数学一模提分卷04（北京专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A B D B C C B D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12．. 13．. 14．/ 15．①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．【详解】（1），根据射影定理得， 2分 再根据余弦定理得， 4分 则，则， 则. 5分 （2）选①，， 由正弦定理角化边得， 解得或， 7分 当时，，显然不会等于2，故舍去， 9分 当时，，则， 11分 根据余弦定理得. 13分 选②，，根据二倍角余弦公式得， 7分 又因为，则. 因为，即， 由（1）知，即， 9分 联立两式得，则由正弦定理得，即， 即，即，因为显然不等于0， 则， 11分 因为，，则. 13分 选③：，由（1）知， 即，由余弦定理得， 联立得，则， 7分 由正弦定理得， 即，即， 即，则， 9分 结合，解得， 11分 因为，所以，则. 13分 17．【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 1分     则，，，，； 为中点，故；为中点，故． 3分 ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则， 5分 ∴， 又∵平面，∴平面. 7分 （2）∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． 9分 ∴． 10分 （3）不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 12分 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面． 14分 18．【详解】（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率. 3分 （2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且， ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 7分 . 9分 （3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以； 11分 的可能取值为，，， ，，. 所以，故. 13分 19．【详解】（1）当点是椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，为， 由题意得． 1分 因为离心率，所以，所以． 因为，所以． 解得，所以， 3分 所以椭圆的标准方程是． 4分 （2）当直线的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点，关于轴对称， 又点在轴上，所以的平分线在轴上． 5分 当直线的斜率存在时，设为，由题意知，． 由（1）知，点，则直线的方程为． 由消去，整理得． 恒成立， 8分 设，则． 9分 设直线的斜率分别为． 因为点，所以， 所以 . 12分 将代入， 得， 所以直线关于轴对称，即的平分线在轴上． 综上，的平分线在轴上． 15分 20．【详解】（1）当时，． （i），故点（0，1）处的切线方程为. 2分 （ii）设切点为，则，则切线方程为，代入， 可得，得，则切线方程是. 4分 （2）当时，，则. 由题意得有两个变号零点，即有两个实根， 方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点. 5分 由，解得，且是的递增区间，是的递减区间； 注意到，且时，，画出其图象如图， 当且仅当时函数有两个极值点，且 7分 又因为，所以.令，则． 又，则，即， 两边取自然对数可得． 9分 设，那么，分母恒为正值， 对于分子对应的函数，在时恒成立， 所以单调递减，所以，也就是在时恒成立， 12分 所以也单调递减，所以，从而. 又在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且， 因此实数的取值范围是. 15分 21．【详解】（1）∵无法表示，∴数集不具有性质. ∵，，，，∴数集具有性质． 2分 （2）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立， 又，， ∴，， ，， ∴， 即，，，， 4分 累加得， 化简得． 5分 （3）最小值为． 首先注意到，根据性质，得到， 所以易知数集的元素都是整数， 构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为． 6分 下面证明是最小的和． 假设数集，满足最小， 第一步：首先说明集合中至少有个元素： 由（）可知，，，，又， ∴，，，，， ∴． 8分 第二步：证明，， 若，设， ∵，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而； 若，根据性质，对，有，，使得，显然，∴， 此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾， ∴，且． 11分 同理可证： ． 至此，我们得到，， 根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形： ①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则； ②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则； ③，，此时集合，； ④，，此时集合，． 综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是． 15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第一次模拟考试 ! 高三数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 光 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9[A]B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B]CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][CD] 8 [A][B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共25分） 11 12. 13 14 射 15. 三、解答题（共85分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(13分) 剂 请在各题目蜜题好揹内鱼瓷页超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) -4E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (近9并)道S患素嗾 i※￥著易佣年☒兴的到项形身凿吊爵‘易年习瑶易佣目暗号尹巢 (SI)O i壬業易州海☒惑的到环狂，毋遄吊爵·易年习暗易明目酷号剿 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，，则=（    ）. A． B． C． D． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上所对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中的系数为（    ） A．480 B．160 C． D． 6．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 8．在直三棱柱中，E为的中点，F为靠近的四等分点，点B，E，F所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较大部分的体积与较小部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 9．设等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（  ） A． B． C． D． 10．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数满足，则 . 12．已知点在焦点为的抛物线上，若，则 ． 13．已知，，则 . 14．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望 . 15．设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则下列说法正确的有 ． ①集合不是“可拆等和集” ②若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个； ③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”； ④若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）若的内角所对的边分别为，且满足． (1)求的值 (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值 条件①：；条件②：；条件③： 17．（14分）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 18．（13分）随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 19．（15分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 20．（15分）已知函数． (1)当时， （i）求的图象在点处的切线方程； （ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程； (2)若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围． 21．（15分）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，，则=（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以， 所以. 故选：B. 2．复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上所对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，， 所以在复平面上所对应点的坐标为 故选：B 3．已知点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，记为圆． 因为，所以，圆的半径． 因为点在直线上，所以直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，解得， 即实数的取值范围是． 故选：A 4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 5．的展开式中的系数为（    ） A．480 B．160 C． D． 【答案】D 【详解】因为的展开式中，项是由5个因式中，1个因式出x，3个因式出，1个因式出3， 所以含的项为． 故选：D． 6．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 7．已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【详解】设的公比为．由，，得，则． 由，得，所以是递增数列． 当时，； 当时，； 当时，． 故的最小值为14． 故选：C. 8．在直三棱柱中，E为的中点，F为靠近的四等分点，点B，E，F所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较大部分的体积与较小部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直三棱柱补形成直四棱柱，使底面ABCD为平行四边形，如图所示， 设底面面积为S，AC边上的高为，， 则直四棱柱的体积，， 四边形AEFC的面积， 所以四棱锥的体积， 所以直三棱柱中，剩余部分的体积， 所以较大部分的体积与较小部分的体积之比为. 故选：C 9．设等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，，解得， 则，∴， ∴， ∴， 设数列的前项和为， 则 . 故选：B 10．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可建立如图所示的直角坐标系，且可设，， 则由，故点在以为圆心，半径为1的圆上， 如图：取点，则，且， 因此，所以，故， 所以， 由于，当三点共线且点在线段上时取等号， 因此. 故选：D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数满足，则 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 令，可得，即，解得. 故答案为：. 12．已知点在焦点为的抛物线上，若，则 ． 【答案】 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得，所以. 故答案为：. 13．已知，，则 . 【答案】 【详解】已知，则. 因为，则， 代入上式可得，解得， 则， 故答案为：. 14．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望 . 【答案】/ 【详解】由题意，2，5，8模3同余，3，6，9模3同余，则取球次数的可能取值为3，4，5， ， ，， 所以， 故答案为：. 15．设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则下列说法正确的有 ． ①集合不是“可拆等和集” ②若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个； ③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”； ④若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”． 【答案】①②④ 【详解】对于①项，构成了以1为首项，2为公比的等比数列， 且， 所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求． 综上可知，①正确； 对于②项，如果，则由“可拆等和集”的定义，得，解得； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故， 此时因集合已含有元素2，故舍去； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故， 如果，则由“可拆等和集”的定义，得． 综上可知：可取6个值，分别为，，，6，4，8，②正确； 对于③项，将中所有元素同时除以后可得， 由等比数列前项和公式可得． 又因为，所以，故，所以． 所以当时，中所有元素之和也小于， 不满足要求，显然同时乘以后还是不满足； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后还是不满足． 不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，③错误； 对于④项，易知集合中的元素个数为，， ，， 共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组． 从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中； 又，则， 而， 不妨将，这两个元素也分到集合中， 满足，中的元素之和相等，④正确． 故选：①②④． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）若的内角所对的边分别为，且满足． (1)求的值 (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值 条件①： 条件②： 条件③： 【详解】（1），根据射影定理得， 2分 再根据余弦定理得， 4分 则，则， 则. 5分 （2）选①，， 由正弦定理角化边得， 解得或， 7分 当时，，显然不会等于2，故舍去， 9分 当时，，则， 11分 根据余弦定理得. 13分 选②，，根据二倍角余弦公式得， 7分 又因为，则. 因为，即， 由（1）知，即， 9分 联立两式得，则由正弦定理得，即， 即，即，因为显然不等于0， 则， 11分 因为，，则. 13分 选③：，由（1）知， 即，由余弦定理得， 联立得，则， 7分 由正弦定理得， 即，即， 即，则， 9分 结合，解得， 11分 因为，所以，则. 13分 17．（14分）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 1分     则，，，，； 为中点，故；为中点，故． 3分 ∴，∴， 设平面的法向量，则， 令得，则， 5分 ∴， 又∵平面，∴平面. 7分 （2）∵ 由（1）知平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即： ． 9分 ∴． 10分 （3）不存在这样的点，理由如下 设（），则， 若平面，则为平面的法向量 12分 ∵，，则，解之得． 故不满足，所以线段上不存在点，使得平面． 14分 18．（13分）随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 【详解】（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率. 3分 （2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且， ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 7分 . 9分 （3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以； 11分 的可能取值为，，， ，，. 所以，故. 13分 19．（15分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 【详解】（1）当点是椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，为， 由题意得． 1分 因为离心率，所以，所以． 因为，所以． 解得，所以， 3分 所以椭圆的标准方程是． 4分 （2）当直线的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点，关于轴对称， 又点在轴上，所以的平分线在轴上． 5分 当直线的斜率存在时，设为，由题意知，． 由（1）知，点，则直线的方程为． 由消去，整理得． 恒成立， 8分 设，则． 9分 设直线的斜率分别为． 因为点，所以， 所以 . 12分 将代入， 得， 所以直线关于轴对称，即的平分线在轴上． 综上，的平分线在轴上． 15分 20．（15分）已知函数． (1)当时， （i）求的图象在点处的切线方程； （ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程； (2)若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，． （i），故点（0，1）处的切线方程为. 2分 （ii）设切点为，则，则切线方程为，代入， 可得，得，则切线方程是. 4分 （2）当时，，则. 由题意得有两个变号零点，即有两个实根， 方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点. 5分 由，解得，且是的递增区间，是的递减区间； 注意到，且时，，画出其图象如图， 当且仅当时函数有两个极值点，且 7分 又因为，所以.令，则． 又，则，即， 两边取自然对数可得． 9分 设，那么，分母恒为正值， 对于分子对应的函数，在时恒成立， 所以单调递减，所以，也就是在时恒成立， 12分 所以也单调递减，所以，从而. 又在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且， 因此实数的取值范围是. 15分 21．（15分）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. 【详解】（1）∵无法表示，∴数集不具有性质. ∵，，，，∴数集具有性质． 2分 （2）∵集合具有性质即对任意的，，使得成立， 又，， ∴，， ，， ∴， 即，，，， 4分 累加得， 化简得． 5分 （3）最小值为． 首先注意到，根据性质，得到， 所以易知数集的元素都是整数， 构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为． 6分 下面证明是最小的和． 假设数集，满足最小， 第一步：首先说明集合中至少有个元素： 由（）可知，，，，又， ∴，，，，， ∴． 8分 第二步：证明，， 若，设， ∵，为了使最小， 在集合中一定不含有元素，使得，从而； 若，根据性质，对，有，，使得，显然，∴， 此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾， ∴，且． 11分 同理可证： ． 至此，我们得到，， 根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形： ①，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则； ②，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则； ③，，此时集合，； ④，，此时集合，． 综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是． 15分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，，则=（    ）. A． B． C． D． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上所对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中的系数为（    ） A．480 B．160 C． D． 6．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 8．在直三棱柱中，E为的中点，F为靠近的四等分点，点B，E，F所确定的平面把三棱柱分割成体积不同的两部分，则较大部分的体积与较小部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 9．设等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（  ） A． B． C． D． 10．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数满足，则 . 12．已知点在焦点为的抛物线上，若，则 ． 13．已知，，则 . 14．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望 . 15．设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则下列说法正确的有 ． ①集合不是“可拆等和集” ②若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个； ③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”； ④若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分）若的内角所对的边分别为，且满足． (1)求的值 (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值 条件①：；条件②：；条件③： 17．（14分）如图，正方形所在平面外一点满足平面，且，．为中点，为中点，解答以下问题： (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 18．（13分）随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 19．（15分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 20．（15分）已知函数． (1)当时， （i）求的图象在点处的切线方程； （ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程； (2)若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围． 21．（15分）已知数集具有性质:对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由; (2)求证; (3)若，求数集中所有元素的和的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $