8吨，现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输这两种部件共16个去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 38．张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是．出发后，学校打电话通知张老师在内（含）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？ 39．某旅游团的人数不到50，在参观一个景点时购买了一张50人的团体票，结果比按实际人数购买个人票省钱．已知这个景点的个人票票价是60元/人，团体票打八折，那么这个旅游团可能有多少人？ 40．为了丰富同学们的课间活动，学校计划购进一批排球和篮球．若购进排球3个，篮球5个，需420元．若购进排球4个，篮球10个，需760元． (1)求购进一个排球和一个篮球分别需要多少元？ (2)若学校准备用不多于1600元购进排球和篮球共30个，求至少购进多少个排球？ 【题型9 用一元一次不等式解决几何问题】 41．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 42．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 43．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 44．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 45．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【题型10 一元一次不等式的含参问题】 46．已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．若方程组的解为，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 49．已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 50．若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【题型11 一元一次不等式的应用】 51．某商店5月1日举行促销活动，当天到该店购买商品有两种优惠方案： 方案①：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律打八折． 方案②：若不购买会员卡，则购买商店内任意商品，一律打九五折． 已知小芳5月1日前不是该商店的会员． (1)若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元，她购买这件商品优惠了多少元？ (2)请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案①更合算？ 52．中国雪乡位于黑龙江省牡丹江市海林市双峰林场，是国家级旅游风景区，其中马拉爬犁项目的收费标准是每人元．由于旅行团游客较多，景区提供了两种优惠方案．方案一：所有游客一律九折，方案二：人数超过人，超出部分打八折．（旅行团人数为人，其中） (1)若该旅行团按方案一购票，需付________元，按方案二购票，需付________元．（用含的代数式表示） (2)旅行团该如何选择方案更划算？ (3)已知游客人数多于人少于人，旅行团对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买中国雪乡明信片送给游客留作纪念，每人恰好一个，已知明信片单价为元（为正整数），请直接写出每张明信片的价格和旅行团的人数． 53．某校积极推进“阳光体育活动”，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其他班级分别进行一场比赛，每班共要进行10场比赛），比赛规则规定每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得分，赛后有A，B，C，D四个班级得分情况如下表： 参加班级 A B C D 得分情况 14 18 10 6 (1)根据以上信息，求A，B，C，D四个班级的平均分； (2)若A班在所有的比赛中总得分为14分，则该班胜了几场？ (3)假设比赛结束后，E班得分比F，G两班得分之和的2倍还多2分，且E班获胜场数超过F，G两班获胜场数之和，请求出E班胜了几场？ 54．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，上周销售1部A型手机、3部B型手机，销售额为8400元．本周销售2部A型手机、1部B型手机，销售额为5800元． (1)A型手机和B型手机的销售单价分别是多少元？ (2)如果某单位拟向该店购买A，B两种型号的手机共6部（两种型号的手机都买），发给职工联系业务，且购手机费用不超过11600元，有哪几种购买方案？ (3)在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 55．用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元，在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20页时，每页收费0.12元；一次复印超过20页时，超过部分每页收费0.09元． (1)根据题意，填写下表： 次复印页数（页） 5 10 20 30 … 甲复印店收费（元） 0.5 ______ 2 ______ … 乙复印店收费（元） 0.6 ______ 2.4 ______ … (2)设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数），则x为多少时，两家复印店的收费相同（请你列出方程，求出x的值）？ (3)当复印页数超过20页时，由此可推算什么情况下选择甲复印店划算？什么情况下选择乙复印店划算？ 【题型12 一元一次不等式新定义问题】 56．定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 57．新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 58．定义运算；当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题： (1)______，当时，______； (2)若，求x的取值范围； 59．在实数范围内定义一种运算“※”，其运算规则为，已知， (1)求m、n的值； (2)求不等式的解集． 60．对有理数、定义运算：，其中、为常数，已知． (1)若，则______． (2)请用含有的代数式表示； (3)若，求的取值范围； 1．（25-26七年级下·安徽·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某次知识竞赛的试卷有20道题，评分方式是答对1道得5分，不答得0分，答错1道扣3分，小明有2道题没答，但成绩超过70分，则小明答对的题数至少是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 3．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知关于的不等式，可化为，则的最大整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知“◯”“□”“△”分别表示三种不同物体，若用天平比较它们的质量大小时，得到了如图所示的两次不同情况，那么这三种物体中，质量最小的是（ ） A．△ B．○ C．□ D．不能确定 7．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于的方程组的解满足，则整数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2025九年级上·安徽·竞赛）已知有理数满足，若的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A． B．5 C． D．1 9．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）下列数值，，，，，中能使成立的个数有 个． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）合肥动物园的门票是每人元，一次购门票满张，每张门票可少元．若少于人时，一个团队至少要有 人进公园，买张门票反而合算． 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）不等式的最大整数解是 ． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两地相距，李明以每小时的速度步行可按时到达，现在李明走了3小时后，因为有事停留了半个小时，为了不迟到，李明后来的速度至少是 千米每小时 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数，满足． (1)当时，则的取值范围为 ； (2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为 ． 15．（2025·安徽合肥·一模）解不等式：． 16．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 17．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围． (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 18．（25-26七年级上·安徽安庆·月考）某超市准备从厂家购进、两种型号台灯，若购进台型台灯和台型台灯共需花去元；台型台灯与台型台灯的进价相同． (1)分别求出、两种型号台灯的进价； (2)该超市购进台型台灯和台型台灯，为使每台型台灯的利润是型台灯利润的倍，且保证售完这批台灯的总利润不低于元，那么每台型台灯的售价至少是多少元？（注：利润售价进价） 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x、y的二元一次方程组． （1）当时，则方程组的解为 ； （2）当时，则a的范围是 ． 20．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为___________，的解集为___________． (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． (3)不论x取何值，都有成立，请直接写出t的取值范围． 21．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）对于实数定义一种新运算． 规定：（其中为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：，已知． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元一次不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、中，不是整式，则此项不是一元一次不等式，不符合题意； B、中，含有两个未知数，则此项不是一元一次不等式，不符合题意； C、中，的次数是2，则此项不是一元一次不等式，不符合题意； D、是一元一次不等式，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义和绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 且， ∴， 故答案为：． 知识点2 ：一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·安徽宣城·月考）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．利用不等式的性质及不等式的解法求出解集，先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为即可． 【详解】解：， 去分母得， 移项得， 系数化为得， 不等式的解集为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·安徽六安·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴不等式的解为：， 在数轴上表示如图： 【题型1 一元一次不等式的定义】 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的次数是，且用不等号连接的整式不等式；根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：()不含有未知数，不符合“含有一个未知数”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； ()未知数的最高次数是，不符合“未知数的次数是”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； 综上，是一元一次不等式的有()和()，共个． 故选：B． 3．已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 4．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 5．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 【题型2 求一元一次不等式的解集】 6．解下列不等式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． （1）按移项、合并同类项、化系数为1的步骤解不等式即可求解． （2）按去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤解不等式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 通过去分母、去括号、移项、合并同类项求解不等式即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得． 8．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，准确的计算是解决本题的关键． 先去分母，然后移项合并同类项，再系数化1求解即可． 【详解】解： ， 解得． 故答案为：． 9．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为：． 10．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 【题型3 求一元一次不等式的整数解】 11．满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解答的关键． 通过解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的最小整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小整数解为7． 故选：B． 12．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 13．若关于x的不等式的负整数解有三个，则实数a满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质． 根据不等式 的负整数解有三个，即负整数解为，通过分析a的取值范围，确保恰好这三个负整数解． 【详解】解：不等式的解集为所有大于或等于a的实数，负整数解有三个，即为， 由于是负整数解，因此，即， 又因为不能是负整数解（否则负整数解有四个），所以， 综上，实数a满足的条件是， 故答案为：． 14．不等式的正整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 先解不等式求出解集，然后求出整数解，再求和即可． 【详解】解： ， ∴， ∴正整数解为， ∴正整数解的和为， 故答案为：． 15．已知关于的方程，解决下面的问题： (1)若，求的值； (2)若满足上面方程的不小于，求的取值范围； (3)求适合上面方程并满足的最小整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解决本题的关键是掌握解一元一次不等式，解一元一次方程的运算方法． （1）把代入，得出关于x的方程，解方程即可； （2）由题意得，得出．再由得，那么，解不等式即可． （3）由得出，把k的值代入得，，解不等式即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得． （2）解：， ， ， ， ， 解得． （3）解：， ， ， 把k的值代入得， ， 解得， 满足要求的最小整数x的值是． 【题型4 在数轴上表示不等式的解集】 16．解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先求出不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 将解集在数轴上表示如下： （2）解： 将解集在数轴上表示如下： 17．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 18．解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 在数轴上表示如图： 19．解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．根据不等式的性质：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解： ， 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． 20．解不等式，并在数轴上表示解集． (1)         (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 对于（1），根据移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，并在数轴上表示； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，并在数轴上表示即可. 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都乘以，得. 在数轴上表示为： （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得. 在数轴上表示为： 【题型5 求一元一次不等式解的最值】 21．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 22．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 23．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 24．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 25．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解． 【详解】（1）解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴，解得． （2）解不等式，得， 则最大的整数解是． 把代入， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【题型6 解|x|≥a型的不等式】 26．若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键． 根据绝对值的非负性，等式成立需，即，且代入验证成立． 【详解】， ， ，即， 故选． 27．不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 28．已知不等式的解是，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解． 29．能够使不等式成立的x的取值范围 ． 【答案】x＜-1 【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围． 【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0， 于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0； 当x＜0时，|x|-x=-2x＞0， x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1， 所以x的取值范围是x＜-1． 故答案为：x＜-1． 【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度． 30．解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 【题型7 列一元一次不等式】 31．某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，草莓有损耗，实际销售量为，销售收入为元，为避免亏本，销售收入应不小于进货成本元，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 32．杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活动，某班的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出不等式． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了得剩余时间内平整的土地为： ，根据题意得，． 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， ∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了， ∴剩余时间内平整的土地为： 根据题意得，， 故选：C． 33．根据数量关系“x的2倍减去3是负数”列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式．先表示出x的2倍减去3的结果，再把这个结果用小于号与0连接起来即可得到答案． 【详解】解：x的2倍减去3是负数，可列出不等式． 故答案为：． 34．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是10克，则天平左盘中，物体的质量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，读懂图中天平关系是解决问题的关键． 由天平平衡关系，直接列不等式即可得到答案． 【详解】解：物体的质量为， 由左图可得；由右图可得； ， 故答案为：． 35．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【答案】（）；（）；（）． 【分析】本题考查了列不等式，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：（）根据题意得，， ， ∴； （）根据题意得， ， ∴； （）根据题意得，， ， ， ， ， ∴． 【题型8 用一元一次不等式解决实际问题】 36．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只元，茶杯每只元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯； （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买只茶壶，只（不少于只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要购买多少只茶杯？ 【答案】至少需要购买35只茶杯 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意列不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为35， ∴至少需要购买35只茶杯． 37．近年来，我国新能源汽车产业已形成“研发－制造－消费－出海”的全链条优势，成为全球电动化转型的核心引擎．某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件的质量是1.2吨，1个B型部件的质量是0.8吨，现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输这两种部件共16个去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 【答案】11个 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设这辆卡车运输个型部件，根据卡车的最大额定载重质量为15吨，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设这辆卡车运输个型部件，则运输个型部件， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为11． 答：这辆卡车最少要运输11个型部件． 38．张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是．出发后，学校打电话通知张老师在内（含）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设摩托车的速度为才能保证张老师按时参加会议，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设摩托车的速度为才能保证张老师按时参加会议，根据题意得： ， 解得： ， 答：摩托车的速度至少为才能保证张老师按时参加会议． 39．某旅游团的人数不到50，在参观一个景点时购买了一张50人的团体票，结果比按实际人数购买个人票省钱．已知这个景点的个人票票价是60元/人，团体票打八折，那么这个旅游团可能有多少人？ 【答案】 41人到49人 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系列出不等式是解题的关键． 设旅游团人数为，且n为正整数，则个人票费用为元，根据团体票费用小于个人票费用，列出不等式，结合，得到n的取值范围，再根据n为整数，即可解答． 【详解】解：设旅游团有n人，且为正整数， 则团体票费用为（元），购买个人票总费用为元， 由题意，， 解得， 又∵， ∴， ∵n为正整数， ∴，42，43，44，45，46，47，48，49； 答：这个旅游团可能有41人到49人． 40．为了丰富同学们的课间活动，学校计划购进一批排球和篮球．若购进排球3个，篮球5个，需420元．若购进排球4个，篮球10个，需760元． (1)求购进一个排球和一个篮球分别需要多少元？ (2)若学校准备用不多于1600元购进排球和篮球共30个，求至少购进多少个排球？ 【答案】(1)购进一个排球需40元，购进一个篮球需60元． (2)10个排球 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设购进一个排球x元，购进一个篮球y元，根据“购进排球3个，篮球5个，需420元．若购进排球4个，篮球10个，需760元”建立方程组求解； （2）设购进a个排球，那么篮球个，根据总费用不多于1600元建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设购进一个排球x元，购进一个篮球y元． 解得 答：购进一个排球需40元，购进一个篮球需60元． （2）解：设购进a个排球，则由题意得，， 解得， 答：至少购进10个排球 【题型9 用一元一次不等式解决几何问题】 41．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 42．如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 43．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）． （2）∵与的差不小于， ∴， ∵，， ∴， ∴，m的最小整数值为7． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． 44．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)a=50-2b，15． (2) 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b 当时，．解得． （2）解：∵，， ∴ 解这个不等式组得：． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 45．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【题型10 一元一次不等式的含参问题】 46．已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 47．若方程组的解为，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组与不等式综合．将方程组两方程相加，得到的表达式，再根据求解的取值范围． 【详解】解：， ∵ （1）+（2）得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 48．若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 49．已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 50．若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方程得到关于的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合是非正整数，求出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， 所有符合条件的非正整数为：，，，，， 所有符合条件的非正整数的和为：． 【题型11 一元一次不等式的应用】 51．某商店5月1日举行促销活动，当天到该店购买商品有两种优惠方案： 方案①：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律打八折． 方案②：若不购买会员卡，则购买商店内任意商品，一律打九五折． 已知小芳5月1日前不是该商店的会员． (1)若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元，她购买这件商品优惠了多少元？ (2)请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案①更合算？ 【答案】(1)她购买这件商品优惠了20元 (2)当购买商品超过1120元时，采用方案①更合算 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，关键是根据两种方案的优惠政策，计算所需钱数． （1）依据题意，用花的钱数除以（九五折），求原价，再乘，进而可以得解； （2）依据题意，设当购买商品超过x元时，采用方案①更合算，再利用两种方案的优惠政策列出不等式求解即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，根据方案②，购买商店内任意商品，一律打九五折， ∴ （元） 答：她购买这件商品优惠了20元． （2）解：设当购买商品超过x元时，采用方案①更合算， ∴． ∴． 答：当购买商品超过1120元时，采用方案①更合算． 52．中国雪乡位于黑龙江省牡丹江市海林市双峰林场，是国家级旅游风景区，其中马拉爬犁项目的收费标准是每人元．由于旅行团游客较多，景区提供了两种优惠方案．方案一：所有游客一律九折，方案二：人数超过人，超出部分打八折．（旅行团人数为人，其中） (1)若该旅行团按方案一购票，需付________元，按方案二购票，需付________元．（用含的代数式表示） (2)旅行团该如何选择方案更划算？ (3)已知游客人数多于人少于人，旅行团对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买中国雪乡明信片送给游客留作纪念，每人恰好一个，已知明信片单价为元（为正整数），请直接写出每张明信片的价格和旅行团的人数． 【答案】(1)，； (2)当时，选择方案一；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案二 (3)每张明信片的价格为元，旅行团的人数为人 【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据不同方案列代数式、分情况讨论费用关系是解题的关键． （1）根据方案一的九折优惠计算总费用；方案二先算人的原价，再算超出人的部分的八折，求和得到总费用． （2）分三种情况（方案一费用方案二费用、方案一费用方案二费用、方案一费用方案二费用）列不等式或方程，求解得到人数范围，确定划算的方案． （3）根据人数范围，结合方案一与方案二的费用差为，代入人数范围验证得到具体人数和的值． 【详解】（1）解：方案一：需付（元）， 方案二：需付（元）， 故答案为：，； （2）解：①当方案一费用方案二费用时：， 解得， ∴当时，两种方案费用相同； ②当方案一费用方案二费用时：， 解， ∴当时，选择方案二更划算； ③当方案一费用方案二费用时： ， ∴当时，选择方案一更划算； （3）解：时方案二更划算，费用差为：， ， ， ∵为正整数， ∴为整数， ∵且为整数， ∴， ∴， 解得． 答：每张明信片的价格为元，旅行团的人数为人． 53．某校积极推进“阳光体育活动”，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其他班级分别进行一场比赛，每班共要进行10场比赛），比赛规则规定每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得分，赛后有A，B，C，D四个班级得分情况如下表： 参加班级 A B C D 得分情况 14 18 10 6 (1)根据以上信息，求A，B，C，D四个班级的平均分； (2)若A班在所有的比赛中总得分为14分，则该班胜了几场？ (3)假设比赛结束后，E班得分比F，G两班得分之和的2倍还多2分，且E班获胜场数超过F，G两班获胜场数之和，请求出E班胜了几场？ 【答案】(1)A，B，C，D四个班级的平均分是12分 (2)该班胜了6场 (3)E班胜了9场 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）设该班胜a场，则该班负场，根据一共得14分建立方程求解即可； （3）设E班获胜x场，F，G两班获胜y场，根据E班得分比F，G两班得分之和的2倍还多2分列出等式得到，再根据E班获胜场数超过F，G两班获胜场数之和列式求解即可． 【详解】（1）解：分， 答：A，B，C，D四个班级的平均分为12分； （2）解：设该班胜a场，则该班负场， 依题意有， 解得． 答：该班胜了6场． （3）解：设E班获胜x场，F，G两班获胜y场， 依题意有 ， 解得， ∵， ∴， 解得：， ∵，x，y为整数， ∴，且x为奇数， ∴． 答：E班胜了9场． 54．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，上周销售1部A型手机、3部B型手机，销售额为8400元．本周销售2部A型手机、1部B型手机，销售额为5800元． (1)A型手机和B型手机的销售单价分别是多少元？ (2)如果某单位拟向该店购买A，B两种型号的手机共6部（两种型号的手机都买），发给职工联系业务，且购手机费用不超过11600元，有哪几种购买方案？ (3)在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 【答案】(1)1800元  2200元 (2)两种方案：方案①为购买型手机4部，B型手机2部；方案②为购买A型手机5部，型手机1部． (3)方案②购买费用更省，最少费用是11200元． 【分析】（1）设型手机的销售单价为x元，型手机的销售单价为y元，根据销售1部型手机、3部型手机，销售额为8400元，销售2部型手机、1部型手机，销售额为5800元，列出方程组即可； （2）设购买型手机a部，则购买型手机部，根据购手机费用不超过11600元，列出不等式，解不等式即可. 【详解】（1）设型手机的销售单价为x元，型手机的销售单价为y元． 根据题意，得    解得 答：型手机的销售单价为1800元，型手机的销售单价为2200元． （2）设购买型手机a部，则购买型手机部． 根据题意，得， 解得． ∵a为整数，两种型号的手机都买， ∴， 解得， ∴， ∴或5， ∴有两种购买方案，方案①为购买型手机4部，购买型手机2部；方案②为购买型手机5部，购买型手机1部． （3）按方案①购买所需费用为； 按方案②购买所需费用为． ∵， ∴按方案②购买费用更省，最少费用是11200元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系，列出不等式. 55．用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元，在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20页时，每页收费0.12元；一次复印超过20页时，超过部分每页收费0.09元． (1)根据题意，填写下表： 次复印页数（页） 5 10 20 30 … 甲复印店收费（元） 0.5 ______ 2 ______ … 乙复印店收费（元） 0.6 ______ 2.4 ______ … (2)设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数），则x为多少时，两家复印店的收费相同（请你列出方程，求出x的值）？ (3)当复印页数超过20页时，由此可推算什么情况下选择甲复印店划算？什么情况下选择乙复印店划算？ 【答案】(1)1，3，1.2，3.3 (2)0或60 (3)复印页数超过20页，小于60页时，甲复印店的费用低；当复印页数超过60页，乙复印店的费用低；当复印页数等于60页时，两家费用一样多 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系式是解题的关键． （1）根据题意，直接计算即可； （2）当时，计算出两家的费用比较即可；当时，计算出两家的费用比较即可；当时，根据两家收费相同，得到关于x的一元一次方程，解之即可得到结论； （3）分三种情况分别计算x的取值，从而做出判断． 【详解】（1）解：根据题意，在甲复印店复印10页，费用为：元，复印30页，费用为：元， 在乙复印店复印10页，费用为：元，复印30页，费用为：元， 故答案为：1，3，1.2，3.3； （2）解：当时，甲复印店的费用为元，乙复印店的费用为元， 此时，两家复印店的收费相同； 当时，甲复印店的费用为元，乙复印店的费用为元， 此时，两家复印店的收费不同，舍去； 当时， 依题意有 解得， ∴当时，两家复印店的收费相同 答：当或时，两家复印店的收费相同； （3）解：当甲复印店的费用低于乙复印店时， 根据题意，得， 解得， 又， ∴， ∴当时，甲复印店的费用低； 当甲复印店的费用高于乙复印店时， 根据题意，得， 解得， ∴当时，乙复印店的费用低； ∴复印页数超过20页，小于60页时，甲复印店的费用低；当复印页数超过60页，乙复印店的费用低；当复印页数等于60页时，两家费用一样多． 【题型12 一元一次不等式新定义问题】 56．定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 57．新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，即可解答； （）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，分情况讨论即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 58．定义运算；当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题： (1)______，当时，______； (2)若，求x的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴． 59．在实数范围内定义一种运算“※”，其运算规则为，已知， (1)求m、n的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新运算是解题的关键． （1）利用新运算的意义列出算式进行运算即可； （2）利用新定义进行化简，再利用解一元一次不等式的解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴ 则得：， 再把代入 得 ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ， 即， 原不等式的解集为． 60．对有理数、定义运算：，其中、为常数，已知． (1)若，则______． (2)请用含有的代数式表示； (3)若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式． （1）由可知，进而得到，将代入计算即可； （2）根据作答即可； （3）先根据定义求出，将代入得到，根据列不等式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知， 即； （3）， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 1．（25-26七年级下·安徽·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据给出的不等式解答即可． 【详解】解：应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈， 即， 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某次知识竞赛的试卷有20道题，评分方式是答对1道得5分，不答得0分，答错1道扣3分，小明有2道题没答，但成绩超过70分，则小明答对的题数至少是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；设小明答对的题数为x道，由题意可得不等式为，然后进行求解即可． 【详解】解：设小明答对的题数为x道，由题意得： ， 解得：， 故小明答对的题数至少是16道； 故选C． 3．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的解集．根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：A． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，解答的关键是熟知不等式基本性质，尤其是不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此得出关于的不等，求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：D． 5．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知关于的不等式，可化为，则的最大整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解集确定参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤． 将原不等式变形后，根据不等式方向变化确定的范围，进而找出最大整数解． 【详解】解：原不等式为，移项得： 当（即）时，两边除以负数需改变不等式方向，得： 此时解集形式与题目一致，故； 当时，原不等式变为，无解； 当时，解集应为，与题目矛盾； 因此，的最大整数为1， 故选：A． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知“◯”“□”“△”分别表示三种不同物体，若用天平比较它们的质量大小时，得到了如图所示的两次不同情况，那么这三种物体中，质量最小的是（ ） A．△ B．○ C．□ D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用． 根据第一个图和第二张图即可判断． 【详解】解：由第一个图可知，，即； 由第二张图可知，即． 因此有． 故选：A． 7．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于的方程组的解满足，则整数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组和解不等式方程，首先解方程组，用m表示x和y，再代入不等式，解出m的范围，确定最小整数解． 【详解】解：解方程组： ①式乘以2，得： ③式减去②式，消去y：， ， ， 将代入①式，解得y：， ， ， 将和代入不等式： 不等式变为： 解不等式：， m需满足，因此最小整数为0． 故选B． 8．（2025九年级上·安徽·竞赛）已知有理数满足，若的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解方法以及求绝对值的法则，解不等式要依据不等式的基本性质，通过分类讨论求绝对值是解题的关键． 首先解不等式，求得x的范围，即可根据x的范围去掉中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 把系数化为1得：， 当时，， ， ∴， 当时， ， ， ∴的最小值为，最大值为， ∴， ∴． 故选：B． 9．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）下列数值，，，，，中能使成立的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先解一元一次不等式，然后判断即可． 【详解】解：， 移项合并得，， ∴，，能使不等式成立，共有3个， 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）合肥动物园的门票是每人元，一次购门票满张，每张门票可少元．若少于人时，一个团队至少要有 人进公园，买张门票反而合算． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，找到按元的单价付款和元单价付款的不等关系是解决本题的关键．先求出购买张票，优惠后需要多少钱，然后再利用时，求满足条件的最小整数值即可． 【详解】解：设人进合肥动物园， 若购满张票则需要：元， 依题意，， 解得：， 人． 则至少要有人去合肥动物园，买张票反而合算． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，结合不等式的性质求出不等式的解集，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 则这个不等式的最大整数解是4， 故答案为：4． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解不等式，熟练掌握相关解法是解题的关键．先求出方程的解，根据方程的解是非负数即可得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得，， ∵， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 故答案为： 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两地相距，李明以每小时的速度步行可按时到达，现在李明走了3小时后，因为有事停留了半个小时，为了不迟到，李明后来的速度至少是 千米每小时 【答案】8 【分析】本题主要考查行程问题中的时间统筹与速度调整，涉及路程、速度、时间三者关系的应用，以及不等式在实际问题中的运用．解答此题先通过总路程除以原速度得到原计划所需时间，再根据已走路程和停留时间，确定剩余路程和剩余可用时间，最后再将剩余路程除以剩余时间得到最低速度，确保总时间不超过原计划． 【详解】解：设李明后来的速度为x千米／时， 由题意得：， ， ． ∴为了不迟到，李明后来的速度至少是8千米／时． 故答案为：8． 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数，满足． (1)当时，则的取值范围为 ； (2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，理解题意并列得正确的不等式是解题的关键． （1）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可； （2）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）已知实数，满足， 当时， ， 解得：， 故答案为：； （2）在（）的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中， ， 解得：， 故答案为：． 15．（2025·安徽合肥·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 16．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及解集在数轴上的表示，在数轴上表示解集注意空心与实心的区别是解题的关键．去分母解一元一次不等式，然后在已知数轴上进行表示即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 17．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围． (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，则最小的整数解是4，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 因为该方程的解满足， 所以， 解得． （2）解：解不等式， 得，则最小的整数解是4． 把代入，得， 解得． 18．（25-26七年级上·安徽安庆·月考）某超市准备从厂家购进、两种型号台灯，若购进台型台灯和台型台灯共需花去元；台型台灯与台型台灯的进价相同． (1)分别求出、两种型号台灯的进价； (2)该超市购进台型台灯和台型台灯，为使每台型台灯的利润是型台灯利润的倍，且保证售完这批台灯的总利润不低于元，那么每台型台灯的售价至少是多少元？（注：利润售价进价） 【答案】(1)型号台灯的进价为50元台，型号台灯的进价为元台 (2)每台型台灯的售价至少是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设型号台灯的进价为元台，型号台灯的进价为元台，根据购进台型台灯和台型台灯共需花去元，台型台灯与台型台灯的进价相同，列出方程组，解方程组即可； （2）设每台型台灯的利润是元，根据售完这批台灯的总利润不低于元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设型号台灯的进价为元台，型号台灯的进价为元台，由题意得： 解得， 答：型号台灯的进价为50元台，型号台灯的进价为元台； （2）解：设每台型台灯的利润是元，由题意得， ， 解得：， ∴， ∴（元）， 答：每台型台灯的售价至少是元． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x、y的二元一次方程组． （1）当时，则方程组的解为 ； （2）当时，则a的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（代入消元法或加减消元法）以及一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握方程组的消元技巧，能根据已知条件代入求值或通过方程组变形建立关于参数的不等式． （1）当时，先将代入原方程组，得到关于、的具体二元一次方程组；再利用加减消元法（如给第一个方程乘3，与第二个方程相加消去）求出的值，然后将的值代入其中一个方程求出的值，得到方程组的解． （2）当时，先观察方程组中两个方程的系数特征，通过对两个方程进行适当变形（如给第一个方程乘2，与第二个方程相加），消去得到与的关系，或消去得到与的关系，进而求出关于的表达式；再根据建立一元一次不等式，求解不等式得到的范围． 【详解】解：（1）当时，原方程组变为， 化简第二个方程得， 将与相加，得， 解得， 将代入，得， 解得． 故答案为：； （2）， ①得， ②③得，解得， 将代入①，得， 解得， 即，则， ∵， ∴， 两边乘4得， 移项得， 解得． 故答案为：． 20．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为___________，的解集为___________． (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． (3)不论x取何值，都有成立，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值不等式，然后求解，最后确定满足题意的的值即可； （3）表示数轴上表示x的点到表示1与表示的点的距离之和，因此不论x取何值，，从而得到，求解即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 由可得或， ∴或． 故答案为：；或． （2）解：二元一次方程组 可得：， ∴ ， 是正整数 ． （3）解：∵表示数轴上表示x的点到表示1与表示的点的距离之和， ∴当时，有最小值为， 当或时， ∴不论x取何值，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）对于实数定义一种新运算． 规定：（其中为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：，已知． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到a，b的值； （2）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组的解法即可求解． 【详解】（1）解： 根据题意得：， 解得：， ∴a的值为2，b的值为1； （2）解： 将代入方程组， 得：， 解之得： 又∵， ∴， ∴， 解得：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $